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1. **SAS判定定理**：两边及其**夹角**分别相等的两个三角形全等。简单记作：**边角边（SAS）**。>> 重点理解：夹角，是**这两条已知边中间夹的那个角**。> 注意：SSA（两边及其中一边的对角）**不能判定全等**，这是高频易错点！2. 书写证明格式：先找两组对应边相等，再找两组边的夹角相等，最后写\(\boldsymbol{\triangle \cdots\cong\triangle\cdots(\text{SAS})}\)。3. 常见隐含条件：公共边、对顶角。本节重点：识别SAS条件；利用SAS证明三角形全等；通过全等得到边、角相等。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 下列条件可以用SAS判定两个三角形全等的是（）A.两个角对应相等B.两边和其中一边的对角相等C.两边和它们的夹角对应相等D.三条边对应相等2. 如图，在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，\(AB=DE\)，\(BC=EF\)，要用SAS证明全等，则需要添加条件（）A.\(\angle A=\angle D\)B.\(\angle B=\angle E\)C.\(\angle C=\angle F\)D.\(AC=DF\)3. 下列说法正确的是（）A. SSA可以判定三角形全等B. SAS中的角是任意一个角C.夹角是两条边中间的角D.两边相等就一定全等4. AC与BD交于点O，\(OA=OC\)，\(OB=OD\)，证明\(\triangle AOB\cong\triangle COD\)的依据是（）A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS5. 已知\(AB=AD\)，\(\angle BAC=\angle DAC\)，直接判定\(\triangle ABC\cong\triangle ADC\)的依据（）A. SAS B. SSA C. ASA D. HL### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 两边及其________分别相等的两个三角形全等，简写成SAS。2. SSA________（填 “能” 或 “不能”）判定两个三角形全等。3. 用SAS证明全等时，相等的角必须是两组对应边的________。4. 对顶角相等经常作为证明全等的________条件。5. 若两个三角形通过SAS证得全等，则它们的对应角________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知：如图，\(AB=AC\)，\(\angle BAD=\angle CAD\)。求证：\(\triangle ABD\cong\triangle ACD\)。2. 已知：点\(B、E、C、F\)在同一直线上，\(AB=DE\)，\(BE=CF\)，\(\angle B=\angle DEF\)。求证：\(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)。3. 已知：\(AC、BD\)相交于点O，\(OA=OB\)，\(OC=OD\)。求证：\(AD=BC\)。4. 如图，\(AB=AE\)，\(AC=AD\)，\(\angle BAE=\angle CAD\)。求证：\(\triangle ABC\cong\triangle AED\)。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **C**。解析：SAS定义：两边及其夹角相等。2. **B**。解析：\(AB、BC\)的夹角是\(\angle B\)；\(DE、EF\)夹角是\(\angle E\)。3. **C**。解析：SSA不能判定全等；SAS的角必须是夹角。4. **B**。解析：\(OA=OC\)，\(\angle AOB=\angle COD\)（对顶角相等），\(OB=OD\)，SAS。5. **A**。解析：\(AB=AD\)，\(\angle BAC=\angle DAC\)，\(AC=AC\)公共边，SAS。### 填空题1. **夹角**2. **不能**3. **夹角**4. **隐含**5. **相等**### 解答题1. 证明：\(\because AB=AC\)（已知）\(\angle BAD=\angle CAD\)（已知）\(AD=AD\)（公共边）\(\therefore \triangle ABD\cong\triangle ACD(\text{SAS})\)。2. 证明：\(\because BE=CF\)（已知）\(\therefore BE+EC=CF+EC\)，即\(BC=EF\)（等式性质）在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中\(\begin{cases}AB=DE(\text{已知})\\\angle B=\angle DEF(\text{已知})\\BC=EF(\text{已证})\end{cases}\)\(\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF(\text{SAS})\)。3. 证明：在\(\triangle AOD\)和\(\triangle BOC\)中\(\begin{cases}OA=OB(\text{已知})\\\angle AOD=\angle BOC(\text{对顶角相等})\\OD=OC(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\triangle AOD\cong\triangle BOC(\text{SAS})\)\(\therefore AD=BC\)（全等三角形对应边相等）。4. 证明：\(\because\angle BAE=\angle CAD\)（已知）\(\therefore\angle BAE+\angle EAC=\angle CAD+\angle EAC\)，即\(\angle BAC=\angle EAD\)（等式性质）在\(\triangle ABC\)和\(\triangle AED\)中\(\begin{cases}AB=AE(\text{已知})\\\angle BAC=\angle EAD(\text{已证})\\AC=AD(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\triangle ABC\cong\triangle AED(\text{SAS})\)。## 四、易错点总结1. 混淆**夹角**和一边对角，误把SSA当成SAS，考试会直接扣分；2. 条件不完整直接写SAS，没有先证明夹角相等或者边相等；3. 线段和差不会处理（如\(BE=CF\)推出\(BC=EF\)）；4. 全等证明书写不规范，对应顶点位置写错；5. 要证边或角相等，忘记最后一步写 “全等三角形对应边 / 角相等”。沪科版（新教材）数学八年级上册14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第14章 全等三角形1
2
3
掌握边角边判定方法的内容，会运用边角边判定方法证明两三角形全等.
掌握两边一角画三角形的方法.
体会证明两线段相等，两个角相等通常转化为“证明两三角形全等”来解决的数学方法.
02
复习旧知
1. 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2.如图△ABC≌△A′B′C′，说出两个三角形中的对应线段、对应角之间的关系？
A
B
C
A′
B′
C′
(1)AB=A′B′ (2)BC=B′C′ (3) AC=A′C′
(4) ∠A=∠A’ (5)∠B=∠B’ (6)∠C=∠C＇
02
创设情境
三角形有六个基本元素（三条边和三个角），只给定其中的一个元素或两个元素，能够确定一个三角形吗？
A
B
C
03
新知探究
根据下面给出的条件分别画三角形,判断所能画出的三角形是否是确定的
操作
只给定一个元素
不能确定！
2.一个角为45°
1.一条边长为4cm
03
新知探究
操作
2.只给定两个元素：
(1)两条边长分别为4cm,5cm
不能确定！
(2)一条边长为4cm，一个角为45°
(3) 两个角分别为45°，60°
还需要增加什么条件呢？
03
新知探究
探究
1.如图，把圆规平放在桌面上，在圆规的两脚上各取一点A，C，自由转动其中一角，△ABC的形状、大小随之改变。那么还需要增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢？
A
C
B
α
还需确定BA、BC两边夹角α的大小.
03
新知探究
2.如图，把两块三角尺的一条直角边放在同一条直线l上，其中∠B，∠C已知，并记两块三角尺斜边的交点为A.沿着直线l分别向左右移动两个三角尺，△ABC的大小随之改变，这直观地说明一个三角形，只知道两个角，这个三角形是不确定的，那么还需要增加什么条件才可以使△ABC确定呢？
l
A
B
C
还需确定∠B、∠C两角公共边BC的长度.
03
新知探究
由上可知，确定一个三角形的形状、大小至少需要有三个元素．
在三角形中，任意给定三个元素能确定三角形吗？
不一定.
① 三边　
② 三角　
③ 两边一角　
④ 两角一边　
3个元素
确定三角形的形状、大小的条件能否作为判定三角形全等的条件呢？
下面，我们利用尺规作图作出三角形，来研究两个三角形全等的条件。
03
新知探究
操作
已知：△ABC.
求作：△A'B'C'，使A'B'=AB，∠B'=∠B，B'C'=BC.
A
B
C
B′
M
N
A′
C′
03
新知探究
(2)在B′M上截取B′A′=BA，在B′N上截取B′C′=BC；
作法：
(3)连接A′C′．
(1)如图，作∠MB′N=∠B；
则△A'B'C' 就是所求作的三角形．
将所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？
03
新知探究
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
简记为“边角边”或“SAS”.
在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A′B′C′ (SAS)
几何语言：
B′
A′
C′
B
A
C
注意格式：
边是角所在的两边，角是两边的夹角.边写在上下两边，角写在中间.
03
新知探究
例1 已知：如图，AD∥CB，AD=CB.
求证：△ADC≌△CBA.
A
B
C
D
证明：∵AD∥CB，(已知)
在△ADC 和△CBA 中，
AD = CB， (已知)
∠DAC =∠BCA，(已证)
∴ △ADC≌△CBA . (SAS)
AC = CA，(公共边)
∴∠DAC =∠BCA (两直线平行，内错角相等).
03
新知探究
证明三角形全等的步骤：
①“找”：从已知条件出发，找齐三角形全等的三个条件；
②“列”：列出要证明的是哪两个三角形；
③“排”：把三角形全等的条件排列好，并用大括号括起来；
④“得”：得出全等结论，并标明所用判定方法.
03
新知探究
解:方案：在岸上取可以直接到达点A，B 的一点C，连接AC 并延长到点A'，使A'C＝AC；连接BC并延长到点B'，使B'C＝BC. 连接A'B'，量出A'B'的长，就得到A，B两点之间的距离.
例2 如图，在池塘的岸边有A，B两点，难以直接量出A，B两点间的距离. 你能设计一种量出A，B两点之间距离的方案吗？说明你这样设计的理由.
03
新知探究
理由：
在△ABC和△A'B'C'中，
∴△ABC≌△A'B'C.(SAS)
∴AB＝A'B'.(全等三角形的对应边相等)
1．如图，已知∠1＝∠2，用“SAS”判定△ABC≌△ABD，还需要添加的条件是(　　)
A．BC＝BD B．AC＝AD
C．∠C＝∠D D．∠ABC＝∠ABD
1星题 基础练
B
2．在△ABC和△DEF中，下列给出的条件，能用“SAS”判定这两个三角形全等的是(　　)
A．AB＝DE，BC＝DF，∠A＝∠D
B．AB＝EF，AC＝DF，∠A＝∠D
C．AB＝BC，DE＝EF，∠B＝∠E
D．BC＝EF，AC＝DF，∠C＝∠F
D
3．[合肥期末]如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
在△ABD和△ACE中，∵ ，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
4．[厦门期末]如图①，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，图②为其示意图，连接CF，点A，D，C，F在同一条直线上，且AF＝DC，BC＝EF，BC∥EF.求证：AB＝DE.
【思路引导】AF和DC能转化为全等三角形的对应边吗？由BC∥EF可以推出哪些角相等？还缺什么条件就能证明三角形全等了？
证明：∵BC∥EF，∴∠ACB＝∠DFE.
∵AF＝CD，∴AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF.
又∵BC＝EF，∴△ABC≌△DEF，∴AB＝DE.
5. 【新情境】如图①是一件盘口壶，图②是其示意图，为了测量其底部内径，考古学家将两根细木条AD，BC的中点O固定在一起，量出AB＝5 cm，则底部内径CD的长度为________．
5 cm
6.【立德树人·传统文化】在如图所示的部分象棋棋盘中，A处为点点的棋子“马”，B，C处为迅迅的两枚棋子，“马”可以从点A行棋至B处或C处吃掉迅迅的棋子，连接AB，AC，则∠1＋∠2＝__________°.
180
05
课堂小结
三
角
形
全
等
的
判
定
-
SAS
三角形全等的判定-SAS：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
简记为“边角边”或“SAS”.
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
AB=A'B'，
∠A=∠A'，
AC=A'C'，
B′
A′
C′
B
A
C
注意：两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
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