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1. **三角形内角和定理**：三角形三个内角的和等于\(\boldsymbol{180^\circ}\)。证明思路：作平行线，利用平行线性质，把三个内角转化成平角。2. **推论 1**：直角三角形的两个锐角互余。逆用：有两个角互余的三角形是直角三角形。3. **推论 2**：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。延伸性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。>> 推论：由定理直接推出的真命题，推论可以直接当作证明依据使用。本节重点：内角和定理的证明；利用推论求角度；外角模型计算；证明角度相等。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=35^\circ\)，\(\angle B=55^\circ\)，则这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2. 三角形的一个外角等于\(100^\circ\)，与它不相邻的一个内角是\(40^\circ\)，另一个不相邻内角是（）A.\(40^\circ\) B.\(50^\circ\) C.\(60^\circ\) D.\(80^\circ\)3. 在\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle A=28^\circ\)，则\(\angle B\)的度数为（）A.\(62^\circ\) B.\(72^\circ\) C.\(52^\circ\) D.\(28^\circ\)4. 下列关于三角形外角说法正确的是（）A.外角大于内角B.外角等于两个内角之和C.外角等于与它不相邻两个内角之和D.外角一定是钝角5. 一个三角形三个内角之比为\(2:3:4\)，最大外角为（）A.\(100^\circ\) B.\(120^\circ\) C.\(140^\circ\) D.\(160^\circ\)### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 三角形内角和等于________。2. 直角三角形的两个锐角________。3. 三角形的一个外角等于与它________的两个内角之和。4. 三角形的一个外角________任意一个与它不相邻的内角。5. 若三角形两个内角互余，则这个三角形是________三角形。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知：\(\triangle ABC\)，求证：\(\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\)。（作平行线证明）2. 如图，在\(\triangle ABC\)中，\(\angle B=50^\circ\)，外角\(\angle ACD=120^\circ\)，求\(\angle A\)的度数。3. 已知：如图，\(\text{Rt}\triangle ABC\)，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(CD\perp AB\)。求证：\(\angle A=\angle BCD\)。4. 在\(\triangle ABC\)中，AD是BC边上的高，\(\angle BAD=30^\circ\)，\(\angle C=45^\circ\)，求\(\angle BAC\)的度数。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：\(\angle C=180^\circ-35^\circ-55^\circ=90^\circ\)，直角三角形。2. **C**。解析：\(100^\circ-40^\circ=60^\circ\)。3. **A**。解析：互余，\(90^\circ-28^\circ=62^\circ\)。4. **C**。解析：外角定理，必须强调 “不相邻”。5. **B**。解析：三个内角\(40^\circ,60^\circ,80^\circ\)；最大外角对应最小内角，\(180^\circ-40^\circ=140^\circ\)。### 填空题1. \(\boldsymbol{180^\circ}\)2. **互余**3. **不相邻**4. **大于**5. **直角**### 解答题1. 证明：过点A作\(DE\parallel BC\)。\(\because DE\parallel BC\)（辅助线作法）\(\therefore \angle B=\angle DAB\)（两直线平行，内错角相等）\(\angle C=\angle EAC\)（两直线平行，内错角相等）\(\because D,A,E\)在同一直线上，\(\therefore\angle DAB+\angle BAC+\angle EAC=180^\circ\)（平角定义）代入得：\(\angle B+\angle BAC+\angle C=180^\circ\)。即\(\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\)。2. 解：由三角形外角推论 2，\(\angle ACD=\angle A+\angle B\)\(\angle A=\angle ACD-\angle B=120^\circ-50^\circ=\boldsymbol{70^\circ}\)。3. 证明：\(\because \angle ACB=90^\circ\)（已知）\(\therefore \angle A+\angle B=90^\circ\)（直角三角形两锐角互余）\(\because CD\perp AB\)（已知）\(\therefore \angle CDB=90^\circ\)，\(\therefore \angle BCD+\angle B=90^\circ\)（直角三角形两锐角互余）\(\therefore \angle A=\angle BCD\)（同角的余角相等）。4. 解：\(\because AD\perp BC\)，\(\therefore \angle ADC=90^\circ\)。在\(\text{Rt}\triangle ADC\)中，\(\angle DAC=90^\circ-\angle C=90^\circ-45^\circ=45^\circ\)。\(\angle BAC=\angle BAD+\angle DAC=30^\circ+45^\circ=\boldsymbol{75^\circ}\)。## 四、易错点总结1. 使用外角推论时，漏掉关键词**不相邻**，直接写外角等于两个内角之和，证明扣分；2. 内角和定理证明，辅助线描述不规范，缺少平行线的依据；3. 推论 1：两个锐角互余，只能用于直角三角形；不要随便用到普通三角形；4. 求外角时，分不清外角对应的是哪个内角；5. 角度计算大题，缺少推理依据，只写算式，几何证明会扣分。沪科版（新教材）数学八年级上册13.2.3三角形内角和定理的证明及其推论1，2授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第13章 三角形中的边角关系、命题与证明1
2
3
能够由掌握的“剪拼法”验证三角形内角和，过度到理论证明，理解几何证明的必要性和严谨性．
在分析证明思路、构建证明体系的过程中，提升逻辑推理能力（归纳推理、演绎推理），学会运用转化思想（将三角形内角和问题转化为平角或同旁内角问题）和数形结合思想解决几何问题。
明确其推论（直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形）的推导逻辑，能清晰区分定理与推论的关系。
02
复习旧知
回想一下证明的一般步骤是什么？
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；
②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
02
创设情境
我们之前通过剪拼或者测量，认识到三角形内角和为180°，但是实际的操作中总是有一些误差，这节课，我们将给出严谨的证明过程，证明三角形内角和为180°.并得到直角三角形的内角关系.
03
新知探究
在证明命题时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先画出图形，再结合图形，写出已知、求证.
命题：三角形的内角和等于180°.
已知：△ABC， 求证：∠A+∠B+∠C=180°
03
新知探究
证明:延长BC到D,过点C作CE∥AB,
如图13-2-7,
∴∠1=∠　　　　,
(　　　　　　　　　　　 )
∠2=∠　　　　,(　　　　　　　　　　　　)
∵∠　　　　+∠　　　　+∠ACB=180°,(　　 　　)
∴∠　　　　+∠　　　　+∠ACB=180°.(　　　 )
A
两直线平行,内错角相等
B
两直线平行,同位角相等
1
2
平角的定义
A
B
等量代换
03
新知探究
思路总结：为了证明三个角的和为180°,将三个内角转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
E
2
1
D
A
B
C
辅助线
03
新知探究
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
推论1：　　
A
C
B
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论．　　
在三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角的和应为90°.　　
03
新知探究
在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.
推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
应用格式：在△ABC 中，
∵∠A +∠B =90°，
∴△ABC 是直角三角形°．　
A
C
B
03
新知探究
4
2
C
B
A
1
3
证明:D是BC边上一点，过点D作DE∥AB，DF ∥ AC，分别交AC，AB于点E，F.
∴∠A=∠4 ，∠B=∠3 ，( )
∴∠2=∠A . ( )
∵∠1＋∠ 2＋∠3 =180°，( )
∴∠B＋∠ BAC＋∠C =180°. (等量代换)
平角定义
两直线平行，同位角相等
例、已知：△ABC. 求证：∠A＋∠B＋∠C =180°.
∵DE∥AB，
DF∥AC，
∠C=∠1 . ( )
∠2=∠4 . ( )
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
等量代换
１．补充完成下列证明，并填上推理的依据．
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明 过点A作DE∥BC，
则∠DAB= ,∠EAC= .( )
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC= ，
∴∠B+∠BAC+∠C= + + =180°（ ）
∠B
∠C
180°
∠DAB
∠EAC
∠BAC
两直线平行，内错角相等
等量代换
课堂练习
２．补充完成下列证明．
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明　在BC边上取一点D，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F。
∵ DE∥AB
∴∠B=∠EDC，∠A=∠DEC（两直线平行，同位角相等）
∵DF∥AC（所作）
∴∠Ｃ=∠BDF（两直线平行，同位角相等）
∠DEC=∠EDF（两直线平行，内错角相等）
∵∠EDF+∠DEC+∠BDF=180°，（平角的定义）
∴∠A+∠B+∠C=∠EDF+∠DEC+∠BDF=180°(等量代换)
∴∠A=∠EDF（等量代换）
课堂练习
３．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°。
求证：∠C+∠D=180°。
证明：∵∠A+∠B=180°（已知）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
课堂练习
４．已知：在四边形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠C。
求证：AD∥BC。
证明　∵AB∥DC，（已知）
∴∠A+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠A=∠C（已知）
∴∠C+∠D=180°（等量代换）
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
课堂练习
核心必知
1．定理：三角形的内角和等于________．
2．推论1：直角三角形的两锐角________．
3．推论2：有两个角______的三角形是直角三角形．
180°
互余
互余
1. 阅读材料：为了证明“三角形的内角和是180°”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法，请回答下列问题：
(1)图①②在证明三角形内角和定理的过程中应用的数学思想是(　　)
A．转化思想 B．整体思想
C．方程思想 D．数形结合思想
1星题 基础练
A
(2)请选用③或④证明三角形的内角和为180°.
解：(答案不唯一)选用④证明三角形的内角和为180°.
证明：∵CD∥AB，
∴∠B＋∠BCD＝180°，∠A＝∠ACD.
又∵∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，
∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，
即三角形的内角和为180°.
2. 【思维生长】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A＋∠B的大小为(　　)
A．30° B．60° C．90° D．180°
向“转化思想”生长：将一个直角三角板和直尺按如图所示的方式放置．若∠1＝36°，则∠2的度数是(　　)
A．36° B．54° C．56° D．64°
C
B
向“实践应用”生长：如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中AB∥CD，DE⊥BC，∠ABC＝70°，则∠EDC＝________°.
向“方程思想”生长：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B＋30°，则∠B＝________°.
向“分类讨论思想”生长：在直角三角形ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶m∶3，则m＝__________．
20
20
2或4
3．[知识初练]在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，则△BDC是________角三角形．
直
5．[合肥月考]如图，AB∥CD，AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，AC和DB交于点E.求证：△ADE是直角三角形．
证明：∵AB∥CD，∴∠ADC＋∠BAD＝180°.
∵AC平分∠BAD，DB平分∠ADC，
∴∠DAE＝ ∠BAD，∠ADE＝ ∠ADC，
∴∠ADE＋∠DAE＝ ∠ADC＋ ∠BAD＝ (∠ADC＋∠BAD)＝90°，∴∠AED＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝90°，
∴△ADE是直角三角形．
05
课堂小结
三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理：
三角形内角和定理推论1：
三角形的内角和等于180°.
直角三角形的两锐角互余.
三角形内角和定理推论2：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
谢谢观看
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