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湖北黄冈市浠水县第二实验中学等校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段自测数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.一元二次方程3x2-2x+4=0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A. 3，2 B. 2，3 C. 3，-2 D. 3，4
3.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. 且 B. 且 C. 且 D.
4.若关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋3x＋m2－1＝0的一个实数根为0，则m等于()
A. 1 B. ±1 C. －1 D. 0
5.用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　）
A. （x+1）2＝6 B. （x﹣1）2＝6 C. （x+2）2＝9 D. （x﹣2）2＝9
6.一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. D.
7.一元二次方程-4x+3=0的两个实数根为,,下列结论正确的是( )
A. +=-4 B. +=3 C. =4 D. =3
8.2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事。楚超有支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（）
A. B.
C. D.
9.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　）
A. B. C. D.
10.新定义：若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”．若关于的一元二次方程是“倍根方程”，则代数式的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.把一元二次方程化为一般形式是 ．
12.关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
13.已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
14.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为 米．
15.在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.解下列方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根．
18.(本小题8分)
已知．
(1) 化简；
(2) 若为方程的解，求的值．
19.(本小题8分)
如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1) 设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2) 若此时花圃的面积刚好为45 m2，求此时花圃的长与宽．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1) 求m的取值范围；
(2) 若，求m的值．
21.(本小题8分)
2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
(1) 求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
(2) 若家庭年人均纯收入达到4000元就可以脱贫，年平均增长率保持不变，那么2019年该贫困户是否能脱贫？
22.(本小题12分)
超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
(1) 当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元；
(2) 在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
(3) 在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由．
23.(本小题14分)
已知关于的方程.
(1) 求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；
(2) 能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由．
(3) 当等腰三角形ABC的边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．
24.(本小题20分)
【探索发现】如图，等腰直角中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点、，
其中、是方程的两根．
(1) 直接写出 ， ；
(2) 在第二象限构造等腰直角，使得，求点的坐标；
(3) 如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；
(4) 【拓展应用】如图，直线分别交轴和轴于两点，点在直线上，且点坐标为，点坐标为，连接，点为直线上一点，满足，请直接写出点的坐标： ．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】6
16.【答案】【小题1】
解：
或
∴，；
【小题2】
解：
或
∴，．

17.【答案】解：将代入方程，得：，
解得，
将代入原方程，得：，
整理得，
即，
解得，，
故的值为，方程的另一根为．

18.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：∵为方程的解，
∴，
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
（24-3x）
【小题2】
解：x（24-3x）=45，
化简得：x2-8x+15=0，
解得：x1=5，x2=3．
当x=5时，24-3x=9＜14，符合要求；
当x=3时，24-3x=15＞14，不符合要求，舍去．
答：花圃的长为9m，宽为5m.

20.【答案】【小题1】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
【小题2】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，，
将，，代入，
∴，即，
∴，
解得，
由（1）知，
∴．

21.【答案】【小题1】
解：设年平均增长率为x，根据题意得方程
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
【小题2】
∵3600×（1+20%）=4320（元）．
∵4320﹥4000 ．
∴2019年该贫困户能脱贫．
答：2019年该贫困户能脱贫．

22.【答案】【小题1】
40
1800
【小题2】
根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100，
解得：x＝15或x＝20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
【小题3】
商场日盈利不可以达到2200元，理由：
根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2200，
整理得到：x2﹣35x+350＝0．
由于△＝b2﹣4ac＝1225﹣1400＝﹣175＜0，
所以该方程无解．
故商场日盈利不可以达到2200元．

23.【答案】【小题1】
解：∵△=，
∴方程总有实根；
【小题2】
∵两实数根互为相反数，
∴，
解得；
【小题3】
①当时，则△=0，
即，
∴，
方程可化为，
∴，
∴，∴不适合题意舍去；
②当，则，
∴，
方程化为，
解得，，
∴c=2，C△ABC=10，
当c=a=4时，同理得b=2，
∴C△ABC=10，
综上所述，△ABC的周长为10．

24.【答案】【小题1】
4
2
【小题2】
过点作轴交轴于点，
∵是等腰直角三角形，，,
又,
∴,
∴,
∴，
∴,
∴,
∴．
【小题3】
如图，过点作交于点，
过点作轴交轴于点，
则由旋转的性质可得，，
∴是等腰直角三角形，
又,
∴,
又,
∴,
∴，
∴,
∴,
∴．
设直线的函数表达式为,
将点代入得
,
解得,
∴直线的函数表达式为．
【小题4】
或

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