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一般地，二元一次方程\(ax+by=c\)（\(b≠0\)）可以变形为一次函数\(y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}\)。所以**任何一个二元一次方程都对应一个一次函数，对应一条直线**。直线上任意一点的横、纵坐标\((x,y)\)，都是这个二元一次方程的一组解；反过来，二元一次方程的任意一组解，对应的点一定在这条直线上。二元一次方程组\(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)，把两个方程分别化成一次函数\(y=k_1x+b_1\)、\(y=k_2x+b_2\)。两个一次函数图象的**交点坐标\((x,y)\)，就是二元一次方程组的解**。图象三种情况：1. 两直线相交（\(k_1≠k_2\)）：方程组有唯一一组解；2. 两直线平行（\(k_1=k_2,b_1≠b_2\)）：方程组无解；3. 两直线重合（\(k_1=k_2,b_1=b_2\)）：方程组有无数组解。核心思想：**数形结合**。方程的解对应点坐标，点组成直线；求方程组的解，可以转化为找两条直线交点坐标。本节重点：二元一次方程与一次函数的互相转化，利用函数图象求二元一次方程组的近似解，根据直线位置判断方程组解的个数。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 将二元一次方程\(2x+y=3\)化为\(y=kx+b\)形式，结果是（）A.\(y=2x+3\) B.\(y=-2x+3\) C.\(y=2x-3\) D.\(y=-2x-3\)2. 二元一次方程\(3x-y=1\)对应的直线上一点坐标是（）A.\((0,1)\) B.\((1,2)\) C.\((-1,2)\) D.\((1,3)\)3. 两个一次函数图象相交于一点，则对应的二元一次方程组（）A.有唯一解B.无解C.无数组解D.无法判断4. 直线\(y=x+1\)与\(y=-x+3\)交点\((1,2)\)，则方程组\(\begin{cases}y=x+1\\y=-x+3\end{cases}\)的解为（）A.\(\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}\) B.\(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\) C.\(\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}\) D.\(\begin{cases}x=3\\y=0\end{cases}\)5. 两条直线\(y_1=2x+1\)，\(y_2=2x+3\)平行，则对应的方程组（）A.唯一解B.无解C.无数组解D.2组解### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 二元一次方程\(ax+by=c\)（\(b≠0\)）可转化为________的形式。2. 二元一次方程的每一组解\((x,y)\)，对应直线上一个________。3. 两个一次函数图象交点坐标，就是对应二元一次________的解。4. 直线重合，对应的二元一次方程组有________组解。5. 方程\(x-2y=4\)，当\(x=2\)时，\(y=\)________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 把二元一次方程\(3x+2y=6\)转化为一次函数\(y=kx+b\)形式，并写出两组方程的解。2. 已知一次函数\(y=2x-1\)。（1）写出对应的二元一次方程；（2）判断点\((2,3)\)是否是这个方程的一组解。3. 两个一次函数：\(y_1=-x+4\)，\(y_2=2x-2\)，图象交于点\((2,2)\)。（1）写出对应的二元一次方程组；（2）直接写出方程组的解。4. 在同一直角坐标系中画出直线\(y_1=2x-4\)与\(y_2=-x+2\)。（1）求两条直线交点坐标；（2）写出对应的二元一次方程组及其解。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：移项\(y=-2x+3\)。2. **B**。解析：代入\((1,2)\)，左边\(3\times1-2=1\)等于右边。3. **A**。解析：相交，交点唯一，方程组唯一解。4. **B**。解析：交点坐标就是方程组的解。5. **B**。解析：斜率相同，截距不同，直线平行，无交点，方程组无解。### 填空题1. \(\boldsymbol{y=kx+b}\)2. **点（坐标）**3. **方程组**4. **无数**5. \(\boldsymbol{-1}\)。解析：代入\(x=2\)，\(2-2y=4\)，解得\(y=-1\)。### 解答题1. 解：\(3x+2y=6\)，\(2y=-3x+6\)，\(\boldsymbol{y=-\dfrac{3}{2}x+3}\)。两组解示例：\(\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}\)；\(\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}\)。2. 解：（1）移项得到二元一次方程：\(\boldsymbol{2x-y=1}\)。（2）把\(x=2,y=3\)代入左边，\(2\times2-3=1\)，等式成立，所以\((2,3)\)是方程一组解。3. 解：（1）方程组：\(\begin{cases}y=-x+4\\y=2x-2\end{cases}\)，整理为\(\begin{cases}x+y=4\\2x-y=2\end{cases}\)。（2）交点\((2,2)\)，方程组解\(\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=2\end{cases}}\)。4. 解：（1）联立方程\(\begin{cases}y=2x-4\\y=-x+2\end{cases}\)，\(2x-4=-x+2\)，解得\(x=2\)，\(y=0\)。交点\(\boldsymbol{(2,0)}\)。（2）方程组\(\begin{cases}y=2x-4\\y=-x+2\end{cases}\)，解\(\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=0\end{cases}}\)。## 四、易错点总结1. 方程变形移项时符号出错，把\(ax+by=c\)化成\(y=kx+b\)容易符号搞错；2. 分不清：单个二元一次方程有无穷多解，二元一次方程组才可能只有唯一解；3. 直线平行、重合、相交三种情况对应的解的个数容易记混；4. 交点坐标作为方程组的解，写解时\(x、y\)写颠倒；5. 数形结合理解不到位，不理解 “点在直线上” 等价于 “坐标满足方程”。沪科版（新教材）数学八年级上册12.3.1一次函数与二元一次方程授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第12章 函数与一次函数1
2
3
深入理解一次函数与二元一次方程（组）之间存在的紧密对应关系，熟练掌握运用图象法求解二元一次方程组的方法.
在探究一次函数与二元一次方程（组）之间的关系时，学会从函数的独特视角去认识和分析问题，掌握利用数形结合思想分析和解决各类数学问题的技巧.
感受解决问题策略的丰富多样性，不断发展自身的实践能力和创新精神，逐步树立运用联系的观点看待数学问题的辩证思维.
02
复习旧知
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
４
５
(１);
(２)；
(３)；
(４)．
画出函数的图象，并用结合函数图象，从函数的角度解释下列方程和不等式．
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创设情境
　今天数学王国搞了个家庭 Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”.
二元一次方程
一次函数
x + y = 5
到我这里来
到我这里来
这是怎么回事？ x + y = 5 应该坐在哪里呢？
03
新知探究
把二元一次方程转化为一次函数的形式.
一次函数，任意给出自变量的一些值，求出对应的的值.
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 7.5 6 4.5 3 1.5 0 -1.5 …
是二元一次方程的一组解
是一次函数图象上一点
二元一次方程有无数多组解,解的全体叫作该二元一次方程的解集．
03
新知探究
x
y
o
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
6
7
以这些有序数对为坐标，在坐标平面内描点作图.
一次函数 y = -x +3 图象上的点
方程 3x + 2y = 6 的解
从形到数
从数到形
03
新知探究
归纳
一般地，一个二元一次方程可以转化为一次函数
(为常数，且)的形式，所以，每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线.
03
新知探究
例、已知直线 AB 如图所示，点A的坐标为(0，1).
(1)求直线 AB 的表达式；
解：(1) 由图象，得点 A(0，1)，点 B(2，2).
设直线 AB 为 y＝kx＋b (k≠0).
由题意得 b＝1，2k＋b＝2，
解得 .
∴ 直线 AB 的表达式为
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新知探究
(2) 已知 C(－4，－1)，说明点 C 是否在直线 AB 上？
∴点 C 在直线 AB 上．
解：(2) 把 x＝－4，代入 ，得
练习１　既不解方程组也不画图，你能判断下列方程组的解的情况吗？
该方程组唯一解
该方程组无数解
该方程组无解
该方程组唯一解
方法技巧
由系数关系判断方程组解的情况，先将方程化为的形式，再比较系数比进行判断。
0不能作分母
课堂练习
点P 在第四象限
D
课堂练习
课堂练习
1．[知识初练]二元一次方程x－y＝4的解有________组，以该方程的解为坐标的点都在函数____________的图象上；直线y＝－x＋5上的点的坐标都是二元一次方程____________的解．
1星题 基础练
无数
【思维模型】一次函数与二元一次方程数形结合
y＝x－4
x＋y＝5
2．以二元一次方程y＝－3x＋1的解为坐标的点组成的图象画在坐标系中可能是(　　)
C
3.【教材改编题】如图，已知直线y＝ax＋b，则关于x的方程ax＋b＝－1的解为(　　)
A．x＝0 B．x＝2
C．x＝4 D．x＝1
A
4．以二元一次方程4x＋2y＝22的解为坐标的点都在直线l上．
(1)直线l对应的函数表达式为______________．
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出直线l；
(3)根据图象，4x＋2y＝22的自然数解有
________组，请用实心圆点将这些解
在图中标注出来．
y＝－2x＋11
解：如图所示．
6
如图．
5．若以关于x，y的二元一次方程x＋2y－b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝－ x＋b－1上，则常数b的值为(　　)
A. B．1 C．－1 D．2
D
2星题 中档练
6．直线y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)过点(2，3)，则关于x，y的二元一次方程kx－y＋b－3＝0必有一组解为____________．
05
课堂小结
二元一次方程与一次函数
二元一次方程的解与一次函数图象的关系
谢谢观看
THANKS

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