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形如\(y=kx\)（k是常数，\(k≠0\)）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。正比例函数图象是一条经过原点\((0,0)\)的直线，画图象一般选取两点：原点\((0,0)\)和点\((1,k)\)，这种画法称为两点法。正比例函数的性质由比例系数k决定：当\(k>0\)时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当\(k<0\)时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小。\(|k|\)决定直线的倾斜程度，\(|k|\)越大，直线越靠近y轴，倾斜程度越大。判断一个函数是否为正比例函数，必须满足三个条件：解析式为单项式形式，自变量次数为 1，常数项为 0 且\(k≠0\)。当已知图象上一点坐标，可代入解析式求出k的值，进而确定函数解析式。做题时要注意，\(k≠0\)是正比例函数不可缺少的限制条件，题目含字母参数时，千万不能遗漏这个要求。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 下列函数属于正比例函数的是（）A.\(y=3x+1\) B.\(y=-5x\) C.\(y=\dfrac{2}{x}\) D.\(y=x^2\)2. 正比例函数\(y=4x\)图象经过的象限是（）A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限3. 正比例函数\(y=-2x\)，y随x增大而（）A.增大B.减小C.不变D.无法判断4. 正比例函数\(y=kx\)经过点\((2,-6)\)，则k的值为（）A.3 B.\(-3\) C.12 D.\(-12\)5. 关于正比例函数图象说法正确的是（）A.不一定过原点B.是一条曲线C.两点法画图常取\((0,0)\)和\((1,k)\) D.\(k=0\)时仍是正比例函数### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 正比例函数\(y=kx\)（\(k≠0\)）图象是一条经过________的直线。2. 若正比例函数\(y=mx\)的图象经过二、四象限，则m____0。3. 正比例函数\(y=3x\)，当\(x_1<x_2\)时，\(y_1\)____\(y_2\)。4. 已知正比例函数过点\((-1,4)\)，解析式为________。5. \(|k|\)越大，正比例函数直线倾斜程度越________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 判断下列函数是不是正比例函数，如果是，写出比例系数k。①\(y=-7x\)；②\(y=2x+5\)；③\(y=\dfrac13x\)；④\(y=\dfrac4x\)。2. 已知正比例函数\(y=-3x\)。（1）画出该函数图象，写出取点；（2）说出图象经过哪两个象限，以及y随x的变化规律。3. 已知正比例函数\(y=(m-4)x\)。（1）若函数是正比例函数，求m的取值范围；（2）若图象经过一、三象限，求m的取值范围。4. 已知正比例函数图象经过点\(A(-2,6)\)。（1）求这个正比例函数解析式；（2）若点\(B(3,b)\)在这个函数图象上，求b的值。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：A是一次函数不是正比例函数；C是反比例函数；D是二次函数。2. **B**。解析：\(k=4>0\)，直线经过一、三象限。3. **B**。解析：\(k=-2<0\)，y随x增大而减小。4. **B**。解析：代入\((2,-6)\)，\(-6=2k\)，解得\(k=-3\)。5. **C**。解析：正比例函数一定过原点；图象是直线；\(k≠0\)。### 填空题1. **原点\((0,0)\)**2. **＜**。解析：\(k<0\)，图象过二、四象限。3. **＜**。解析：\(k=3>0\)，y随x增大而增大。4. \(\boldsymbol{y=-4x}\)。解析：代入\(x=-1,y=4\)求得\(k=-4\)。5. **大**。解析：\(|k|\)越大，直线越陡。### 解答题1. 解：①是正比例函数，\(k=-7\)；②不是，存在常数项；③是正比例函数，\(k=\dfrac13\)；④不是，自变量在分母。2. 解：（1）两点法，取\((0,0)\)与\((1,-3)\)，在坐标系描两点，连成直线。（2）\(k=-3<0\)，图象经过第二、四象限；y随x增大而减小。3. 解：（1）正比例函数要求\(m-4≠0\)，即\(m≠4\)；（2）图象过一、三象限，则\(m-4>0\)，解得\(m>4\)。4. 解：（1）设\(y=kx\)，代入\((-2,6)\)，\(6=-2k\)，\(k=-3\)，解析式\(y=-3x\)。（2）点\(B(3,b)\)代入，\(b=-3×3=-9\)。## 四、易错点总结1. 忽略正比例函数条件\(k≠0\)，含字母参数题目容易忘记这个限制；2. 记错k正负对应的象限与增减性，\(k>0\)过一三，递增；\(k<0\)过二四，递减；3. 混淆正比例函数与一次函数，正比例函数不能带有常数项；4. 求解析式时代入坐标横纵坐标颠倒，计算k出错；5. 不清楚\(|k|\)的意义，误以为k正负决定倾斜陡峭程度，实际上k的符号只决定经过象限，陡峭程度由绝对值决定。（全文 1321 字）沪科版（新教材）数学八年级上册12.2.1正比例函数的图象和性质授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第12章 函数与一次函数1
2
3
理解一次函数及正比例函数的定义，并能根据定义判断一个函数是否为一次函数（正比例函数）.
掌握正比例函数图象的画法，能够准确画出正比例函数的图象，并总结出正比例函数图象的性质，同时能够熟练运用正比例函数的性质.
通过探究正比例函数图象及性质，强化数形结合的意识，培养观察、分析、归纳、推理等数学思维能力，能够从具体的函数实例中抽象出一般的函数图象与性质，实现从特殊到一般的认知飞跃。
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创设情境
某辆汽车的油箱中原有油100 L,汽车每行驶50 km耗油6 L.
(1)写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式:　　　　;
(2)写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式:　　　　　　.
y=x
z=100-x
03
新知探究
说说这些函数有什么共同特点.
(1) h=30t+1800; S=300t;
(2) y=2x； y=-2x； y=2x+4.
这些函数的表达式都是关于自变量的一次式.
y=kx+b
一般形式是？
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新知探究
① 自变量的系数 k≠0；
(1)一般地，形如 y=kx+b( k,b为常数，且 k≠0)的函数叫做一次函数 .
一次函数 y=kx＋b (k≠0) 的结构特征：
③ 常数项 b 可以是任意实数．
② 自变量 x 的次数是 1；
特别地：当b=0时，一次函数 y=kx+b 就成为y=kx（k为常数，k≠0）
(2)形如 y=kx( k为常数，且k≠0) 的函数叫做正比例函数.
归纳
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新知探究
正比例函数与一次函数
正比例函数是一次函数的特殊情形.
可见：
正比例函数
一次函数
一定
不一定
归纳
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新知探究
y
y 2x
y=4x
y 2x
y=-4x
下面，来研究正比例函数的图象与性质.
前面画过函数y=2x，y= 2x，y=4x,y=-4x的图象，观察这些图象，它们有什么共同特点。
由此可见：
正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象是一条经过原点的直线.
2. 通常我们把正比例函数的图象叫做直线y=kx.
03
新知探究
因为两点确定一条直线，所以我们画正比例函数的图象，只要先描出两点，再过这两点画直线即可.
画正比例函数的图象，只要先描出两点，再过这两点画直线，
就可以了.一般取(0，0)和(1，k)两点.
03
新知探究
例1.在同一平面直角坐标系中,画下列函数的图象:y=x, y=x, y=3x.
x … 0 1 …
y=x … 0 …
y=x … 0 1 …
y=3x … 0 3 …
解:列表:(为便于比较,三个函数值计算表
排在一起)
如图,过两点(0,0),(1,)画直线,得y=x的图象;
过两点(0,0),(1,1)画直线,得y=x的图象;
过两点(0,0),(1,3)画直线,得y=3x的图象.
03
新知探究
在同一平面直角坐标系中,画下列函数的图象:y=-x, y=-x, y=-3x.
操作
解:函数y=-x的图象经过点(0,0),(2,-1),
函数y=-x的图象经过点(0,0),(1,-1),函数
y=-3x的图象经过点(0,0),(1,-3),
它们的图象如图所示:
03
新知探究
结合例1及【操作】栏目中的图象,
(1) 请说出正比例函数y=3x和 y=-3x的图象经过的象限,
(2)当k>0时，正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0) 的图象经过 哪几个象限？k<0呢？
(3)当k>0 时,函数图象从左向右看变化趋势是怎样的 当自变 量x增大时,函数值 y是怎样变化的 k<0呢？
(4)|k|的大小对正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象有什么影响
思考
03
新知探究
思考
(1)正比例函数y=3x经过一三象限；y=-3x的图象经过二四象限
(2)当k>0时,函数y=kx的图象经过第一、三象限;当k<0时,函数y=kx的图象经过第二、四象限.
(3)当k>0时，函数图象从左向右看，呈上升趋势，当自变量x增大时，函数值y也增大；k<0时，函数图象从左向右看，呈下降趋势，当自变量x增大时，函数值y也减小
(4)|k|越大,直线y=kx与x轴的夹角就越大;|k|越小,直线y=kx与x轴的夹角就越小.
03
新知探究
思考
你能从中归纳出怎样的规律？
一般地，正比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)有下列性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大（图象是自左向右上升的）；
当k＜0时，y随x的增大而减小（图象是自左向右下降的）.
lkl 越大，y随x的增大而增大(或减小)的速度越快.
１．下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
①　　　　　　　　　　　　　②
③　　　　　　　　　　　　　④
形如（）的函数叫作一次函数．
当时，（）叫作正比例函数．
一次函数
正比例函数
教材P37 练习
课堂练习
2.填空:
(1)写出一个图象经过第二、四象限的正比例函数的表达式: .
(2)已知正比例函数(为常数),若随的增大而增大,则的取值范围是 .
(3)若P1(11,y1)，P2(12,y2)在正比例函数的图象上,则y1 y2(填“>”“<”或“=”).
(1)经过二、四象限的正比例函数
（2）
（3）
随的增大而减小
课堂练习
教材P37 练习
３．如图，三个正比例函数的图象分别对应的表达式是：
①；②；③．
请用“＞”表示，，的大小关系 .
越大，图象越靠近轴(图象越陡)
图象经过二、四象限，下降线，ｙ随ｘ的增大而减小；
图象经过一、三象限，上降线，ｙ随ｘ的增大而减大；
方法技巧
课堂练习
教材P37 练习
Ｃ
１
-1
-2
１
２
３
课堂练习
A
课堂练习
1. 下列函数中，是一次函数的是________，是正比例函数的是________．(填序号)
①y＝x＋1－x；②y＝－4x－1；③y＝3x2；
④s＝ ；⑤y＝kx＋b；⑥y＝ .
向“参数分析”生长：已知函数y＝(m－1) －n是关于x的一次函数，则m＝________，若该函数是正比例函数，则m＝________，n＝________．
②④
④
－1
－1
0
2．[知识初练]函数y＝－3x的图象是经过点(0，_______)，(1，________)的一条________．
0
－3
直线
3. 【思维生长】正比例函数y＝x的图象是(　　)
D
【补充设问】已知正比例函数y＝kx的图象形如选项C所示，则k的取值范围是________．
k<0
向“逆向推理”生长：若正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象经过第一、第三象限，则k的值可以是_____________ (写出一个即可)．
2(答案不唯一)
4．已知点P(1，m)在正比例函数y＝2x的图象上，则m＝________．
2
5．用你认为最简单的方法画出函数y＝－ x的图象．
6. 【思维生长】下列关于直线y＝－6x的说法不正确的是(　　)
A．一定经过点(1，－6)
B．过第二、第四象限
C．y随x的增大而减小
D．不论x取何值，总有y<0
D
05
课堂小结
正比例函数的图象和性质
正比例函数: y=kx(k≠0）
图象：经过原点的直线.
一次函数: y=kx+b
(k、b为常数，且k≠0）
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
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