资源简介

(共27张PPT)
## 知识点梳理1. **角平分线的性质定理**角平分线上的点，到角两边的距离相等。符号语言：若OP平分\(\angle AOB\)，点P在OP上，\(PM\perp OA\)，\(PN\perp OB\)，则\(\boldsymbol{PM=PN}\)。>> 用途：证明两条垂线段相等。2. **角平分线的判定定理（逆定理）**在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。符号语言：点P在\(\angle AOB\)内部，\(PM\perp OA\)，\(PN\perp OB\)，\(PM=PN\)，则OP平分\(\angle AOB\)。>> 两个关键条件不能少：①点在**角内部**；②是到两边的**垂线段**相等。> 用途：证明一条射线是角平分线。3. 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于一点，这个点叫**内心**；内心到三角形**三边距离相等**。>> 对比区分>>> - 性质：点在角平分线上 \(\boldsymbol{\Rightarrow}\)垂线段相等> - 判定：垂线段相等（角内）\(\boldsymbol{\Rightarrow}\)点在角平分线上本节重点：区分角平分线性质与判定；证明角相等、垂线段相等；内心性质；几何证明书写规范。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 在\(\angle AOB\)内部，点P到\(OA、OB\)垂线段相等，则（）A.\(OP=OA\) B.OP平分\(\angle AOB\) C.\(OP\perp OA\) D.\(OP=OB\)2. 三角形三条角平分线交点（内心）的性质是（）A.到三个顶点距离相等B.到三边距离相等C.在三角形外部D.在斜边中点3. 点P在\(\angle AOB\)内部，\(PM\perp OA\)于M，\(PN\perp OB\)于N，下列条件能判定OP是角平分线的是（）A.\(OM=ON\) B.\(PM=PN\) C.\(OP=OP\) D.\(\angle OPM=\angle OPN\)4. 下面说法正确的是（）A.只要点到角两边线段相等，点就在角平分线上B.角平分线上的点到角两边的线段相等C.角内部，到角两边垂线段相等的点在角平分线上D.三角形内心到顶点距离相等5. \(AD\perp AB，DC\perp BC\)，\(AD=DC\)，则（）A.\(AB=BC\) B.BD平分\(\angle ABC\) C.\(\angle A=\angle B\) D.\(BD=AD\)### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 在角的内部，到角两边________相等的点，在这个角的平分线上。2. 三角形三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的________。3. 内心到三角形________的距离相等。4. 角平分线性质：角平分线上的点，到角两边________相等。5. 使用角平分线判定定理，点必须在角的________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知：点P在\(\angle AOB\)内部，\(PM\perp OA\)，\(PN\perp OB\)，\(PM=PN\)。求证：OP平分\(\angle AOB\)。2. 已知：在\(\triangle ABC\)中，点D在BC上，\(DE\perp AB\)，\(DF\perp AC\)，\(DE=DF\)。求证：AD平分\(\angle BAC\)。3. 已知：\(\triangle ABC\)的角平分线\(BM、CN\)交于点P。求证：点P到三边\(AB、BC、AC\)距离相等。4. 已知：\(CD\perp AD，CB\perp AB\)，\(CD=CB\)。求证：\(\angle ADC+\angle ABC=180^\circ\)。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：角平分线判定定理。2. **B**。解析：内心到三边距离相等；外心到三顶点距离相等。3. **B**。解析：垂线段相等，判定角平分线。4. **C**。解析：必须是**垂线段**，普通线段不行。5. **B**。解析：\(CD、AD\)是到角两边垂线段且相等，BD平分\(\angle ABC\)。### 填空题1. **垂线段**2. **内心**3. **三边**4. **垂线段**5. **内部**### 解答题1. 证明：\(\because PM\perp OA，PN\perp OB\)（已知）\(\therefore\angle OMP=\angle ONP=90^\circ\)。在\(\text{Rt}\triangle OMP\)和\(\text{Rt}\triangle ONP\)中\(\begin{cases}OP=OP(\text{公共斜边})\\PM=PN(\text{已知})\end{cases}\)\(\therefore\text{Rt}\triangle OMP\cong\text{Rt}\triangle ONP(\text{HL})\)\(\therefore\angle MOP=\angle NOP\)，即OP平分\(\angle AOB\)。2. 证明：\(\because DE\perp AB，DF\perp AC\)（已知），\(DE=DF\)（已知），点D在\(\angle BAC\)内部\(\therefore AD\)平分\(\angle BAC\)（在角内部，到角两边垂线段相等的点，在角平分线上）。3. 证明：过点P作\(PE\perp AB，PF\perp BC，PG\perp AC\)。\(\because BM\)平分\(\angle ABC\)，\(PE\perp AB，PF\perp BC\)\(\therefore PE=PF\)（角平分线性质定理）。\(\because CN\)平分\(\angle ACB\)，\(PF\perp BC，PG\perp AC\)\(\therefore PF=PG\)（角平分线性质定理）。\(\therefore PE=PF=PG\)，即点P到三边\(AB、BC、AC\)距离相等。4. 证明：连接BD。\(\because CD\perp AD，CB\perp AB，CD=CB\)\(\therefore BD\)平分\(\angle ADC\)（角平分线判定）。在\(\text{Rt}\triangle BCD\)和\(\text{Rt}\triangle BAD\)中\(\begin{cases}BD=BD\\CD=CB\end{cases}\)\(\therefore\text{Rt}\triangle BCD\cong\text{Rt}\triangle BAD(\text{HL})\)\(\therefore\angle ADB=\angle CDB，\angle ABD=\angle CBD，\angle A=\angle C=90^\circ\)。四边形内角和\(360^\circ\)，\(\therefore\angle ADC+\angle ABC=360^\circ-\angle A-\angle C=180^\circ\)。## 四、易错点总结1. 判定定理一定要强调**垂线段**，只写 “线段相等” 会扣分；2. 不能漏掉条件：点必须在**角内部**；3. 区分内心、外心：内心→三边距离相等；外心→三顶点距离相等，极易混淆；4. 分不清什么时候用性质、什么时候用判定：已知角平分线，推垂线段相等→**性质**；已知垂线段相等，推角平分线→**判定**；5. 几何证明容易漏写垂直条件（缺少垂直，就不是垂线段）。（全文 1321 字）沪科版（新教材）数学八年级上册15.3.2 角平分线的判定授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章 轴对称图形与等腰三角形1
2
3
理解角平分线的定义；
掌握并运用角平分线的判定定理；
区分“性质定理”与“判定定理”
1.角平分线的定义是什么？请你结合图1用几何符号语言表示出来。
∵OC平分∠AOB,∴∠1=∠2（角平分线定义）
∵∠1=∠2，∴OC平分∠AOB （角平分线定义）
A
B
C
O
1
2
图1
2.垂直平分线的性质定理与判定定理分别是什么？
性质定理：线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等。
判定定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
复习回顾
02
复习旧知
如图,P是线段AB的垂直平分线上一点,若点P到端点A的距离PA=3,则点P到端点B的距离PB是多少 你判断的依据是什么
解:PB=3.
依据:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
02
创设情境
如图，我们知道如何在两条公路的中间修建一座加油站，使得加油站到两条公路的距离相等.现在我们将问题进行升级，如何在三条公路的中间，选择一个地点建造加油站，使得加油站到三条公路的距离都相等.
03
新知探究
思考
如图,OE是∠AOB的平分线,P是OE上的任一点,过点P分别作PC⊥OA，PD⊥OB,点C，D是垂足,PC,PD的长有什么关系吗
PC=PD
证明你的猜想.
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
03
新知探究
证明：
∵ PC⊥OA，PD⊥OB
∴ ∠PCO=∠PDO=90°
在△PCO和△PDO中，
∴ △PDO≌△PEO
P
B
Ｏ
D
已知：如图,OP平分∠AOB，点P是OP上的任意一点， PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.
求证：PC=PD.
∵ OP 平分∠AOB
∴ ∠AOP=∠BOP
A
C
∴ PC=PD
03
新知探究
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
2.应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD= PE.
PD⊥OA，PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
1.应用该定理所具备的条件：
（1）角的平分线；
推理的理由有三个，
必须写完全，不能少了任何一个.
（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
03
新知探究
思考
猜想:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
写出下面角平分线性质定理的逆命题.这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明.
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
03
新知探究
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO≌Rt△PEO中
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP，
B
A
D
O
P
E
03
新知探究
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
书写格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
B
A
D
O
P
E
03
新知探究
例 已知：如图所示，△ABC中，∠B的平分线BE与∠C的平分线CF相较于点P. 求证：AP平分∠BAC.
证明：过点P分别作PM⊥BC，PN⊥AC，
PQ⊥AB，垂足分别为点M,N,Q.
∵ BE是∠B的平分线，点P在BE上
∴ PQ=PM
同理，PN=PM.
∴ PN=PQ
∴ AP平分∠BAC.
M
A
B
C
P
F
E
D
F
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
03
新知探究
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用途：判定一条射线是角平分线.
三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
用途：证线段相等.
归纳
1、已知，如图，OC 是 ∠AOB 内部的一条射线，P 是射线 OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB，下列条件中：
① ∠AOC=∠BOC，② PD=PE，③ OD=OE，④ ∠DPO=∠EPO，能判定 OC 是 ∠AOB 的角平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
知识拓展：
判定角平分线的方法：
① 角平分线的定义
② 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(角平分线的判定定理)
巩固练习
A
O
B
P
1
2
E
F
2、已知 PA=PB， ∠1+ ∠2=180°,求证：OP 平分 ∠AOB
证明：
过点 P 分别作
PF⊥OB 于点F，
PE⊥OA于点E，
则 ∠PEA=∠PFB=90°
∵ ∠1+ ∠2=180°，
∠PBF+ ∠2=180°
在 △PEA 和 △PFB 中
∠PEA=∠PFB
∠1=∠PBF
PA=PB
∵
∴ △PEA≌△PFB
∴ PE＝PF
又∵ PE⊥OA，PF⊥OB
(AAS)
(全等三角形的对应边相等)
∴ OP平分∠AOB
∴ ∠1=∠PBF
(同角的补角相等)
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
3、已知：如图：△ABC 中，∠ABC 的平分线 BE 与 ∠ACB 的平分线 CF 交于点 P. 求证：AP 平分∠BAC.
A
B
C
P
E
F
G
N
M
∵ ∠ABC的平分线BE与∠ACB的平分线 CF 交于点P
证明：
∴ PM=PN，PN=PG
过点 P 分别作
PM⊥AB 于点M,
PN⊥BC于点N,
PG⊥AC于点G.
(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∴ PM=PG
∴ AP平分∠BAC
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
(等量代换)
三角形三条内角平分线相交于一点，
这点到三角形三边的距离相等.
这一点叫做三角形的内心.
三角形的角平分线的性质定理：
4、如图，在△ABC中，点 O 是△ABC内一点，且点 O 到 △ABC 三边的距离相等，若 ∠A=70°，则 ∠BOC 的度数为（　　）
A.35° B.125° C.55° D.135°
D
E
F
B
知识拓展：
三角形内部到三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
【思维生长】如图①，如果点M在∠ANB的平分
线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么AM＝________．
向“ 动态分析”生长：如图②，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点，连接PN.若PM＝6，则PN的长度不可能是(　　)
A．18 B．7.2 C．6 D．4.5
1星题 基础练
BM
D
向“转化思想”生长：如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB于点E.若BC＝5，DE＝2，则DB的长为________．
3
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于点E，若AD＝3，BC＝10，求△BDC的面积．
解：∵∠A＝90°，∴DA⊥AB.
∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥BC于点 E，
∴DE＝AD＝3，
∴S△BDC＝ BC·DE＝ ×10×3＝15.
3．[知识初练]如图，PM⊥AC于点M，PN⊥AB于点N，PM＝2.当PN＝________时，点P在∠BAC的平分线上．
2
4．[安庆期末]将两个完全相同的直角三角板按如图所示的方式放置，使得顶点C重合，∠OEC＝∠OFC＝90°，若∠AOB＝50°，则∠AOC的度数是________．
25°
5．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，连接AD.若BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，
在△BFD和△CED中，
∴△BFD≌△CED（AAS），∴DE＝DF，
又∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴AD平分∠BAC.
6．在△ABC的内部，到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(　　)
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点
D．以上均不对
B
7．如图，O是△ABC内一点，且点O到三边AB，BC，CA的距离OF，OD，OE相等，若∠BAC＝70°，则∠BOC＝________°.
125
05
课堂小结
角平分线的性质及判定
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
重要结论
三角形的角平分线相交于内部一点
谢谢观看
THANKS

展开更多......

收起↑