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1. **线段垂直平分线定义**：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。2. **线段垂直平分线定理（性质）**线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。>> 符号语言：若点P在线段AB的垂直平分线上，则\(\boldsymbol{PA=PB}\)。3. **逆定理（判定）**到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。>> 符号语言：若\(PA=PB\)，则点P在线段AB的垂直平分线上。 要点：- 定理：**线上的点 → 距离相等**（用来证线段相等）- 逆定理：**距离相等 → 点在线上**（用来判定点在垂直平分线上）- 线段垂直平分线是**到线段两端点距离相等的所有点的集合**。本节重点：分清定理与逆定理；利用定理证明线段相等；利用逆定理判断点位置；简单几何证明。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 若点P在线段AB的垂直平分线上，则一定有（）A.\(PA=PB\) B.\(PA\perp PB\) C.\(PA=AB\) D.\(PB=AB\)2. 如果\(MA=MB\)，那么点M在（）A.线段AB的上方B.线段AB的下方C.线段AB的垂直平分线上D.线段AB上3. 下列说法正确的是（）A.到线段两端点距离相等的点一定在线段上B.线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等C.线段的垂直平分线是一条线段D.到线段两端距离相等的点只有一个4. 直线l是线段AB的垂直平分线，点C在l上，\(AC=5\)，则BC长为（）A.\(2.5\) B.5 C.10 D.不确定5. 已知\(PA=PB，QA=QB\)，则直线PQ（）A.平分AB B.垂直平分AB C.垂直AB D.以上都不对### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的________相等。2. 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。3. 线段的垂直平分线是一条________（填 “直线、射线、线段”）。4. 若点P在AB垂直平分线上，\(PA=7\)，则\(PB=\)________。5. 定理用于证明线段相等；逆定理用于判定点在________上。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知：直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上。求证：\(PA=PB\)。2. 已知：\(AC=BC，AD=BD\)。求证：直线CD垂直平分AB。3. 已知：在\(\triangle ABC\)中，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于D，\(AD=5\)，求BD的长。4. 已知：\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点D在BC上，且\(DB=DC\)。求证：点\(A、D\)都在BC的垂直平分线上。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **A**。解析：线段垂直平分线定理，线上点到两端距离相等。2. **C**。解析：逆定理，\(MA=MB\)，点M在AB垂直平分线上。3. **B**。解析：垂直平分线是直线；到两端距离相等的点有无数个。4. **B**。解析：C在垂直平分线上，\(BC=AC=5\)。5. **B**。解析：两点确定一条直线，\(P、Q\)都在AB垂直平分线上，所以PQ垂直平分AB。### 填空题1. **距离**2. **垂直平分线**3. **直线**4. \(\boldsymbol{7}\)5. **线段垂直平分线**### 解答题1. 证明：\(\because\)直线MN垂直平分线段AB，点P在MN上（已知）\(\therefore PA=PB\)（线段垂直平分线上的点，到线段两个端点距离相等）。2. 证明：\(\because AC=BC\)（已知）\(\therefore\)点C在线段AB的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在线段垂直平分线上）\(\because AD=BD\)（已知）\(\therefore\)点D在线段AB的垂直平分线上（逆定理）\(\therefore\)直线CD是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）。3. 解：\(\because DE\)是AB的垂直平分线，点D在DE上（已知）\(\therefore BD=AD=5\)（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。答：\(BD=5\)。4. 证明：\(\because AB=AC\)（已知）\(\therefore\)点A在线段BC的垂直平分线上（逆定理）\(\because DB=DC\)（已知）\(\therefore\)点D在线段BC的垂直平分线上（逆定理）。## 四、易错点总结1. 定理、逆定理写反：分清 “线上点推出距离相等” 和 “距离相等推出点在线上”；2. 线段垂直平分线是**直线**，不是线段；3. 必须**两个点**才能确定一条垂直平分线，只有一个点不能说垂直平分；4. 直接默认垂直，缺少用逆定理的推理步骤；5. 几何证明，定理文字依据书写不完整造成扣分。（全文 1321 字）沪科版（新教材）数学八年级上册15.2第1课时 线段的垂直平分线的定理与逆定理授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章 轴对称图形与等腰三角形1
2
3
要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决问题;
能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.
通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.
02
创设情境
如图，小聪在A处，小明在B处，他们两人做抢礼物的游戏.礼物放在何处游戏才公平？
线段AB的中点处
03
新知探究
思考
如图，点O是线段AB的中点，直线MN经过点O，且MN⊥AB，
那么直线MN是线段AB的垂直平分线.
由于直线MN上的点O是线段AB的中点，
因此OA=OB.在直线MN上任取两点P,Q
（在线段AB的两侧各取一点），
分别连接PA,PB,QA,QB.PA,PB的长
有什么关系？QA与QB呢？
试证明你的猜想
03
新知探究
已知：如图，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，
点P是MN上任意一点.求证：PA=PB.
证明：∵MN⊥AB，（已知） ∴∠AOP=∠BOP=90°（垂直的定义）
在ΔAOP和ΔBOP中，
∵
∴ΔAOP≌ΔBOP（SAS）
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
03
新知探究
线段的垂直平分线有如下性质:
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
归纳
几何语言：
∵直线PO垂直平分AB，
∴PA=PB.
A
B
P
O
它是证明两条线段相等的重要方法.
03
新知探究
思考
你能写出上面定理的逆命题吗 它是真命题吗 如果是真命题,请给出证明.
定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
03
新知探究
已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上
证明 (1)当点P不在线段AB所在直线上时，过点P作PO⊥AB，
所以∠POA=∠POB=90°.(垂直的定义)
在Rt△POA和Rt△POB中，
∴Rt△POA≌Rt△POB.(HL)
∴AO=BO.(全等三角形对应边相等)
∴点O是线段AB的中点.(线段中点的定义)
∴点P在线段AB的垂直平分线上.(线段垂直平分线的定义)
03
新知探究
(2)当点P在线段AB所在的直线上时，
∵PA=PB，(已知)
∴点P是线段AB的中点，(线段中点的定义)
∴点P在线段AB的垂直平分线上.(线段垂直平分线的定义)
综上所述，点P在线段AB的垂直平分线上.
03
新知探究
例、 如图，在△ABC中，AC=5，边AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D.
(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2)若BC=4，求△BCD的周长.
03
新知探究
解：∵DE是AB的垂直平分线，(已知)
∴AD=BD，(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)
∴BD+CD=AD+CD=AC=5.
(1)∵△BCD的周长为8，
∴BC=△BCD的周长-(BD+CD)=8-5=3.
(2)∵BC=4，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=4+5=9.
对应练习
1、在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA=PB=PC，则点 P 是 △ABC ( )
A .三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点
D
① 定义法——即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段.
A
B
C
D
M
2、如图，AB =AC，MB =MC．直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？
解：
∵ AB =AC，MB =MC
∴ 点 A、M 在BC 的垂直平分线上
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直平分线．
(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
判断线段垂直平分线的两种方法：
知识拓展：
② 判定定理
——必须证明直线上有两个不同的点到线段两个端点
的距离相等，根据两点确定一条直线.
3、如图，AD 与 BC 相交于点 O，连接 AB、CD 并延长，相交于点 E，连接 OE、BD，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．
求证：OE垂直平分BD．
这点到三角形三个顶点的距离相等.
归纳总结
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
① 性质定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
② 判定定理：
A
B
P
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
① 定义法——即证明直线过线段的中点，且垂直于这条线段.
判断线段垂直平分线的两种方法：
② 判定定理
——必须证明直线上有两个不同的点到线段两个端点
的距离相等，根据两点确定一条直线.
三角形三边的垂直平分线的性质：
三角形三边的垂直平分线
相交于一点，
提醒：见垂直平分线，得线段相等
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
1、如图，已知 AB＝AD，BC＝DC，E 是 AC 上一点，
求证：(1) BE＝DE；(2) ∠ABE＝∠ADE.
证明：
(1) 连接BD
∵ AB＝AD，
∴ 点A，C都在线段BD的垂直平分线上
∴ AC 是线段BD的垂直平分线
又∵ 点 E 是 AC 上一点
∴ BE＝DE
BC＝CD
(2)
在△ABE和△ADE中
∵
(公共边）
AE＝AE
BE＝DE
AB＝AD
∴ △ABE≌△ADE
(SSS)
∴ ∠ABE＝∠ADE
核心必知
相等
相等
1．[知识初练]如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC＝2 cm，则ED的长为__________．
1星题 基础练
2 cm
2．如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC＝8，CD＝5，则BD＝___________.
3
3. 【思维生长】如图①，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点G，BC＝6，AB＝7，则△BCG的周长是(　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
向“逆向思维”生长：如图②，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，若△FAC的周长为16，△ABC的周长为22，则AE的长为________．
B
3
4．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则(　　)
A．点P在∠ABC的平分线上
B．点P在∠ACB的平分线上
C．点P在边AB的垂直平分线上
D．点P在边BC的垂直平分线上
D
5. 【思维可视化】如图，平面上的四边形ABCD是一个“风筝”形的骨架，其中AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°.如何证明：直线AC是线段BD的垂直平分线？
【思维过程】(1)问题转化：要证明直线AC是线段BD的垂直平分线→需证明点A、C都在线段BD的垂直平分线上→即，证明AB＝________，CB＝________．
AD
CD
(2)条件分析：题目除了已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°外，还有哪些隐藏条件呢？
(3)请写出证明过程：
证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴CB＝CD，
又∵AB＝AD，∴A，C两点都在线段BD的垂直平分线上.
∴AC垂直平分线段BD，
即直线AC是线段BD的垂直平分线.
05
课堂小结
判定
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
线段的
垂直平分线
性质
谢谢观看
THANKS

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