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1. **等腰三角形定义**：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫腰；另一边叫底边；两腰夹角叫顶角；腰与底边夹角叫底角。2. **性质 1（等边对等角）**等腰三角形的两个底角相等。符号语言：在\(\triangle ABC\)中，若\(AB=AC\)，则\(\boldsymbol{\angle B=\angle C}\)。3. **性质 2（三线合一）**等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高，**互相重合**。>> 三个条件知一推二：> ① \(AB=AC\)，AD平分\(\angle BAC \Rightarrow AD\perp BC，BD=DC\)> ② \(AB=AC\)，AD是中线\(\Rightarrow AD\perp BC，AD\)平分\(\angle BAC\)> ③ \(AB=AC\)，\(AD\perp BC \Rightarrow AD\)平分\(\angle BAC，BD=DC\)4. **轴对称性**：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是**底边上的高（顶角平分线 / 底边中线）所在直线**，只有 1 条对称轴。 注意：“三线合一” 仅限**顶角平分线、底边上中线、底边上高**，腰上的高、中线不适用。三角形内角和\(180^\circ\)，等腰三角形求角度要分类讨论：已知角没说明是顶角还是底角。本节重点：等边对等角求角度；三线合一的证明与计算；分类讨论思想。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angle B=50^\circ\)，则\(\angle A=\)（）A.\(50^\circ\) B.\(60^\circ\) C.\(80^\circ\) D.\(100^\circ\)2. 等腰三角形一个内角是\(70^\circ\)，则它的底角为（）A.\(70^\circ\) B.\(55^\circ\) C.\(70^\circ\)或\(55^\circ\) D.\(40^\circ\)3. 等腰三角形的 “三线合一”，其中的 “三线” 不包括（）A.顶角平分线B.底边上的中线C.底边上的高D.腰上的高4. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是（）A.底边上的高B.底边上的高所在直线C.顶角平分线D.底边中线5. 在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD\perp BC\)，则下列结论错误的是（）A.\(BD=CD\) B.\(\angle BAD=\angle CAD\) C.\(AD=BC\) D.\(\angle B=\angle C\)### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 等腰三角形两个底角相等，简称________。2. 等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高________。3. 等腰三角形一个顶角为\(40^\circ\)，底角等于________。4. 等腰三角形两边长为\(3、5\)，则周长为________。5. 等腰三角形对称轴有________条。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知：在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angle BAC=100^\circ\)，求\(\angle B\)与\(\angle C\)的度数。2. 已知：\(\triangle ABC\)，\(AB=AC\)，AD是底边BC上的中线。求证：\(AD\perp BC\)，AD平分\(\angle BAC\)。3. 等腰三角形有一个角等于\(100^\circ\)，求另外两个角的度数。4. 已知：点\(D、E\)在BC上，\(AB=AC，AD=AE\)。求证：\(BD=CE\)。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **D**。解析：\(AB=AC\Rightarrow\angle B=\angle C=50^\circ\)，\(\angle A=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ\)。2. **C**。解析：若\(70^\circ\)是底角，则底角\(70^\circ\)；若\(70^\circ\)是顶角，则底角\(=(180-70)\div2=55^\circ\)。3. **D**。解析：三线合一针对底边，不是腰。4. **B**。解析：对称轴是直线，高是线段。5. **C**。解析：三线合一可得A、B；等边对等角得D，无法推出\(AD=BC\)。### 填空题1. **等边对等角**2. **互相重合**3. \(\boldsymbol{70^\circ}\)4. **11 或 13**5. **1**### 解答题1. 解：\(\because AB=AC\)（已知）\(\therefore\angle B=\angle C\)（等边对等角）\(\because\angle BAC+\angle B+\angle C=180^\circ，\angle BAC=100^\circ\)\(\therefore\angle B=\angle C=\dfrac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\)。2. 证明：\(\because AB=AC\)，AD是BC中线，\(\therefore BD=CD\)。在\(\triangle ABD\)和\(\triangle ACD\)中\(\begin{cases}AB=AC\\BD=CD\\AD=AD\end{cases}\)\(\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACD(\text{SSS})\)\(\therefore\angle ADB=\angle ADC，\angle BAD=\angle CAD\)。又\(\because\angle ADB+\angle ADC=180^\circ\)，\(\therefore\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\)，即\(AD\perp BC\)。3. 解：\(\because\)三角形内角最多 1 个钝角，\(\therefore100^\circ\)只能是顶角。底角\(=(180^\circ-100^\circ)\div2=40^\circ\)。答：另外两个角都是\(40^\circ\)。4. 证明：过点A作\(AF\perp BC\)于F。\(\because AB=AC，AF\perp BC\)，\(\therefore BF=CF\)（三线合一）。\(\because AD=AE，AF\perp BC\)，\(\therefore DF=EF\)（三线合一）。\(\therefore BF-DF=CF-EF\)，即\(BD=CE\)。## 四、易错点总结1. 对称轴必须写**直线**，写 “高、角平分线”（线段）会扣分；2. 角度计算分类讨论：看到等腰三角形已知角，先判断是顶角还是底角；钝角只能是顶角；3. “三线合一” 使用前提：**必须是等腰三角形**，不能直接在普通三角形用；4. 等腰三角形边长也要分类，还要检验：**两短边之和大于第三边**；5. 证明题乱用三线合一，缺少 “\(AB=AC\)”这个前提条件。沪科版（新教材）数学八年级上册15.4.1 等腰三角形的性质授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章 轴对称图形与等腰三角形1
2
3
经历操作、发现、猜想、证明的过程,培养学生的逻辑思维能力;
掌握等腰三角形的性质1,2及其推论;
运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.
02
复习旧知
同学们，大家在小学就学过哪些关于等腰三角形的知识？
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
02
创设情境
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
AB=AC
△ABC是等腰三角形
03
新知探究
操作
画一个等腰三角形ABC.如图，把边AB叠合到边AC上，这时点B与点C重合，并出现折痕AD.观察图形：△ADB与△ADC有什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？为什么？
（ B ）
03
新知探究
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
由上面的操作，我们可以得到等腰三角形的如下性质：
定理1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”.
03
新知探究
已知在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C.
证明：取BC的中点D，连接AD.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD (SSS)，
∴∠B＝∠C. (全等三角形的对应角相等)
03
新知探究
交流
A
B
C
在等边三角形中，三个内角之间的数量关系如何？ 它们的度数确定吗？
AB=AC
等边对等角
∠B=∠C
AB=BC
等边对等角
∠A=∠C
AC=BC
等边对等角
∠A=∠B
AB=AC=BC
等边对等角
∠A=∠B= ∠C
=60°
03
新知探究
推论 等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
归纳
03
新知探究
例 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边上两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数.
解：∵AB=AC, ∴∠B=∠C.
∴∠B=∠C=×(180°－ 120°)=30°.
又∵BD=AD,
∴∠BAD=∠B=30°.
同理，∠CAE＝∠C=30°
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE
=120°－ 30°－ 30°=60°
若去掉AB=AC这个条件能否求得∠DAE的度数
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列关于等边三角形的说法不成立的是( )
A.三边相等 B.三角相等
C.是等腰三角形 D.有一条对称轴
2. 已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为（　C　）
A. B. 2 C. 3 D.
D
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　20°　.
4.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,则∠BAD=　　　　°.
20°　
30
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E,A在直线CD的同侧,连接AE.求证:AE∥BC.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
证明:∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠B=∠BCA=∠DCE=60°.
∴∠BCA-∠DCA=∠DCE-∠DCA,
即∠BCD=∠ACE.
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD.(SAS)
∴∠EAC=∠B=60°=∠BCA.
∴AE∥BC.
巩固练习
1、若等腰三角形的底角是40°，则其顶角为_______.
“分类讨论”思想的运用
100°
3、若等腰三角形的一个内角是100°，则另外两个角
分别为__________________.
40°、40°
2、如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角等于 .
20°或50°
4、已知：如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120 ，点 D ，E 是底边上两点，且 BD＝AD，CE＝AE，求 ∠DAE 的度数.
A
B
C
D
E
解：
∵ AB＝AC，且 ∠BAC＝120
∴ ∠B＝∠C
(等边对等角)
∴ ∠B＝∠C
= ×(180°-120°)
1
2
=30°
∵ BD＝AD，CE＝AE
(已知)
∴ ∠BAD＝∠B=30°
∠CAE＝∠C=30°
(等边对等角)
∴ ∠DAE＝
＝120°-30°-30°
＝60°
∠BAC
-∠BAD
-∠CAE
解：
∵ ∠BAC＝120°
∴ ∠B+∠C=180°-∠BAC=60°
(已知)
∵ BD＝AD，CE＝AE
(已知)
∴ ∠BAD＝∠B，
∠CAE＝∠C
(等边对等角)
∴ ∠DAE＝
∴ ∠BAD+∠CAE=60°
∠BAC
-(∠BAD+∠CAE)
＝120°-60°
＝60°
变式：已知：如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120 ，点 D ，E 是底边上两点，且 BD＝AD，CE＝AE，求 ∠DAE 的度数.
A
B
C
D
E
5、如图所示，在 △ABC 中，AB，AC 的垂直平分线分别交BC 于 D，E，垂足分别是 M，N．
(1) 若 △ADE 的周长为 6，求 BC 的长；
(2)若 ∠BAC=100°，求 ∠DAE 的度数．
然后根据等腰三角形的性质
及三角形的外角和内角之间的关系，
6、 如图，在 △ABC 中 ，AB=AC，点 D 在 AC 上，且BD=BC=AD，求 △ABC 各角的度数.
求出未知数.
分析：
当已知条件中
没有一个已知度数的角
而又要求角的度数时，
一般采用方程思想来解决，
设未知数时，
一般设较小的角的度数为 x .
用含未知数的代数式表示出一个三角形的内角的度数，
再利用三角形的内角和等于180°列出方程，
x
A
B
C
D
2x
2x
2x
x
1．[知识初练]如图①是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成等腰三角形ABC(如图②)，AB＝AC.
(1)若∠B＝30°，则∠C＝________°；
(2)若∠A＝110°，则∠B＝________°.
1星题 基础练
30
35
2．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC延长线上的一点，则∠ACD＝________°.
135
3.【整体思想】[合肥期末]如图，AB＝AC＝AD，∠BAD＝50°，则∠BCD的度数为(　　)
A．115° B．130°
C．140° D．155°
D
4．如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线．求证：AD∥BC.
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
又∵∠EAC＝∠B＋∠C，∴∠EAC＝2∠B.
∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC.
5. 【思维生长】如图①，已知△ABC是等边三角形，点G在边AC上，点B，C，D在同一直线上，且CG＝CD，则∠D＝________°.
向“实践应用”生长：如图②，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1＝40°，则∠2的度数为________．
30
20°
6．如图，AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线，AD，BE相交于点O.求∠AOB的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°.
∵AD，BE是等边三角形ABC的两条角平分线，
∴∠BAD＝ ∠BAC＝30°，∠ABE＝ ∠ABC＝30°，
∴∠AOB＝180°－∠ABE－∠BAD＝120°.
7．如图，在△ABC中，∠BAC>∠B，∠C＝70°，将△ABC折叠，使得点B与点A重合，折痕ED交AB于点D，交BC于点E，若AE＝AC，则∠B的度数为________．
35°
2星题 中档练
05
课堂小结
等腰三角形
定理1：等腰三角形两个底角相等，简称“等边对等角”.
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
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