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四川省成都市石室天府中学2026-2027学年八年级上学期数学第三周定时练习（含答案）
（考查内容：勾股定理、勾股定理的逆定理、实数与整式运算）
（全卷分A卷、B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，全卷共150分；考试时间120分钟）
A卷（共100分）
一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1．下列选项中是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5　　B．1/3，1/4，1/5　　C．9，12，15　　D．12，18，22
2．△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A+∠B=90°　　B．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5　　C．a=3，b=4，c=5　　D．c2-a2=b2
3．勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）
A　　　　　　 　　B　　　　　　　 　C　　　　　　 　　D
4．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则点C到AB的距离是（　　）
A．4　　B．6　　C．12/5　　D．24/5
5．“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC=（　　）
A．8　　B．10　　C．13　　D．12
6．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为S1，S2，S3，S4．若S1=2，S2=4，S4=11，则BC的长为（　　）
A．1　　B．2　　C．3　　D．4
7．若△ABC三边a，b，c满足a2-b2+c(a-b)=0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形　　B．直角三角形　　C．等边三角形　　D．锐角三角形
8．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2的值为（　　）
A．16　　B．20　　C．18　　D．25
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
9．如图，一棵树（树干与地面垂直）原来高10 m，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离AC为6 m，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的长为__________m．
10．一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的外形高必须低于__________米．
11．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶50海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶50海里到达C地，则A、C两地相距__________海里．
第10题图 第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上被称为“希波克拉底月牙”．当AB=10，BC=6时，阴影部分的面积为__________．
13．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，沿AD和EF将纸片折叠，使点B和点C都落在边BC上的点P处，则AE的长是__________．
三、解答题（共48分）
14．（12分）计算：
（1）|-3|+(π-2)0-(1/3)-2+(-1)2025；
（2）x2×x4-(2x3)2+x7÷x；
（3）(a-3b)(a+b)-a(2a-4b)；
（4）先化简，再求值：[(x+3y)2-(2x+y)(2x-y)-10y2]÷(3x)，其中x=2，y=-1/2．
15．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=4，AD=3，BC=13，CD=12．
（1）求证：BD⊥DC；
（2）求四边形ABCD的面积．
16．（8分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想要风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
17．（10分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24，AM=6，求BN的长．
18．（10分）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，射线EF交边AD于点G．
（1）如图1，求证：AG=EG；
（2）当AB=4时．（i）如图2，若四边形ABCD的面积为24，且当点G与D重合时，BC=FG，求AD的长；
（ii）在BC边上取一点H，连接AH，使得AH=AG，若△AFG的面积是△AEH的面积的2倍，直接写出BE2的值．
B卷（共50分）
一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
19．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为__________．
第19题图 第20题图 第21题图 第22题图
20．如图，长方体的长为2，宽为1，高为4，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A，沿长方体的表面爬到点C′处，则爬行的最短路径为__________．
21．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为10 cm，底面周长为30 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2 cm且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处所走的最短路程为__________cm．（杯壁厚度不计）
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P为BC上一个动点，连接AP，将△ACP沿AP折叠得到△ADP，点C的对应点为D，连接BD，若AC=5，BC=12，当△PBD为直角三角形时，线段CP的长为__________．
23．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则我们称a，b，c为一组勾股数．已知某直角三角形的三边长为一组勾股数，其中一条直角边长为32，则这个直角三角形的周长是__________．
二、解答题（共30分）
24．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a+b=12．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）求c2的最小值．
25．（10分）（1）小石在学习长方形的时候发现：如图1，当点P在长方形ABCD的边BC上时，点P到4个顶点间的距离PA，PB，PC，PD之间满足PA2+PC2=PB2+PD2，请对小明发现的结论给出证明；
（2）如图2，当点P在长方形ABCD内部或外部时，PA，PB，PC，PD之间的数量关系仍成立吗？如果成立，请加以证明（请选择一种情况即可），如果不成立，请说明理由；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8，P为平面内一点，PA=7，PC=3，则PB长的取值范围是__________（直接写出结果）．
26．（12分）如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，且OA=OC，点P是边CD上的一个动点，连接OP，过点O作OQ⊥OP，交BC于点Q．
（1）求OB的长度；（2）设DP=y，CQ=x，求y与x的关系式（不要求写自变量的取值范围）；（3）当△OCQ是等腰三角形时，求CP的长度．
参考答案
四川省成都市石室天府中学2026-2027学年八年级上学期数学第三周定时练习
A卷
一、选择题（每小题4分，共32分）
1．C　2．B　3．A　4．D　5．D　6．C　7．A　8．B
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．3.2　　10．4.1　　11．50　　12．24　　13．13/6
三、解答题（共48分）
14．（1）原式=3+1-9+(-1)=-6．
（2）原式=x6-4x6+x6=-2x6．
（3）原式=a2+ab-3ab-3b2-2a2+4ab=-a2+2ab-3b2．
（4）原式=(x2+6xy+9y2-4x2+y2-10y2)÷(3x)=(-3x2+6xy)÷(3x)=-x+2y．
当x=2，y=-1/2时，原式=-2+2×(-1/2)=-3．
15．（1）在Rt△ABD中，BD==5．
又BD2+CD2=25+144=169=132=BC2，∴∠BDC=90°，即BD⊥DC．
（2）S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=1/2×4×3+1/2×5×12=6+30=36．
16．（1）风筝与放线处的竖直高度差为=20(米)，
故风筝的垂直高度CE=20+1.7=21.7(米)．
（2）下降12米后竖直高度差为20-12=8(米)，此时线长=17(米)，
故应往回收线25-17=8(米)．
17．（1）是．∵1.52+22=2.25+4=6.25=2.52=MN2，
∴以AM、BN、MN为边的三角形是直角三角形，点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设MN=m，BN=n，则m+n=24-6=18．
①若n为斜边：62+m2=n2，即36+m2=(18-m)2，解得m=8，n=10；
②若m为斜边：62+n2=m2，即36+(18-m)2=m2，解得m=10，n=8．
∴BN的长为10或8．
18．（1）证明：由翻折得∠AEF=∠AEB．
又AD∥BC，∴∠EAG=∠AEB，∴∠AEF=∠EAG，即∠AEG=∠EAG，∴AG=EG．
（2）（i）设BC=a，则AD=12-a（由梯形面积24=(AD+BC)/2×4得AD+BC=12）．
当G与D重合时，AG=AD，又AG=EG，且FG=BC=a．
在Rt△AFG中，AF=AB=4，∠AFG=90°，故AG2=AF2+FG2，即(12-a)2=16+a2，
解得a=16/3，∴AD=12-16/3=20/3．
（ii）BE2的值为48/7或16/5．
B卷
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．96　　20．5　　21．17　　22．5或10/3　　23．96，160，288，544
二、解答题（共30分）
24．（1）S=1/2ab，由a+b=12得ab≤((a+b)/2)2=36，
∴S≤18，即△ABC面积的最大值为18（此时a=b=6）．
（2）c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=144-2ab，
当ab取最大值36时c2最小，为144-72=72．
25．（1）证明：以B为原点建立坐标系，设A(0，h)，B(0，0)，C(m，0)，D(m，h)，P(t，0)．
则PA2=t2+h2，PC2=(m-t)2，PB2=t2，PD2=(m-t)2+h2，
∴PA2+PC2=t2+h2+(m-t)2=PB2+PD2．
（2）仍成立．设P(x，y)为平面内任意一点，则
PA2+PC2=[x2+(y-h)2]+[(x-m)2+y2]，
PB2+PD2=[x2+y2]+[(x-m)2+(y-h)2]，两式完全相等．
（3）PB长的取值范围是1≤PB≤9．
26．（1）O为AC中点，AC==10，故OB=1/2AC=5．
（2）以A为原点建立坐标系：A(0，0)，B(6，0)，C(6，8)，D(0，8)，则O(3，4)．
由DP=y得P(y，8)；由CQ=x得Q(6，8-x)．
OP=(y-3，4)，OQ=(3，4-x)，由OP⊥OQ得3(y-3)+4(4-x)=0，
整理得4x-3y=7，即y=(4x-7)/3．
（3）OC=5，CQ=x，OQ=．分三种情况：
①OC=CQ：x=5，此时y=13/3，CP=6-y=5/3；
②OC=OQ：5=，得x=0（舍去）或x=8（此时y=25/3＞6，舍去）；
③CQ=OQ：x=，解得x=25/8，此时y=11/6，CP=6-11/6=25/6．
∴CP的长度为5/3或25/6．

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