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1. **尺规作角平分线工具**：**无刻度直尺 + 圆规**，不能用量角器。2. **尺规作∠AOB平分线步骤**① 以点O为圆心，取**适当长**为半径画弧，交OA于M，交OB于N；② 分别以\(M、N\)为圆心，**大于\(\boldsymbol{\dfrac12MN}\)的长**为半径，在角的**内部**画弧，两弧交于点P；③ 作射线OP；射线OP就是\(\angle AOB\)的角平分线。>> 重点：角平分线是**射线**，不是线段、直线；作图必须保留圆弧痕迹。3. **作图原理**连接\(MP、NP\)。\(OM=ON，MP=NP，OP=OP\)，\(\triangle OMP\cong\triangle ONP(\text{SSS})\)，\(\therefore\angle MOP=\angle NOP\)。作图依据：**SSS全等判定**。4. 其他得到角平分线的办法：折纸法（半透明纸折叠，两边重合）、量角器度量法（尺规作图题不能用）。本节重点：记住规范作图步骤；作图依据SSS；保留作图痕迹；区分射线 / 线段。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 尺规作角平分线，用到的工具是（）A.刻度尺、圆规B.无刻度直尺、圆规C.量角器、圆规D.三角板、量角器2. 尺规作角平分线的理论依据是（）A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS3. 作角平分线第二步画弧，半径要求（）A.小于\(\dfrac12MN\) B.大于\(\dfrac12MN\) C.等于\(\dfrac12MN\) D.任意长度4. 尺规作出的角平分线是一条（）A.直线B.线段C.射线D.曲线5. 关于尺规作角平分线说法正确的是（）A.两弧交点画在角外部也可以B.作图完成后可以擦掉圆弧痕迹C.角平分线把一个角分成两个相等的角D.尺规作图需要量角器测量### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 尺规作角平分线，作图依据是三角形全等判定________。2. 作角平分线第二步，两弧交点必须在角的________。3. 角平分线是一条________（射线 / 线段 / 直线）。4. 以顶点O画弧，交角两边得到\(M、N\)，则OM________ON。5. 尺规作图题，考试必须保留________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知\(\angle AOB\)，用尺规作图作出它的角平分线，写出完整作图步骤，保留作图痕迹。2. 求证：按照尺规作图方法作出的射线OP平分\(\angle AOB\)。3. 已知\(\triangle ABC\)，用尺规画出\(\angle BAC\)的角平分线AD（只画图，保留痕迹，不写作法）。4. 小明尺规作角平分线时，第二步取半径等于\(\dfrac12MN\)画弧，能不能得到交点？为什么？## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：尺规作图，直尺无刻度，搭配圆规。2. **B**。解析：三组边对应相等，SSS全等。3. **B**。解析：半径大于\(\dfrac12MN\)，两弧才能交于一点。4. **C**。解析：角平分线从顶点出发，是射线。5. **C**。解析：交点必须在角内部；圆弧痕迹不能擦；尺规作图不用量角器。### 填空题1. **SSS**2. **内部**3. **射线**4. **\(=\)**5. **作图痕迹（圆弧）**### 解答题1. 解：① 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；② 分别以点\(M、N\)为圆心，大于\(\dfrac12MN\)长为半径，在\(\angle AOB\)内部画弧，两弧交于点P；③ 作射线OP。射线OP即为所求角平分线。2. 证明：连接\(MP、NP\)。由作图可知：\(OM=ON，MP=NP\)。在\(\triangle OMP\)和\(\triangle ONP\)中\(\begin{cases}OM=ON(\text{作图所得})\\MP=NP(\text{作图所得})\\OP=OP(\text{公共边})\end{cases}\)\(\therefore\triangle OMP\cong\triangle ONP(\text{SSS})\)\(\therefore\angle MOP=\angle NOP\)，即射线OP平分\(\angle AOB\)。3. 解：以A为圆心画弧交\(AB、AC\)两点，再分别以两点为圆心大于二分之一两点距离为半径在角内部画弧相交，连接顶点A与交点得到射线AD。（保留圆弧痕迹）4. 解：不能；半径等于\(\dfrac12MN\)时，两段圆弧只会相切，无法产生交点，不能确定角平分线上的点。## 四、易错点总结1. 角平分线是**射线**，答题容易写成线段，扣分；2. 第二步半径条件容易漏写：大于\(\boldsymbol{\dfrac12MN}\)；3. 两弧交点必须在**角内部**；4. 作图题**圆弧不能擦除**，痕迹是得分点；5. 原理写错：作图依据是SSS，不要写成SAS。（全文 1321 字）沪科版（新教材）数学八年级上册15.3.1角的平分线的作法授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章 轴对称图形与等腰三角形1
2
3
掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性;
掌握过一点作已知直线的垂线的尺规作法;
培养学生分析问题和解决问题的能力.
02
创设情境
要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
S
Ｏ
公路
铁路
03
新知探究
思考
怎样得到一个角的平分线
方法一：用量角器量角的度数可以找出一个角的平分线.
方法二：通过折纸可以得到一个角的角平分线.在半透明纸上任画∠AOB，折叠使射线OA，OB重合，得到的射线OP就是∠AOB的平分线.
A
O
B
O
P
A（B）
O
P
A
B
03
新知探究
方法三：用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.
(1)以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点M,N，如图(1).
(2)分别以点M,N为圆心，以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P，如图(2)
(3)作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分线，如图(3).
03
新知探究
作图依据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：SSS．
拓展：根据角平分线的作法可以作已知角的四等分线．
易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线”时，不能简单地叙述为“连接两点”，连接两点是线段，角平分线是射线而不是线段．
①作法中“以适当长为半径”的目的是为方便作图，不能太大或太小；
②“大于EF的长为半径画弧”是因为若以小于或等于EF的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交或交点不明显．
注意
03
新知探究
思考
已知：OM=ON，MP=NP.
求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中，
∴ △OMP ≌ △ONP,（SSS）
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB.
1.根据作图，你能证明所作射线OP,就是∠AOB的平分线吗？
03
新知探究
2.当∠AOB的两边成一直线时(即∠AOB=180°)，如何作这个角的平分线？这时的角平分线与直线AB是什么位置关系？
OP⊥AB.
03
新知探究
我们用尺规可以完成”经过一点作已知直线的垂线 "这一点可能在直线上,也可能在直线外,因此这个作图要分两种情况
已知：直线AB和AB上一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：作平角∠ACB的平分线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
03
新知探究
已知：直线AB和AB外一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线
作法：
（1）任意取一点 K，使 K 和 C 在 AB 的两旁；
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F；
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
03
新知探究
A
B
C
E
F
K
D
连接CD，CE, DF，EF，
证明：
∵CD=CE，
∴C点在线段DE的垂直平分线上.
∵DF=EF，
∴F点在线段DE的垂直平分线上，
∴CF是线段DE的垂直平分线，
∴CF⊥DE,即CF⊥AB.
思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？
你能说说道理吗？
03
新知探究
A
B
C
例、已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。
（1）作∠B的平分线BD交AC于点D ；
过D点作AB的垂线交AB于点E；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）求证：△ADE ≌ △BDE.
03
新知探究
A
B
C
D
E
(2)证明：
∵DE⊥AB，
∴ ∠AED=∠BED=90°.
∵BD平分∠ABC，∠B=60°，
∴ ∠DBE=30°.
∵∠A=30°，
∴ ∠A=∠DBE.
在△ADE和△BDE中，
∴ △ADE ≌△BDE(AAS).
DE=DE，
∠A=∠DBE，
∠AED=∠BED，
∵
解：(1)如图所示，
BD，DE即为所求.
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
C
A
B
D
图①
图②
C
B
A
D
巩固练习
1、判断下列各题是否正确地使用了角的平分线的性质
(1) 如图①
∵ AC平分∠BAD
∴ DC=BC
(2) 如图②
∵ DB⊥AB，DC⊥AC
∴ DB=DC
(3) 如图②
∵ AD平分∠BAC，
DC⊥AC
且 DB⊥AB，
∴ BD=CD
×
×
√
2、如图，OP 平分 ∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，B．下列结论中不一定成立的是（　 　）
①PA=PB；②PO平分∠APB；③OA=OB；④AB垂直平分OP．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
3、已知：如图，C，D 是 ∠AOB 平分线上的点，CE⊥OA，垂足为点 E，CF⊥OB，垂足为点 F．求证：∠CDE=∠CDF．
4、如图，已知 OC 是 ∠AOB 的角平分线，点 D、F 分别是射线 OC、OA 的动点，DE⊥OB 于 E 且 DE=3cm，则线段 DF 的最小值是 cm.
3
F
5、如图，已知在 △ABC 中，CD是AB边上的高线，BE 平分 ∠ABC，交 CD 于点 E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于(　　 )
A.10 B.7 C.5 D.4
C
F
知识拓展：
过角平分线上的一点向角两边作垂线段，再利用角平分线的性质定理解决问题.
解决有关角平分线问题最常用的作辅助线的方法：
6、 如图，在 △ABC 中，∠C＝90°，BC＝AC，AD 是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB 于点 E . 若 AB＝10 cm，求 △DBE 的周长．
解:
∵ AD平分∠CAB，
DE⊥AB
∴ DC＝DE
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
在Rt△ACD 和 Rt△AED中
DC=DE
AD=AD
∴ Rt△ACD≌Rt△AED
∴ AC=AE
∵
(HL)
(全等三角形的对应边相等)
(公共边)
(已证)
∵ AC=BC
∴ AE=BC
∴ △DBE的周长=
DE+DB+EB
且∠C＝90°，
=CD+DB+EB
=BC+EB
=AE+EB
=AB
又∵ AB＝10 cm
∴ △DBE的周长为10cm
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，能说明∠AOC＝∠BOC的依据是_________________．
1星题 基础练
SSS
2．如图，作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(　　)
①作射线OC；
②在OA，OB上分别截取ON，OM，使ON＝OM；
③分别以N，M为圆心，以大于 NM的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C.
A．①②③ B．②①③
C．②③① D．③②①
C
3．利用尺规作出下图的钝角∠AOB的平分线OC.(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示.
4．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的(　　)
A．角平分线
B．高线
C．AC边的垂直平分线
D．中线
B
5．请你在下图中，过点P作出线段AB所在直线的垂线．(尺规作图，保留作图痕迹)
解：如图所示.
6．[芜湖期末]如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝50°，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，则∠EAF的度数为________．
23°
2星题 中档练
7．[青岛中考改编]如图，已知四边形ABCD，E为DC边上一点．
求作：四边形内一点P，使EP⊥AB，且AP平分∠BAD.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
解：如图，点P即为所作.
05
课堂小结
角平分线的画法
方法
(1)折纸法;(2)度量法;(3)尺规作图法.
1.过直线上一点作已知直线的垂线就是作以已知点为顶点的平角的平分线.
2.过直线外一点作已知直线的垂线就是作已知直线上一条线段的垂直平分线.
应用
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