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河南省部分学校联考2026-2027学年高二上学期阶段检测（一）数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在三棱锥中，（ ）
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线过、两点，且倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形
5.下列说法错误的是（）
A. 是向量，共线的充要条件
B. 若，，则存在唯一的实数，使得
C. 对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D. 若空间向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使得
6.已知过点的直线l与以点和为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为线段、上的点，若，，则（ ）
A. B. C. D.
8.在棱长为2 的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.(多选)设点P(-4，2)，Q(6，-4)，R(12，6)，S(2，12)，则有（ ）
A. PQ// SR
B. PQ⊥PS
C. PS// QS
D. PR⊥QS
10.如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A. 不存在点P，使得
B. 的最小值为
C. 当时，
D. 当时，上存在点M，使得，则
11.如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，O，P分别是，的中点，M是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 存在点M，使得平面
C. 存在点M，使得直线与所成的角为
D. 点M到平面与平面的距离和为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，则点到直线的距离为 ．
13.如图所示四棱锥，平面平面，是AB中点，平面PCD与平面POD的夹角的余弦值为，则线段OP的长为 ．
14.平行六面体的底面为正方形，且，．则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行六面体中，，，，。
(1) 以为基底向量，表示向量，；
(2) 求证：；
(3) 求的长。
16.(本小题15分)
如图所示为四棱锥P-ABCD，已知底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD且AB=4，PA=AD=2.
（1）证明：CD⊥PD；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，，侧面ACC1A1为菱形，点D为AC的中点，A1D⊥平面ABC.
（1）证明：BD⊥平面ACC1A1；
（2）在棱A1B1上是否存在点E，使得直线DE与平面ABB1A1所成角的正弦值为若存在，求A1E的长度；若不存在，说明理由.
19.(本小题17分)
如图，在三棱柱中，其所有棱长都为2，是棱的中点，．
(1)求证：平面平面．
(2)若，点P满足．
①求直线与平面所成角的正切值；
②求二面角的余弦值．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】AD
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）根据平面向量的加法法则和相反向量的定义可得：
；
根据平面向量的加法法则和相等向量的定义可得：
；
证明：（2）因为AB=AD=3，AA′=2，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，
所以根据平面向量数量积公式可得：
，，
由（1）得
=
=0+32+3-32-0-3=0，
所以，即BD⊥AC′；
（3）由（1）得，
所以
=
=32+32+22+2×0+2×3+2×3=34，
所以，即AC′的长为．
16.【答案】（1）证明：由四边形ABCD为矩形，且PA⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，
得PA⊥CD，又AD⊥CD，
PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
又因为PD 平面PAD，所以CD⊥PD．
（2）由四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
所以AB⊥AD，PA⊥AB，PA⊥AD，
以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（4，0，0），D（0，2，0），C（4，2，0），P（0，0，2），
可得，，．
设平面PCD的一个法向量为，则，
令y=1，则x=0，z=1，故．
设直线PB与平面PCD所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|=．
所以直线PB与平面PCD所成的角的正弦值为．
17.【答案】解：(1)证明：取的中点F，连接，，
因为E是的中点，所以且，因为且，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为，的延长线交于一点，
平面，平面，所以平面，
又因为，所以，，两两垂直，
所以以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量，
则，即，取，得，
设平面的一个法向量，则，
即，取，得，
设平面与平面的夹角为，则.

18.【答案】（1）证明：因为D为AC的中点，AB=BC，所以BD⊥AC．
因为A1D⊥平面ABC，BD 平面ABC，所以A1D⊥BD．
又AC，A1D 平面ACC1A1，且AC∩A1D=D，
所以BD⊥平面ACC1A1．
（2）解：因为AB⊥BC，，所以AC=2，BD=1．
因为四边形ACC1A1为菱形，且A1D⊥AC，所以．
由（1）知DB，DC，DA1两两垂直，
故以D为坐标原点，DB，DC，DA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（0，-1，0），B（1，0，0），，，
所以，，
设（0≤λ≤1）．
又，所以，
设平面ABB1A1的一个法向量，
则，即，令z=1，则，，所以，
记直线DE与平面ABB1A1所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|=，解得（负根舍去），
此时E为A1B1的中点，所以在棱A1B1上存在点E满足条件，此时．
19.【答案】解：(1)证明：取的中点，连接，，．
因为为的中点，为的中点，所以．
在三棱柱中，，
所以四边形是菱形，所以，所以．
因为，，，平面，所以平面．
又因为平面，所以．
因为是等边三角形，为的中点，所以．
因为，，平面，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
（2）①连接，．因为，，所以是等边三角形．
又因为为的中点，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又因为，平面，所以，．
又由（1）知，所以，，两两互相垂直．
以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
设．因为，即，所以．
因为，，所以．
易得平面的一个法向量为．
所以．
设直线与平面所成的角为，则，
则，所以．
所以直线与平面所成角的正切值为．
②因为，，，所以，．
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以．
设二面角的平面角为，
由图可知，为锐角，则，
所以二面角的余弦值为．

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