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1. ** 判定定理**：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成**斜边、直角边（HL）**。>> 重要前提：**只适用于直角三角形！普通三角形不能用HL**。2. 直角三角形全等判定方法汇总普通方法依然可用：SSS、SAS、ASA、AAS；专属方法：HL（斜边 + 一条直角边）。3. 思路选择- 已知两边：优先SSS或SAS；- 已知一边一角：优先ASA、AAS、SAS；- 已知两角：优先AAS、ASA；- 直角三角形：优先尝试HL。4. 不能判定：SSA、AAA。本节重点：掌握HL条件；区分HL与普通判定；综合选择全等判定方法；规范书写直角三角形全等证明。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. HL判定两个三角形全等，适用的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形2. 在\(\text{Rt}\triangle ABC\)和\(\text{Rt}\triangle DEF\)中，\(\angle C=\angle F=90^\circ\)，\(AB=DE\)，\(AC=DF\)，判定依据是（）A.SAS B.ASA C.AAS D.HL3. 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（）A.一条直角边和一个锐角对应相等B.斜边和一条直角边对应相等C.两个锐角对应相等D.斜边和一个锐角对应相等4. 下列判定方法，**不能**用于普通三角形全等的是（）A.SSS B.SAS C.HL D.AAS5. 已知\(\angle C=\angle D=90^\circ\)，\(AB=BA\)，\(AC=BD\)，可判定\(\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle BAD\)依据是（）A.HL B.SAS C.ASA D.SSS### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. HL是指________和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。2. HL只能用于________三角形。3. 直角三角形全等除HL外，还可以用SSS、SAS、________、AAS。4. AAA________（能 / 不能）判定直角三角形全等。5. 用HL证明全等时，要先写明两个三角形是________三角形。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知：\(\angle C=\angle D=90^\circ\)，\(AC=BD\)。求证：\(\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle BAD\)。2. 已知：如图，\(AC\perp BC\)，\(AD\perp BD\)，垂足分别为\(C、D\)，\(AC=BD\)。求证：\(AD=BC\)。3. 已知：\(AD\perp BC\)，\(BD=CD\)。求证：\(\angle B=\angle C\)。4. 已知：\(AB\perp CF\)，\(DE\perp CF\)，\(AC=DF\)，\(BE=CF\)。求证：\(AB=DE\)。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：HL仅直角三角形可用。2. **D**。解析：斜边\(AB=DE\)，直角边\(AC=DF\)，HL。3. **C**。解析：两个锐角相等只能说明相似，边长不一定相等。4. **C**。解析：HL是直角三角形专属判定。5. **A**。解析：AB公共斜边，\(AC、BD\)为直角边，HL。### 填空题1. **斜边**2. **直角**3. **ASA**4. **不能**5. **直角**### 解答题1. 证明：\(\because \angle C=\angle D=90^\circ\)（已知）\(\therefore\triangle ABC\)与\(\triangle BAD\)都是直角三角形。在\(\text{Rt}\triangle ABC\)和\(\text{Rt}\triangle BAD\)中\(\begin{cases}AB=BA(\text{公共斜边})\\AC=BD(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle BAD(\text{HL})\)。2. 证明：\(\because AC\perp BC，AD\perp BD\)（已知）\(\therefore \angle C=\angle D=90^\circ\)，\(\triangle ACB、\triangle BDA\)为直角三角形。在\(\text{Rt}\triangle ACB\)和\(\text{Rt}\triangle BDA\)中\(\begin{cases}AB=BA(\text{公共斜边})\\AC=BD(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\text{Rt}\triangle ACB\cong\text{Rt}\triangle BDA(\text{HL})\)\(\therefore AD=BC\)（全等三角形对应边相等）。3. 证明：\(\because AD\perp BC\)（已知）\(\therefore \angle ADB=\angle ADC=90^\circ\)。在\(\text{Rt}\triangle ADB\)和\(\text{Rt}\triangle ADC\)中\(\begin{cases}BD=CD(\text{已知})\\AD=AD(\text{公共直角边})\end{cases}\)\(\therefore\text{Rt}\triangle ADB\cong\text{Rt}\triangle ADC(\text{SAS})\)\(\therefore\angle B=\angle C\)（全等三角形对应角相等）。4. 证明：\(\because AB\perp CF，DE\perp CF\)（已知）\(\therefore \angle ABC=\angle DEF=90^\circ\)。\(\because BE=CF\)（已知）\(\therefore BE+EC=CF+EC\)，即\(BC=EF\)（等式性质）。在\(\text{Rt}\triangle ABC\)和\(\text{Rt}\triangle DEF\)中\(\begin{cases}AC=DF(\text{已知})\\BC=EF(\text{已证})\end{cases}\)\(\therefore\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle DEF(\text{HL})\)\(\therefore AB=DE\)（全等三角形对应边相等）。## 四、易错点总结1. 最容易丢分：**HL只能用在直角三角形**，不是直角三角形绝对不能写HL；2. 使用HL证明，必须先写两个三角形是直角三角形，否则扣分；3. 混淆斜边和直角边，斜边是直角所对最长边；4. 线段和差\(BE=CF\)推\(BC=EF\)，这一步经常省略；5. 分不清判定方法，明明是直角三角形，条件是两角一边，却错误写HL。（全文 1321 字）沪科版（新教材）数学八年级上册14.2.5全等三角形的判定授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第14章 全等三角形1
2
3
三角形全等的判定定理的综合应用.
能灵活选择合适的方法证明两个三角形全等，并能证明线段或角相等.
培养良好的数学思维，体会数学的应用价值.
复习回顾
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边及其夹角分别相等
两角及其夹边分别相等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
02
创设情境
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员带了量角器和卷尺，他想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.
你能用已学过的数学知识帮他想个办法吗？
生活中的数学
03
新知探究
操作
已知：如图，Rt△ABC，其中∠C为直角.
求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′= AC，A′B′= AB.
作法：
(1)画∠MC′N=∠C=90°；
(2)在射线C′M上取C′A′=CA；
(3)以A′为圆心、线段AB长为半径画弧，交射线C′N于点B′；
(4)连接A′B′ ．
B′
N
M
A ′
C ′
A
C
B
03
新知探究
A
B
C
A'
B'
C'
M
N
将画好的Rt△A'B'C'与Rt△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？
结论：Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.
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新知探究
几何语言:
如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中：
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ . (HL)
BC=B'C'，
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简记为“斜边、直角边”或“HL”.
A
B
C
A'
B'
C'
AC=A'C'，
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新知探究
例、已知：如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD.
求证：BD=CE.
证明：∵ BD，CE 分别是△ABC 的高，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，
BC = CB，(公共边)
BE = CD，(已知)
∵
∴Rt△BEC≌Rt△CDB. (HL)
∴BD＝CE.
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中
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新知探究
判定直角三角形全等的方法
三边对应相等 SSS
一锐角和它的相邻直角边对应相等 ASA
一锐角和它的对边对应相等 AAS
两直角边对应相等 SAS
斜边和一条直角边对应相等 HL
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”.
应根据具体问题的实际情况选择判定两个直角三角形全等的方法.
1．如图，BD⊥AB，BD⊥CD，若要用“HL”判定△ABD≌△CDB，可添加下列条件中的(　　)
A．AD＝CB B．AB＝CD
C．∠A＝∠C D．AD∥BC
1星题 基础练
A
2．△ABC和△DBE按如图所示的位置放置，已知∠C＝90°，DE⊥AB于点E，且AB＝DB，AC＝DE.若∠A＝35°，则∠CBD的度数为(　　)
A．130° B．110° C．100° D．120°
B
3.【教材改编题】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E.求证：点E在∠ABC的平分线上．
证明：连接BE.∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠A＝90°.
在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）.
∴∠ABE＝∠DBE.∴点E在∠ABC的平分线上.
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新知探究
例2 已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE.
证明 在△ABC和△CDA中
AB=CD(已知)
∵ BC=DA（已知）
CA=AC（公共边）
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)
03
新知探究
在△BCF和△DAE中
BC=DA(已知)
∵ ∠1=∠2（已证）
CF=AE（已知）
∴△BCF≌△DAE(SAS)
∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)
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新知探究
例3、 证明：全等三角形的对应边上的高相等.
已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.
求证：AD=A′D′.
证明：
∵△ABC全等于△A′B′C′（已知）
∴AB=A′B′，∠B=∠B′
（全等三角形的对应边相等、对应角相等）
∵AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的高（已知）
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°（垂直的定义）
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新知探究
例3、 证明：全等三角形的对应边上的高相等.
已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.
求证：AD=A′D′.
在△ABD和△A′B′D′中
∠B=∠B′(已证)
∠ADB=∠A′D′B′（已证）
AB=A′B′（已证）
∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)
∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）
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新知探究
令证：∵△ABC≌△(已知)
∴BC=,
(全等三角形的对应边相等、面积相等)
∵=, =
∴AD= (等式性质)
4．[徐州期中]下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是(　　)
A．两个锐角对应相等
B．一个锐角和斜边对应相等
C．两条直角边对应相等
D．一条直角边和斜边对应相等
A
5. 【新趋势·过程性学习】如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.
求证：BD＝AD.
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△BFD和△ACD中，∵
∴△BFD≌△ACD.∴BD＝AD.
上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程．
解：不正确，“边边角”无法证明三角形全等.
正确的证明过程如下：
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△BFD和Rt△ACD中，BF＝AC，FD＝CD，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL），∴BD＝AD.
05
课堂小结
直角三角形全等的证明（HL）
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可
（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
谢谢观看
THANKS

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