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## 知识点梳理每个二元一次方程组都对应两个一次函数，对应两条直线。方程组\(\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}\)，先把两个方程变形为\(y=k_1x+b_1\)和\(y=k_2x+b_2\)。- 若\(k_1≠k_2\)，两直线**相交**，有唯一交点\((x,y)\)，交点坐标就是方程组**唯一的解**；- 若\(k_1=k_2\)且\(b_1≠b_2\)，两直线**平行无交点**，方程组**无解**；- 若\(k_1=k_2\)且\(b_1=b_2\)，两直线**重合**，方程组有**无数组解**。用图象法解二元一次方程组步骤：1. 把方程组里两个方程化成一次函数\(y=kx+b\)形式；2. 在同一坐标系画出两条直线；3. 读出交点坐标，即为方程组的解。 注意：图象法得到的解一般是近似解；想要精确解，要用代入消元或加减消元。核心数形关系：**方程组的解 两条直线交点坐标**。本节重点：根据两个一次函数解析式，判断两直线位置关系，确定方程组解的情况；利用图象求方程组的解，理解代数解法与图象解法的区别。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 直线\(y=2x-1\)与\(y=-x+5\)交于点\((2,3)\)，则方程组\(\begin{cases}y=2x-1\\y=-x+5\end{cases}\)的解是（）A.\(\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}\) B.\(\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}\) C.\(\begin{cases}x=-1\\y=5\end{cases}\) D.\(\begin{cases}x=2\\y=-1\end{cases}\)2. 直线\(y_1=3x+2\)，\(y_2=3x-1\)，则对应的二元一次方程组（）A.有唯一解B.无解C.无数组解D.无法确定3. 用图象法解二元一次方程组，得到的解一般是（）A.精确解B.近似解C.一定错误D.只有整数解4. 方程组\(\begin{cases}y=x+2\\2y=2x+4\end{cases}\)对应的两条直线（）A.相交B.平行C.重合D.垂直5. 二元一次方程组的解，对应两条一次函数直线的（）A.与y轴交点B.与x轴交点C.交点坐标D.任意一点### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 两条一次函数直线相交，则对应的二元一次方程组有____组解。2. 二元一次方程组无解，说明对应的两条直线互相________。3. 直线\(y=-x+3\)与\(y=2x\)交点坐标\((1,2)\)，方程组\(\begin{cases}y=-x+3\\y=2x\end{cases}\)的解为________。4. 图象法解方程组，先将方程转化为________形式。5. 两条直线重合，则对应的二元一次方程组有________组解。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知两条直线\(y_1=2x-3\)，\(y_2=-x+6\)。（1）求两直线交点坐标；（2）写出对应的二元一次方程组及其解。2. 已知方程组\(\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}\)。（1）把两个方程化成\(y=kx+b\)形式；（2）求方程组的解。3. 判断下面方程组解的情况，说明理由。\(\begin{cases}y=2x+1\\y=2x-3\end{cases}\)4. 方程组\(\begin{cases}2x-y=3\\4x-2y=6\end{cases}\)（1）化为一次函数形式；（2）判断对应直线位置关系和方程组解的情况。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：交点坐标就是方程组的解。2. **B**。解析：\(k_1=k_2=3\)，\(b_1≠b_2\)，直线平行，无交点，方程组无解。3. **B**。解析：画图读数会有误差，图象法一般得到近似解。4. **C**。解析：第二个式子化简\(y=x+2\)，两个函数完全相同，直线重合。5. **C**。解析：交点横纵坐标同时满足两个函数，即方程组的解。### 填空题1. **唯一（1）**2. **平行**3. \(\boldsymbol{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)4. \(\boldsymbol{y=kx+b}\)5. **无数**### 解答题1. 解：（1）联立\(2x-3=-x+6\)，\(3x=9\)，\(x=3\)，代入得\(y=3\)，交点\(\boldsymbol{(3,3)}\)。（2）方程组：\(\begin{cases}y=2x-3\\y=-x+6\end{cases}\)；解\(\boldsymbol{\begin{cases}x=3\\y=3\end{cases}}\)。2. 解：（1）变形：\(\boldsymbol{y=-x+5}\)，\(\boldsymbol{y=2x-1}\)。（2）联立：\(-x+5=2x-1\)，\(3x=6\)，\(x=2\)，\(y=3\)。解：\(\boldsymbol{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)。3. 解：两个函数\(k=2\)相等，截距\(1≠-3\)，两直线平行，没有交点，因此**方程组无解**。4. 解：（1）变形：\(y=2x-3\)；第二个式子化简：\(y=2x-3\)。两个解析式一样。（2）两条直线重合，方程组有**无数组解**。## 四、易错点总结1. 判断直线位置关系时，没有先把方程化成\(y=kx+b\)再比较\(k、b\)，直接看原式容易判断错误；2. 混淆平行与重合：k相同还要看b，b相同才重合，b不同是平行；3. 图象法的解是近似解，很多同学误以为图象读出的值一定是精确答案；4. 写方程组的解时，把\(x、y\)写颠倒；5. 不会把标准二元一次方程（\(ax+by=c\)）化成一次函数，移项变号出错。沪科版（新教材）数学八年级上册12.3.2一次函数与二元一次方程组授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第12章 函数与一次函数
02
复习旧知
一次函数y=kx+b图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；
一次函数y=kx+b的图象与二元一次方程kx-y+b=0的解有何关系？
以二元一次方程 kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b图象上。
一次函数与二元一次方程可以相互转化的，从形式到内容它们都是统一的。
02
创设情境
两条直线可能相交，只有一个交点；可能平行，没有交点；可能重合，有无数个交点.上节课，我们知道一次函数上的点对应二元一次方程的解，那么，两个一次函数的交点坐标对应的是不是两个二元一次方程的公共解呢？
03
新知探究
(1)在同一平面直角坐标系中画出直线l1:y=-x+1与直线l2:y=2x+6;
(2)直线l1与l2交于点P,根据图象,请你写出点P的坐标;
(3)检验点P的坐标是不是方程组的解.
03
新知探究
(2)点P的坐标为(-2,2).
(3)将x=-2,y=2代入方程组
经验证方程组中两个方程均成立,
故点P的坐标是方程组的解
03
新知探究
归纳
两个一次函数所在直线的交点坐标
二元一次方程组的解
从形到数
从数到形
一一对应
解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值．
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标.
03
新知探究
例、利用函数图象解方程组:
x 0 2
y -2 3
过点A(0,-2)和B(2,3)画出方程5x-2y=4所对应的直线l:y=x-2.
03
新知探究
同样地,点A(0,-2)和B(2,3)也在方程10x-4y=8所对应的直线上.所以方程5x-2y=4,10x-4y=8所对应的直线都是通过A(0,-2)和B(2,3)两点的直线l,如图,就是说,这两条直线重合.显然,直线l上每一个点的坐标都是原方程组的解,所以原方程组有无穷多组解.
核心必知
1．二元一次方程组 的解即为一次函数y＝k1x＋b1和____________的图象的交点坐标．
y＝k2x＋b2
2．直线l1，l2对应的二元一次方程分别为a1x＋b1y＝c1，a2x＋b2y＝c2.
两直线的位置关系、二元一次方程组的解与方程组中各项系数之比的关系如下表：
两直线的位置关系 相交 重合 平行
的解 唯一解 无数组解 无解
的关系
1. 【思维生长】已知方程组 的解为 则直线____________与直线____________的交点坐标为_______．
1星题 基础练
y＝x－2
向“逆向推理”生长：已知直线y＝x＋3与直线y＝2x－4的交点坐标为(7，10)，则 是方程组______________的解．
y＝－x＋4
(3，1)
7
10
向“数形结合思想”生长：如图中的两直线l1、l2的交点坐标可看作是方程组________________的解．
03
新知探究
你能归纳运用图象法解二元一次方程组的一般步骤吗？
一般步骤
①方程化成函数
②画出函数图象
③找出图象的交点坐标
④写出方程组的解
归纳
03
新知探究
例2、利用函数图象解方程组:
解:方程3x+2y=-2对应直线l1:y=-x-1.
方程6x+4y=4对应直线l2:y=-x+1.
作出直线l1和l2的图象如图,两条直线平行,故方程组无解.
03
新知探究
二元一次方程组的解的情况有三种：
（1）图象相交时，原方程组有唯一组解；
（2）图象重合时，原方程组有无穷多组解；
（3）图象平行时，原方程组无解.
归纳
03
新知探究
上述例题直观地说明二元一次方程组的解有三种情况:当把二元一次方程组化为 后,比较每个例题的两个方程中x的系数之比、y的系数之比、常数项之比,你发现了怎样的规律
03
新知探究
①当 a1：a2 ≠b1：b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一解；
②当 a1：a2=b1：b2 =c1 :c2时，两直线重合，故方程组有无穷组解；
③当a1：a2=b1：b2 ≠c1 :c2时，两直线平行，故方程组无解.
2．若一次函数y＝3x－1与y＝kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，则方程组 的解是____________．
3．[厦门月考]已知直线y＝2x＋k与直线y＝kx－2的交点的横坐标为2，求k的值和交点的纵坐标．
解：由题意得
所以k的值为6，交点的纵坐标为10.
4．利用图象解方程组：
解：方程组对应的两个一次函数为y＝2x＋5和y＝－x－1，
画出这两个一次函数的图象，如图所示．
由图象知两直线的交点坐标为(－2，1)，
所以原方程组的解为
5. 【新考法】若关于x，y的二元一次方程组 有唯一解，则直线y＝3x－2与y＝kx－3的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交 D．重合
C
05
课堂小结
解二元一次方程组
当自变量为何值时两
个函数的值相等，以
及这个函数值是何值。
解二元一次方程组
确定两条直线
交点的坐标
从数的角度看
从形的角度看
一次函数与二元一次方程组的关系
谢谢观看
THANKS

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