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1. **线段垂直平分线尺规作图**已知线段AB，作垂直平分线步骤：① 分别以\(A、B\)为圆心，**大于\(\boldsymbol{\dfrac12AB}\)长**为半径画弧，两弧交于\(E、F\)两点；② 作直线EF，直线EF就是线段AB的垂直平分线。>> 作图依据：到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上（逆定理）。> 半径不能小于或等于\(\dfrac12AB\)，否则两弧没有交点。2. **三角形三边垂直平分线性质**三角形三条边的垂直平分线**交于同一点**，这个点叫做三角形的**外心**；外心到三角形**三个顶点距离相等**。- 锐角三角形：外心在三角形内部；- 直角三角形：外心在斜边中点；- 钝角三角形：外心在三角形外部。3. 常考模型：三角形一边的垂直平分线，把三角形周长拆分为两部分，实现线段等量代换（\(AD=BD\)转化周长）。本节重点：掌握尺规作图步骤 + 保留痕迹；理解外心性质；利用垂直平分线进行周长计算与证明。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 尺规作线段AB的垂直平分线，画弧时半径要求是（）A.小于\(\dfrac12AB\) B.大于\(\dfrac12AB\) C.等于\(\dfrac12AB\) D.任意长度2. 三角形三边垂直平分线的交点，具备的性质是（）A.到三边距离相等B.到三个顶点距离相等C.在三角形内部D.在三角形边上3. 在\(\triangle ABC\)中，DE垂直平分AB，交BC于D，若\(AC=6\)，\(BC=8\)，则\(\triangle ADC\)周长为（）A.14 B.16 C.18 D.204. 钝角三角形三边垂直平分线交点位置在（）A.三角形内部B.三角形外部C.三角形边上D.顶点上5. 尺规作出线段垂直平分线，作图依据是（）A.全等三角形对应边相等B.到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上，两点确定一条直线C.线段垂直平分线上点到两端距离相等D.轴对称性质### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 三角形三边垂直平分线交于一点，这个点叫三角形的________。2. 外心到三角形________的距离相等。3. 直角三角形的外心在________。4. 尺规作线段垂直平分线，两弧交点要分别在线段的________两侧。5. DE垂直平分AB，则\(AD=\)________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知线段AB，用尺规作图作出AB的垂直平分线，写出作图步骤并保留作图痕迹。2. 已知：在\(\triangle ABC\)中，DE垂直平分AC，交BC于点D，连接AD。若\(AB=5\)，\(BC=7\)，求\(\triangle ABD\)的周长。3. 求证：三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点距离相等。4. 如图，要在公路旁修建一个信号发射塔，使发射塔到两个村庄\(A、B\)的距离相等，请在图上找到发射塔位置，写出作图方法。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：半径大于\(\dfrac12AB\)，两弧才能交于两点。2. **B**。解析：外心到三个顶点距离相等；内心到三边距离相等。3. **A**。解析：DE垂直平分\(AB\Rightarrow AD=BD\)；\(\triangle ADC\)周长\(=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=6+8=14\)。4. **B**。解析：钝角三角形外心在外部；锐角内部；直角在斜边中点。5. **B**。解析：两个交点都满足到\(A、B\)距离相等，都在垂直平分线上，两点确定一条直线。### 填空题1. **外心**2. **三个顶点**3. **斜边的中点**4. **上下（两侧）**5. **BD**### 解答题1. 解：步骤：① 分别以点\(A、B\)为圆心，大于\(\dfrac12AB\)长为半径画弧，两弧交于\(M、N\)两点；② 作直线MN；直线MN即为线段AB的垂直平分线。作图痕迹：保留圆弧，实线画直线。2. 解：\(\because DE\)垂直平分AC（已知）\(\therefore AD=DC\)（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）\(\triangle ABD\)周长\(=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=5+7=12\)。答：\(\triangle ABD\)周长为12。3. 证明：设\(\triangle ABC\)中，\(AB、BC\)的垂直平分线交于点O。\(\because O\)在AB垂直平分线上，\(\therefore OA=OB\)；\(\because O\)在BC垂直平分线上，\(\therefore OB=OC\)；\(\therefore OA=OC\)。由逆定理：点O在AC的垂直平分线上。\(\therefore AB、BC、AC\)三边垂直平分线交于点O，且\(OA=OB=OC\)，即点O到三个顶点距离相等。4. 解：作图：① 连接AB；② 作线段AB的垂直平分线；③ 这条垂直平分线与公路的交点，就是发射塔位置。原理：垂直平分线上的点到\(A、B\)距离相等。## 四、易错点总结1. 尺规作图：半径条件容易漏写；作图题**必须保留圆弧痕迹**，不然扣分；2. 周长计算：不会进行\(AD=BD\)等量代换；3. 区分外心与内心：外心→顶点距离相等；内心→三边距离相等；极易混淆；4. 外心位置记错：锐角内，直角斜边中点，钝角外；5. 实际应用题：“到两点距离相等”，转化为作两点连线的垂直平分线。沪科版（新教材）数学八年级上册15.2.2线段垂直平分线授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章 轴对称图形与等腰三角形
01
教学目标
能够利用尺规作图作一条已知线段的垂直平分线.
01
进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据
02
能作出线段垂直平分线，体会转化的数学思想.
03
02
复习旧知
我们已能用尺规完成：
(1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个角等于已知角；
(3)作一个角的角平分线；
那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？
02
创设情境
足球比赛过程中，小昌站在点A处，小强站在点B处，此时足球在线段AB的垂直平分线l上的点D处，小昌和小强同时跑向足球所在的地方点D处.
A
B
D
问1：小昌、小强分别从点A、B处出发，为了尽快到达点D处，
你能帮忙设计他们的奔跑路线吗？并说明理由.
问2:小昌、小强按照路线AD、BD奔跑，请猜想他们所跑的路程有什么数量关系？
C
03
新知探究
思考
问题 怎样得到线段的垂直平分线？
方法一：
用刻度尺量出线段的长，找出线段的中点，再过中点用三角板画线段的垂线即可得到线段的垂直平分线.
03
新知探究
A
A'
A(A')
A
A'
l
O
l
O
方法二：
通过折纸也可以得到线段的垂直平分线. 如图，在半透明纸上画一条线段 AA'，折叠使点 A 与 A' 重合，得到的折痕 l 所在的直线就是线段 AA' 的垂直平分线.
03
新知探究
方法三：用尺规作图，作出线段 AB 的垂直平分线.
(1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于AB 的长为半径画弧，交于 点 E，F；
(2) 过点 E，F 作直线.
则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线.
A
B
E
F
O
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
03
新知探究
思考
为什么这样作出的直线EF,就是线段AB的垂直平分线呢
设所作直线EF交AB于点О,你能给出证明吗
A
B
E
F
O
证：设EF与AB相交于点O
在△AEF和△BEF中
∴△AEF ≌△BEF(SSS)
∴∠AEF=∠BEF
在△AOE 和△BOE中
∴EF是AB的垂直平分线
∴△AOE ≌△BOE(SAS)
∴∠AOE=∠BOE=90°
∴AO=BO
∴AB⊥EF
1．[知识初练]已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线．
作法：①如图，分别以______两点为圆心，以__________为半径作弧，两弧交于点________和点________；
②过________两点作直线．直线________就是要求作的线段AB的垂直平分线．
1星题 基础练
A，B
C
D
C，D
CD
2．如图，一张纸上有△ABC.
(1)请用尺规作图，作出边AB的垂直平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若不用尺规作图，你还有其他作法吗？请说明作法(不作图)．
解：如图，DE即为边AB的垂直平分线.
解：(答案不唯一)对折，使得点A与点B重合，则折痕所在直线为线段AB的垂直平分线.
03
新知探究
B
C
A
P
∵ 点 P 在 AB，AC 的垂直平分线上，(已知)
∴ PA = PB，PA = PC.
(线段垂直平分线上的点到线段两个
端点的距离相等)
∴ PB = PC.
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
(到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上)
例、 已知：如图，已知△ABC 的边AB、AC 的垂直平分线相交于点 P. 求证：点P 在BC 的垂直平分线上.
证明：连接 PA，PB，PC.
03
新知探究
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
归纳
3. 【新情境】某市为推进“体重管理年”三年行动，普及健康生活方式，准备修建一个大型体育中心，要求该体育中心所在位置到该市的三个城镇中心P，Q，R的距离相等(P，Q，R三点不共线)，则体育中心的位置应选在(　　)
A．△PQR三边的垂直平分线的交点处
B．△PQR的三条角平分线的交点处
C．△PQR的三条高线的交点处
D．△PQR的三条中线的交点处
A
4．[南京期末]在△ABC中，ACD
2星题 中档练
5．如图，某地由于居民增多，要在公路l上增加一个公共汽车站P，A，B是公路边两个新建小区，若两个小区到车站的路程一样长，请在图中标出公共汽车站P的位置(保留作图痕迹，并写出作法和理由)．
· · · · ·
解：作法：如图，连接AB，作AB的垂直平
分线与l交于点P.
理由：∵EP是线段AB的垂直平分线，∴点P到点A，B的距离相等，即两个小区到车站的路程一样长.
05
课堂小结
线段的垂直平分线
①作轴对称图形的对称轴
应用
②过一点作已知直线的垂线
③作线段的中点
谢谢观看
THANKS

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