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1. **三角形外角定义**：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。每个三角形有 6 个外角，每个顶点处有 2 个外角（对顶角，度数相等）；一个顶点的外角与相邻内角互为邻补角，相加等于\(\boldsymbol{180^\circ}\)。2. **外角两个重要性质**① 三角形的一个外角**等于与它不相邻的两个内角的和**。（计算角度最常用）② 三角形的一个外角**大于任何一个与它不相邻的内角**。（比较角大小）3. **三角形外角和**：三角形三个不同顶点处的外角相加等于\(\boldsymbol{360^\circ}\)。 易错提醒：外角**不等于**任意两个内角之和，必须是**不相邻**的两个内角；外角和不是\(180^\circ\)。本节重点：利用外角性质求角度；几何简单证明；比较角的大小；外角 + 内角综合计算题。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 三角形的一个外角等于（）A.两个内角之和B.与它不相邻两个内角之和C.任意一个内角D.相邻内角2. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=42^\circ\)，\(\angle B=58^\circ\)，则和\(\angle C\)相邻的外角是（）A.\(80^\circ\) B.\(90^\circ\) C.\(100^\circ\) D.\(110^\circ\)3. 三角形一个外角是\(130^\circ\)，和它相邻的内角是（）A.\(50^\circ\) B.\(60^\circ\) C.\(70^\circ\) D.\(80^\circ\)4. 三角形外角和等于（）A.\(180^\circ\) B.\(270^\circ\) C.\(360^\circ\) D.\(540^\circ\)5. 三角形的一个外角大于（）A.它的邻补角B.任意一个与它不相邻的内角C.三角形最大内角D.三角形最小内角### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的________。2. 三角形的一个外角与相邻内角之和等于________。3. 三角形的一个外角等于与它________的两个内角之和。4. 三角形的外角和等于________。5. 三角形的一个外角________任何一个与它不相邻的内角。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=40^\circ\)，\(\angle B=65^\circ\)，求\(\angle C\)相邻外角的度数。2. 如图，\(\triangle ABC\)中，点D在BC延长线上，\(\angle B=35^\circ\)，\(\angle ACD=100^\circ\)，求\(\angle A\)的度数。3. 已知：如图，\(\triangle ABC\)，延长BC到D。求证：\(\angle ACD=\angle A+\angle B\)。4. 如图，在\(\triangle ABC\)中，AD是角平分线，\(\angle B=40^\circ\)，\(\angle BAC=80^\circ\)，求\(\angle ADC\)的度数。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：外角定理，关键词 “不相邻”。2. **C**。解析：外角 =\(\angle A+\angle B=42^\circ+58^\circ=100^\circ\)。3. **A**。解析：邻补角，\(180^\circ-130^\circ=50^\circ\)。4. **C**。解析：三角形外角和恒为\(360^\circ\)。5. **B**。解析：外角性质 2。### 填空题1. **外角**2. \(\boldsymbol{180^\circ}\)3. **不相邻**4. \(\boldsymbol{360^\circ}\)5. **大于**### 解答题1. 解：方法 1：\(\angle C=180^\circ-40^\circ-65^\circ=75^\circ\)，外角\(=180^\circ-75^\circ=105^\circ\)。方法 2：外角\(=\angle A+\angle B=40^\circ+65^\circ=\boldsymbol{105^\circ}\)。2. 解：\(\because \angle ACD\)是\(\triangle ABC\)外角\(\therefore \angle ACD=\angle A+\angle B\)\(\angle A=\angle ACD-\angle B=100^\circ-35^\circ=\boldsymbol{65^\circ}\)。3. 证明：\(\because \angle A+\angle B+\angle ACB=180^\circ\)（三角形内角和定理）\(\angle ACD+\angle ACB=180^\circ\)（邻补角定义）\(\therefore \angle ACD=\angle A+\angle B\)（同角的补角相等）。4. 解：\(\because AD\)平分\(\angle BAC\)，\(\angle BAC=80^\circ\)\(\therefore \angle BAD=\dfrac12\angle BAC=40^\circ\)。\(\because \angle ADC\)是\(\triangle ABD\)外角\(\therefore \angle ADC=\angle B+\angle BAD=40^\circ+40^\circ=\boldsymbol{80^\circ}\)。## 四、易错点总结1. 写外角性质漏掉**不相邻**，考试写定理会扣分；2. 混淆内角和、外角和：内角和\(180^\circ\)，外角和\(360^\circ\)；3. 分不清 “相邻内角” 和 “不相邻内角”，计算时代错角；4. 大题计算只写算式，不写 “外角” 这个推理依据；5. 误认为三角形只有 3 个外角，每个顶点有 2 个外角。（全文 1321 字）沪科版（新教材）数学八年级上册13.2.4三角形的外角授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第13章 三角形中的边角关系、命题与证明复习回顾
1.在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = 52°，则∠C = .
2.如图，在△ABC 中， ∠A = 70°，∠B = 60°，则∠ACB = ，∠ACD = .
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
A
B
C
D
48°
50°
130°
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角.
它们的和是 180°.
03
新知探究
A
B
C
D
如图，把△ABC 的一边 BC 延长至点 D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
03
新知探究
A
B
C
① 每一个三角形都有6个外角；
② 每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
03
新知探究
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
C
B
A
D
03
新知探究
A
B
C
D
△ABC的外角∠ACD与它的内角有什么关系？
三角形的外角
相邻的内角
不相邻的内角
交流
03
新知探究
性质：三角形的外角与它相邻的内角互补.
BD为BC边延长线,所以与BC边共直线，
∴∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠ACB与∠ACD互补.
B
C
A
D
03
新知探究
思考：在△ABC中，外角∠ACD与它不相邻的内角的和有怎样的关系？
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，(三角形内角和定理)
∴∠A+∠B=180°-∠ACB .(等式的性质)
∵∠ACB+∠ACD=180°，(平角的定义)
∴∠ACD=180°-∠ACB .(等式的性质)
∴∠ACD=∠A+∠B .(等量代换)
B
C
A
D
∠ACD=∠A+∠B
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
03
新知探究
A
B
C
D
提示：还记得我们证明三角形内角和定理时是怎样添加辅助线的吗？
E
延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
证明：延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
则有∠B=∠ECD，(两直线平行，同位角相等)
∠A=∠ACE，(两直线平行，内错角相等)
又∠ECD+∠ACE=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠B.(等量代换)
03
新知探究
如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流.
A
B
C
D
这三个角之间还有其它的关系吗？
①∠ACD ∠A(填“＞”“＜”)
②∠ACD ∠B(填“＞”“＜”)
＞
＞
03
新知探究
推论3 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
归纳
A
B
C
D
∠A +∠B =∠ACD
∠ACD＞∠A， ∠ACD＞∠B
1．如图，在∠1，∠2，∠3中，是△ABC外角的是(　　)
A．∠1 B．∠2，∠3
C．∠1，∠3 D．∠1，∠2，∠3
1星题 基础练
C
2．下列说法中错误的是________．(填序号)
①一个三角形只有三个外角；
②三角形的每个顶点处都有两个外角；
③三角形的每个外角是与它相邻内角的邻补角；
④一个三角形共有六个外角．
①
3．[厦门期末]如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝25°，则∠ACD的度数是(　　)
A．60° B．55°
C．120° D．65°
A
03
新知探究
例5.已知：如图，∠1、∠2、∠3是 △ABC的三个外角
求证： ∠1+∠2+∠3=360°
A
B
C
1
2
3
证明 ∵∠1=∠ABC+∠ACB
∠2=∠BAC+∠ACB
∠3=∠BAC+∠ABC,
（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴ ∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).
（等式性质）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，（三角形内角和定理）
∴∠1+∠2+∠3=360°.
03
新知探究
(
(
(
如图，三角形的外角和等于360°.
(
(
(
归纳
4.【跨学科·体育】体育课上的侧压腿动作可以抽象为几何图形(如图)，若∠1＝110°，则∠2等于(　　)
A．10° B．20° C．25° D．30°
B
5．如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为____________．(用“<”连接)
∠1<∠2<∠3
6．如图，∠A＝20°，∠B＝30°，∠C＝50°，则∠ADB的度数为________．
100°
7．[合肥期末]如图，F是△ABC的边BC延长线上的一点，DF⊥AB，∠A＝30°，∠F＝40°，求∠ACF的度数．
解：在△DFB中，DF⊥AB，∴∠FDB＝90°.
∵∠F＝40°，∠FDB＋∠F＋∠B＝180°，
∴∠B＝50°.
在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACF＝∠A＋∠B＝30°＋50°＝80°.
05
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于 360°
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角
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