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1. **ASA判定定理**：两角及其**夹边**分别相等的两个三角形全等，简记为**角边角（ASA）**。>> 夹边：两个角中间共用的那条边。2. 证明书写要点：按角 — 边 — 角顺序列出三组条件，这条边必须是两个角之间的公共边。3. 常见隐含条件：公共边、对顶角、平行线得到内错角 / 同位角相等。 区分：ASA是两角 +**夹边**；AAS是两角 + 其中一角的对边，不要混淆。本节重点：识别ASA条件；用ASA完成全等证明；利用全等推导边、角相等。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. ASA判定全等，相等的这条边是（）A.其中一个角的对边B.两个角的夹边C.任意一条边D.最长边2. 在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中，\(\angle A=\angle D\)，\(AB=DE\)，要用ASA证明全等，需要条件（）A.\(\angle B=\angle E\)B.\(\angle C=\angle F\)C.\(BC=EF\)D.\(AC=DF\)3. 已知AB与CD交于点O，\(\angle A=\angle B\)，\(AO=BO\)，可直接判定\(\triangle AOC\cong\triangle BOD\)的依据是（）A.SAS B.ASA C.SSS D.SSA4. 下列说法正确的是（）A.两角及任意一边相等就是ASAB.ASA中的边必须夹在两个角中间C.三个角对应相等的三角形全等D.SSA可以判定全等5. 已知\(\angle ACB=\angle DFE\)，\(BC=EF\)，\(\angle B=\angle E\)，则\(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)依据是（）A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 两角及其________分别相等的两个三角形全等，简写成ASA。2. ASA里面的边是两个角之间的________。3. 对顶角相等，经常作为证明全等的________条件。4. 两直线平行，可以得到同位角或者________相等。5. 通过ASA证明全等之后，可以得到对应边、对应角________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知：如图，\(\angle A=\angle D\)，\(AB=DE\)，\(\angle B=\angle E\)。求证：\(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)。2. 已知：点D在AB上，点E在AC上，BE、CD交于点O，\(AB=AC\)，\(\angle B=\angle C\)。求证：\(\triangle ABE\cong\triangle ACD\)。3. 已知：\(AC、BD\)相交于点O，\(AB\parallel CD\)，\(AB=CD\)。求证：\(\triangle ABO\cong\triangle CDO\)。4. 已知：\(\angle 1=\angle 2\)，\(\angle 3=\angle 4\)。求证：\(AD=BC\)。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：ASA，边为两角夹边。2. **A**。解析：\(\angle A、\angle B\)中间夹边AB；\(\angle D、\angle E\)中间夹边DE。3. **B**。解析：\(\angle A=\angle B\)，\(AO=BO\)，\(\angle AOC=\angle BOD\)（对顶角），两角夹边ASA。4. **B**。解析：A错误，两角对边是AAS；AAA不能证全等；SSA不能判定。5. **B**。解析：\(\angle B、\angle C\)夹边BC；\(\angle E、\angle F\)夹边EF，ASA。### 填空题1. **夹边**2. **夹边**3. **隐含**4. **内错角**5. **相等**### 解答题1. 证明：在\(\triangle ABC\)和\(\triangle DEF\)中\(\begin{cases}\angle A=\angle D(\text{已知})\\AB=DE(\text{已知})\\\angle B=\angle E(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF(\text{ASA})\)。2. 证明：在\(\triangle ABE\)和\(\triangle ACD\)中\(\begin{cases}\angle A=\angle A(\text{公共角})\\AB=AC(\text{已知})\\\angle B=\angle C(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\triangle ABE\cong\triangle ACD(\text{ASA})\)。3. 证明：\(\because AB\parallel CD\)（已知）\(\therefore \angle A=\angle C，\angle B=\angle D\)（两直线平行，内错角相等）在\(\triangle ABO\)和\(\triangle CDO\)中\(\begin{cases}\angle A=\angle C(\text{已证})\\AB=CD(\text{已知})\\\angle B=\angle D(\text{已证})\end{cases}\)\(\therefore\triangle ABO\cong\triangle CDO(\text{ASA})\)。4. 证明：\(\because \angle 1=\angle 2，\angle 3=\angle 4\)\(\therefore \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4\)，即\(\angle DAB=\angle CBA\)在\(\triangle ABD\)和\(\triangle BAC\)中\(\begin{cases}\angle 1=\angle 2(\text{已知})\\AB=BA(\text{公共边})\\\angle DAB=\angle CBA(\text{已证})\end{cases}\)\(\therefore\triangle ABD\cong\triangle BAC(\text{ASA})\)\(\therefore AD=BC\)（全等三角形对应边相等）。## 四、易错点总结1. ASA和AAS混淆：**夹边是ASA，对边是AAS**，写依据容易写错。2. 列条件顺序不对，没有把夹边放在两个角中间。3. 平行线条件不会转化，忘记写 “两直线平行，内错角相等”。4. 证明全等之后，求线段相等，漏掉最后一步依据。5. 公共边、公共角这种隐含条件经常漏掉不写。沪科版（新教材）数学八年级上册14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第14章 全等三角形1
2
3
学生探索出全等三角形的条件“角边角”，结合图形能准确表述三角形全等.
学生能运用“角边角”的方法进行三角形全等的判定.
通过动手画图、实验，理解和掌握“角边角”判定方法.
02
复习旧知
判定两个三角形全等的第1种方法是如下的 基本事实.
分别相等的两个三角形全等.
两边
简记为 或 . （S表示边，A表示角）
“SAS ”
“边角边”
几何语言：
在△ABC 和△A′B′C′中，
∴ △ABC ≌△A′B′C′
AB = A′B′
必须是两边的“夹角”
∵
（SAS）
B
C
A
B′
C′
A′
∠B =∠B′
BC =B′C′
02
创设情境
小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃吗？为什么？
03
新知探究
操作
已知：如图，△ABC.
求作：△A'B'C'，使∠B'=∠B，B'C'=BC，∠C'=∠C.
B
A
C
03
新知探究
操作
将所作的△A′B′C′ 剪下来，放在上，看看它们能否完全重合，由此你能得到什么结论？
(2) 在B'C'的同侧，分别以B'，C′为顶点作∠MB'C'=∠B，∠NC'B'=∠C，B'M与 C'N交于点A'.
作法：
(1)如图，作线段B′C′=BC；
则△A'B'C' 就是所求作的三角形．
B
A
C
B′
C′
A′
N
M
03
新知探究
B′
A′
C′
B
A
C
几何语言:
如图，在△ABC与△A'B'C'中：
∴△ABC≌△A′B′C′ . (ASA)
∠B=∠B'，
BC=B'C'，
∠C=∠C'，
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为“角边角”或“ASA”.
一定要注意
“两角夹边”
的顺序！
03
新知探究
例1 已知：如图，点A,B,E在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求证：DB=CB.
A
C
D
B
1
2
3
4
证明：
∵ ∠ ABD与∠ 3互为邻补角,
∠ABC与∠ 4互为邻补角(已知),
　又∵∠3＝∠4（已知）
∴ ∠ABD＝∠ABC.（等角的补角相等）
在△ABD和△ABC中，
∠DAB＝ ∠CAB（已知）
AB=AB （公共边）
∠ DBA＝ ∠CBA （ 已证）
∴ △ABD ≌ △ABC （ASA）
∴ DB=CB.(全等三角形的对应边相等)
∵
03
新知探究
例2 已知：如图，点A，B位于河岸两侧，且AB垂直于河岸MN，要测量河两岸相对的两点A、B之间的距离，可以在MN上取两点C、D，使BC=CD，再过点D作MN的垂线DE.使点A、C、E在一条直线上，这时测得ED的长就可得到A,B两点之间的距离，请说明这种测量方法的依据.
分析：题目要证明的是AB=DE
证明△ABC≌△EDC
∠ABC=∠EDC=90°(垂直定义)
BC=CD (已知)
∠ACB=∠ECD (对顶角相等)
我们在找相等的角时，注意隐含的条件——对顶角相等.
03
新知探究
在△ABC 和△EDC 中，
∠ABC＝∠EDC，(已证)
BC＝DC，(已知)
∠ACB＝∠ECD ，(对顶角相等)
∴ △ABC≌△EDC. (ASA)
∴ AB＝ED. (全等三角形的对应边相等)
证明：AB⊥MN，ED⊥MN，(已知)
∴ ∠ABC＝∠EDC＝90°. (垂直的定义)
∵
03
新知探究
证明三角形全等时寻找等角的方法:
(1)公共角相等、对顶角相等、直角相等;
(2)等角加(减)等角,其和(差)相等;
(3)同角或等角的余(补)角相等;
(4)根据角平分线、平行线得角相等.
练习精讲
练习1 已知：如图，∠ACB=∠DBC，∠ABC＝∠DCB . 求证：△ABC≌△DCB．
A
B
C
D
证明：
在 △ABC 和 △DCB 中
∴ △ABC ≌ △DCB
∵
(已知）
（公共边）
（已知）
∠ABC＝∠DCB
BC＝CB
∠ACB＝∠DBC
（ASA ）
课本P99练习 第1题
变式训练
练习2 如图，点D，A，C在同一直线上，AB∥ CE，AB＝CD，∠B＝∠D，
求证：△ABC≌△CDE.
证明：
∵ AB∥ CE
( 已知 )
(两直线平行，内错角相等)
∴ ∠BAC=∠DCE
在 △ABC 和 △CDE 中
∴ △ABC≌△CDE
∵
(已证）
（已知）
（已知）
∠BAC=∠DCE
AB＝CD
∠B＝∠D
（ASA ）
A
B
C
D
E
1. 如图①，已知△ABC的三条边和三个角，则甲、乙两个三角形中，与△ABC全等的是(　　)
A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不是
向“逆向推理”生长：如图②，已知∠ACB＝∠ACD，要直接用“ASA”说明△ABC≌△ADC，则需添加的一个条件是________________．
1星题 基础练
C
∠BAC＝∠DAC
向“转化思想”生长：如图③，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB＝13 cm，CF＝6 cm，则BD的长为________cm.
7
2．如图，B，C，F，E在同一条直线上，AC∥FD，AB∥DE，BC＝EF.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AC∥FD，AB∥DE，
∴∠ACF＝∠DFC，∠B＝∠E，
∴180°－∠ACF＝180°－∠DFC，即∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，∵
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
3．[淮南期中]如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是△ABC外一点，AC＝AE，∠C＝∠E，∠BAD＝∠CAE.求证：BC＝DE.
证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠CAD＝∠CAE＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE.
在△BAC和△DAE中，∵
∴△BAC≌△DAE（ASA），∴BC＝DE.
4. 【新情境】徽派建筑的木雕构件(三角形造型)不慎被摔成如图所示的四块，木工师傅要复刻一块形状、大小与原来完全一样的木雕构件，借助“全等三角形”的相关知识，师傅只需带其中一块去工坊，则这块构件的编号是______．
③
5. 【新设问】数学实践小组计划测量一片湖的宽度AB，现采用如图所示的方案：
①过点A作CA⊥AB于点A，且点C在AB的下方；
②连接BC，从点C处进行观测，在BA的延长线上找一点B′，使∠B′CA＝∠BCA.现只需测量一条线段的长，
这条线段是________．
AB′
6．[淄博月考]如图，已知△ABC的面积为10 cm2，AD平分∠BAC且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为 ________．
5 cm2
2星题 中档练
【思路引导】你可以发现图中隐藏的全等三角形吗？如何构造全等三角形来转化面积呢？
05
课堂小结
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
给出两角的度数和所夹边的长，作三角形，形状是唯一的
判定两个三角形全等的 第2种方法：
两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
或“ASA ”
简记为
“角边角”
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