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1. **基本事实（公理）**：人们在长期实践中总结出来，作为原始依据的真命题，不需要推理证明。例如：两点确定一条直线；两点之间线段最短。2. **定理**：经过推理证实的真命题叫做定理。定理可以作为继续推理的依据。>> 公理、定理都是**真命题**；但真命题不一定是定理（没有被用来作为推理依据的真命题不是定理）。3. **证明**：从命题的题设出发，根据定义、基本事实、已学定理，一步步推理，判断结论是否成立的过程叫做证明。证明书写格式：已知、求证、证明。证明每一步推理都要有**依据**（写在每一步后面括号内），依据可以是：定义、公理、定理、已知条件、等式性质。4. **证明假命题**：不需要完整推理，**举出反例**即可。本节重点：区分公理、定理、命题；看懂简单几何证明；规范书写证明步骤，填写推理依据。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 下列说法正确的是（）A.命题都是定理B.定理都是真命题C.真命题一定是公理D.假命题也可以是定理2. 下列属于基本事实（公理）的是（）A.对顶角相等B.三角形内角和\(180^\circ\)C.两点之间线段最短D.同角的补角相等3. 证明几何命题时，每一步推理后面括号内写的是（）A.结论B.依据C.题设D.图形名称4. 要证明一个命题是假命题，可行的方法是（）A.进行推理证明B.举出一个反例C.画图测量D.猜想5. 关于公理和定理，错误的是（）A.公理不需要证明B.定理需要证明C.公理可以作为推理依据D.定理不能作为推理依据### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 经过推理证实的真命题叫做________。2. 基本事实（公理）是不需要________的真命题。3. 从题设出发，依据定义、公理、定理推导出结论的过程叫做________。4. 定理一定是真命题，但真命题不一定是________。5. 证明的每一步推理都必须有________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 判断下列语句，是公理、定理还是一般命题。（1）两点确定一条直线；（2）等角的余角相等；（3）相等的角是对顶角。2. 补全下面证明过程，并填写推理依据。已知：如图，\(\angle1=\angle2\)。求证：\(a\parallel b\)。证明：\(\because \angle1=\angle2\)（已知）又\(\because \angle1=\angle3\)（********）\(\therefore \angle2=\angle3\)（等量代换）\(\therefore a\parallel b\)（********）3. 求证：对顶角相等。写出已知、求证、证明。4. 判断命题 “若\(a^2=b^2\)，则\(a=b\)”是真命题还是假命题，如果是假命题，请举反例。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：定理是经过证明的真命题；命题有真有假；真命题不一定是公理。2. **C**。解析：其余三个都是定理，需要证明。3. **B**。解析：几何证明每一步后面写推理依据。4. **B**。解析：举反例证明假命题。5. **D**。解析：定理可以作为后续推理的依据。### 填空题1. **定理**2. **证明**3. **证明**4. **定理**5. **依据**### 解答题1. 解：（1）公理（基本事实）；（2）定理；（3）命题（假命题）。2. 解：对顶角相等；同位角相等，两直线平行。3. 已知：直线\(AB、CD\)相交于点O。求证：\(\angle AOC=\angle BOD\)。证明：\(\because\)直线\(AB、CD\)相交于点O（已知）\(\therefore \angle AOC+\angle AOD=180^\circ\)，\(\angle BOD+\angle AOD=180^\circ\)（邻补角定义）\(\therefore \angle AOC=\angle BOD\)（同角的补角相等）。4. 解：**假命题**。反例：\(a=2，b=-2\)，此时\(a^2=b^2=4\)，但是\(a≠b\)。## 四、易错点总结1. 混淆概念：公理不用证明；定理**必须经过推理证明**；定理一定是真命题，但真命题不一定是定理。2. 证明填写依据时，写自己的口语描述，不用课本标准术语。3. 证明题漏写：已知、求证，直接写证明过程。4. 分不清证明真命题和假命题的方法：真命题要一步步推理证明；假命题只需要举反例。5. 误认为 “命题就是定理”，命题包含真命题和假命题，假命题不可能是定理。沪科版（新教材）数学八年级上册13.2.2定理与证明授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第13章 三角形中的边角关系、命题与证明1
2
3
理解演绎证明的概念，明确它是从已知真命题出发，通过逻辑推理证明新命题为真的过程。
通过具体实例分析证明过程，体会演绎推理的严谨性，提升逻辑思维能力．
通过独立完成简单证明，获得成功体验，增强对几何证明的学习信心。
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创设情境
几位小朋友在交流“如何证实一个命题是真命题”时产生了困惑，我们一起来看看吧 ~
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新知探究
论证几何，源于希腊数学家欧几里得的《原本》，这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑，它确立了数学中公理化的演绎范式.
要求：
★每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论；
★所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.
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新知探究
有些命题，如“对顶角相等”“同角的补角相等”等，是从基本事实或其他真命题出发,用推理方法判断为正确的,并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
从已知条件出发,依据定义、基本事实、已证定理,并按照逻辑规则,推导出结论,这一方法称为演绎推理(或演绎法).
演绎推理的过程,就是演绎证明,简称证明 .
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新知探究
例3、已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
分析：①已知∠1=∠2；
②∠1=∠3(对顶角相等)；
③学过的判断平行的依据“同位角相等，两直线平行”.
1
2
3
c
a
b
03
新知探究
又因为∠1=∠3，(对顶角相等)
因为∠1=∠2，(已知)
所以∠2=∠3.(等量代换)
所以a∥b.(同位角相等，两直线平行)
证明过程
“因为”简写为“∵”
“∵”读作“因为”；
“所以”简写为“∴”
“∴”读作“所以”.
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新知探究
命题证明的一般步骤:
(1) 分清命题的条件(已知),结论(求证)
(2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
(4)分析题意,探索证明思路;
(5)写出证明过程.
归纳
注意数学符号的运用！
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新知探究
例4、已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
A
O
C
B
E
F
1
2
证明 ∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，（已知）
∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.（角平分线定义）
又∵∠AOB+∠BOC=180°，（已知）
∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC)=90°.（等式性质）
∴OE⊥OF.（垂直的定义）
１．在括号内填上推理的依据．
已知：如图，AB∥DC，AD∥BC。
求证：∠A=∠C。
证明：∵AB∥DC，( )
∴∠A＋∠D＝180°.( )
∵AD∥BC,( )
∴∠C＋∠D＝180°.( )
∴∠A＋∠D＝∠C＋∠D.( )
∴∠A=∠C.( )
已知
两直线平行，同旁内角互补
已知
两直线平行，同旁内角互补
等量代换
等式的性质
课堂练习
２．补充完成下列证明，并填上推理的依据．
已知：如图，DC∥AB，DF平分∠CDB，BE平分∠ABD。求证：∠1=∠2。
证明： ∵DC∥AB，（ ）
∴∠ABD=∠CDB.（ ）
　又　∵DF平分∠CDB，BE平分∠ABD（ ）
　　　　 （ ）
∴∠1=∠2（ ）
∴∠1=∠ ，∠1=∠ ，
已知
两直线平行，内错角相等
角平分线的定义
等量代换
ABD
CDB
已知
课堂练习
核心必知
1．从已知条件出发，依据________、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法)．演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明．
2．证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步：根据题意，画出图形；
第二步：写出已知、求证；
第三步：分析题意，找出证明途径；
第四步：写出证明过程．
定义
1．两点确定一条直线是(　　)
A．定义 B．基本事实
C．定理 D．假命题
1星题 基础练
B
2. 【新趋势·开放性问题】请写出一个关于角相等的定理：_____________________________________.
两直线平行，同位角相等(答案不唯一)
3．下列说法中，错误的是________．(填序号)
①所有的定义都是命题；②所有的基本事实都是命题；③所有的定理都是命题；④所有的命题都是定理．
④
4.【教材改编题】如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，则∠AOB＝∠COD，推理的依据是(　　)
A．同角的补角相等 B．同角的余角相等
C．对顶角相等 D．垂直的定义
B
5．[滁州月考]补全下面的证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图，点F在线段AD上，点B，C，E共线，∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D.
求证：∠E＝∠DFE.
证明：∵∠B＋∠BCD＝180°(已知)，
∴AB∥CD(___________________________)，
∴∠B＝________(_________________________)．
同旁内角互补，两直线平行
∠DCE
两直线平行，同位角相等
又∵∠B＝∠D(已知)，
∴________＝________(____________)，
∴AD∥BE(_________________________)，
∴∠E＝∠DFE(_________________________)．
∠DCE
∠D
等量代换
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
6. 【新题型】某密码锁的密码是一个三位数，小亮说：“它是254.”小明说：“它是964.”小强说：“它是357.”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是__________．
267
2星题 中档练
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