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1. **等腰三角形判定定理（等角对等边）**如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。符号语言：在\(\triangle ABC\)中，若\(\boldsymbol{\angle B=\angle C}\)，则\(\boldsymbol{AB=AC}\)。>> 用途：由角相等，证线段相等，判定三角形是等腰三角形。 区分：- 性质：等边对等边 → 已知边相等，推出底角相等（边→角）- 判定：等角对等边 → 已知角相等，推出边相等（角→边）2. **推论：等边三角形判定**① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有一个角是\(60^\circ\)的等腰三角形是等边三角形。3. 常见模型：角平分线 + 平行线，会出现等腰三角形AD平分\(\angle BAC\)，\(DE\parallel AC \Rightarrow \triangle ADE\)等腰。本节重点：等角对等边的证明与计算；区分性质与判定；角平分线 + 平行线模型；简单几何证明。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle B=\angle C=50^\circ\)，则（）A.\(AB=BC\) B.\(AB=AC\) C.\(AC=BC\) D.\(AB=AC=BC\)2. 下列条件，不能判定\(\triangle ABC\)是等腰三角形的是（）A.\(\angle A:\angle B:\angle C=2:2:3\)B.\(AB=3，BC=3，AC=4\)C.\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)D.\(\angle A=50^\circ，\angle B=50^\circ\)3. 已知AD平分\(\angle BAC\)，\(DE\parallel AB\)交AC于E，则（）A.\(AE=DE\) B.\(AE=EC\) C.\(DE=EC\) D.\(AD=DE\)4. 一个等腰三角形，有一个内角是\(60^\circ\)，这个三角形是（）A.等腰直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.无法确定5. 关于等腰三角形性质和判定说法正确的是（）A.“等边对等角” 是判定定理B.“等角对等边” 是性质定理C.等角对等边，是由角相等推出边相等D.两个角相等的三角形一定是等边三角形### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 有两个角相等的三角形，这两个角对的边相等，简称________。2. 有一个角是\(60^\circ\)的等腰三角形是________三角形。3. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=70^\circ，\angle B=70^\circ\)，则相等的边是________。4. 三个内角都相等的三角形，每个内角等于________\(^\circ\)。5. “等边对等角” 是等腰三角形的________；“等角对等边” 是等腰三角形的________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知：在\(\triangle ABC\)中，\(\angle B=\angle C\)。求证：\(AB=AC\)。2. 已知：如图，\(AD\parallel BC\)，BD平分\(\angle ABC\)。求证：\(AB=AD\)。3. 已知：\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点D在BC上，\(DE\parallel AB\)交AC于E。求证：\(\triangle DEC\)是等腰三角形。4. 已知：\(\triangle ABC\)是等腰三角形，\(AB=AC\)，\(\angle A=60^\circ\)。求证：\(\triangle ABC\)是等边三角形。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：\(\angle B=\angle C\)，对边\(AC=AB\)（等角对等边）。2. **C**。解析：C选项\(\angle A=50^\circ，\angle B=60^\circ\)，\(\angle C=70^\circ\)，三角都不等。3. **A**。解析：角平分线 + 平行线，内错角相等，得到\(\angle EAD=\angle EDA\)，\(AE=DE\)。4. **B**。解析：等腰三角形只要有一个角\(60^\circ\)，就是等边三角形。5. **C**。解析：等边对等角是性质；等角对等边是判定。### 填空题1. **等角对等边**2. **等边**3. **\(BC=AC\)**4. \(\boldsymbol{60}\)5. **性质；判定**### 解答题1. 证明：作\(AD\perp BC\)于D。\(\therefore\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\)。在\(\triangle ABD\)和\(\triangle ACD\)中\(\begin{cases}\angle B=\angle C\\\angle ADB=\angle ADC\\AD=AD\end{cases}\)\(\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACD(\text{AAS})\)\(\therefore AB=AC\)。2. 证明：\(\because BD\)平分\(\angle ABC\)（已知）\(\therefore\angle ABD=\angle DBC\)。\(\because AD\parallel BC\)（已知）\(\therefore\angle ADB=\angle DBC\)（两直线平行，内错角相等）。\(\therefore\angle ABD=\angle ADB\)。\(\therefore AB=AD\)（等角对等边）。3. 证明：\(\because AB=AC\)，\(\therefore\angle B=\angle C\)（等边对等角）。\(\because DE\parallel AB\)，\(\therefore\angle EDC=\angle B\)（两直线平行，同位角相等）。\(\therefore\angle EDC=\angle C\)。\(\therefore DE=EC\)（等角对等边）。\(\therefore\triangle DEC\)是等腰三角形。4. 证明：\(\because AB=AC\)，\(\therefore\triangle ABC\)是等腰三角形。又\(\because\angle A=60^\circ\)\(\therefore\triangle ABC\)是等边三角形（有一个角是\(60^\circ\)的等腰三角形是等边三角形）。## 四、易错点总结1. 极易混淆：等边对等角（性质，边推角）、等角对等边（判定，角推边）；写证明依据千万不要写反；2. “等角对等边”**只在同一个三角形内成立**，不同三角形的角相等，不能推出边相等；3. 角平分线 + 平行线模型是考试高频，记住：平行 + 角分线，必出等腰；4. 判定等边三角形两个条件不要搞混：三角相等，或者等腰\(+60^\circ\)；5. 证明题想证边相等，优先寻找等角，使用等角对等边，不要盲目全等。（全文 1321 字）沪科版（新教材）数学八年级上册15.4.2 等腰三角形的判定授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章 轴对称图形与等腰三角形1
2
3
掌握等腰三角形的判定及其两个推论;掌握直角三角形的性质定理;
运用等腰三角形的判定及其推论进行有关计算和证明;
运用直角三角形的性质定理进行有关计算和证明.
等腰△ABC沿折痕AD对折，其中重合的线段和角，如下表：
重合的线段 重合的角
AB与AC ∠B与∠C
BD与CD ∠BAD与∠CAD
AD与AD ∠ADB与∠ADC
A
C
B
D
思考
线段AD有什么特点？
位置关系？长度大小关系？
中线
角平分线
高
02
复习旧知
等腰三角形的性质
性质 1 等腰三角形的两个底角相等.
(简写成等边对等角)
A
B
C
02
创设情境
同学们，在我们挂这个画框的时候，如果想只用一根钉子就让它保持水平、不歪斜，我们应该把钉子钉在画框上边的哪个位置呢？
中间
02
创设情境
但这其中蕴含着什么数学道理呢？如果我们把画框、绳子和墙面抽象成一个几何图形——画框的上边是底边，两侧的绳子是两条相等的边，这就构成了一个什么图形？
钉子
等腰三角形
02
创设情境
钉子
那么，钉子所在的那个‘中点’，在这个等腰三角形里扮演了什么角色？为什么绳子挂在这个点上，就能保证画框是水平的呢？”
03
新知探究
∠ADB = ∠ADC = 90°，
∠BAD =∠CAD.
由前面定理1的证明还能得到什么结论？
A
C
D
B
猜想：等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角.
03
新知探究
思考
如图，在△ABC中，AB=AC.
1. 如果作BC边上的高线 AD，那么AD平分BC 吗？AD平分∠BAC吗
2.如果作∠ABC的顶角平分线AD，那么AD垂直平分BC 吗
03
新知探究
（1）
证明：作底边 BC 的高 AD，交 BC 于点 D.
∵ AD⊥BC，
∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中，
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴ BD＝CD，∠BAD ＝∠CAD.
A
B
C
D
03
新知探究
(2)
证明：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵ AD平分∠BAC ，∴ ∠BAD＝∠CAD.
在△ABD与△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ BD＝CD，∠ADB＝∠ADC.
又∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
A
C
D
B
03
新知探究
归纳
定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合.
03
新知探究
A
B
C
结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”.
三条对称轴
问题：等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？
03
新知探究
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AD上一点，求证：BE=CE.
证明 ∵ AB=AC，AD 是边BC上的中线，(已知)
∴ AD是BC 边上的高.(三线合一)
∴ AD 垂直平分线段BC .
（线段垂直平分线的定义）
∵ 点E 是AD上一点（已知）
∴ BE =CE.（线段垂直平分线的性质）
03
新知探究
例2 求证：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∠C =∠C' = 90°，AB =A'B'，AC =A'C'
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A'
A
B
C
C'
B'
A
B
C
(C')
03
新知探究
证明：如图，在平面内移动Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使点A 和A'，点C 和C' 重合，点B 和点B' 在AC 两侧.
∵∠BCB' =90°+90°=180°，
∴B，C，B' 三点在一条直线上.
在△ABB' 中，∵AB =AB'，∴∠B =∠B'.
在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (AAS).
A
B
C
(C')
　解：成立.理由如下：
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB=60°
∵ DE∥ BC
∴ ∠ABC =∠ADE=60°
∠ACB =∠AED=60°
∴ ∠A =∠ADE =∠AED=60°
∴ △ADE 是等边三角形.
变式 1　若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥ BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
对应练习
(三个角都相等的三角形是等边三角形)
变式 2 若点 D、E 在边 AB、AC 的反向延长线上，且 DE∥ BC，
结论依然成立吗？
　　解： 成立.理由如下：
∵ △ABC 是等边三角形
∴ ∠BAC =∠B =∠C=60°
∵ DE∥ BC
∴ ∠B =∠D=60°，∠C =∠E=60°
又∵ ∠EAD=∠BAC=60°
∴ ∠EAD =∠D =∠E=60°
∴ △ADE 是等边三角形
A
D
E
B
C
对应练习
(三个角都相等的三角形是等边三角形)
1．[知识初练]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝2，则BC＝________；若∠BAC＝100°，则∠BAD＝________．
1星题 基础练
4
50°
2.【立德树人·文化自信】某智能建造的跨海大桥工程中(图①)，斜拉索与桥面构成的等腰三角形框架采用BIM技术精准建模．图②为简化示意图，在△ABC中，AB＝AC，若D是边BC上的一点，则下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　)
A．BD＝CD B．∠ADB＝∠ADC
C．∠BAD＝∠CAD
D．BC＝2AD
D
3．[长沙一模]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ABE的度数为(　　)
A．20° B．35° C．40° D．70°
B
4．如图，在△ABC中，AB＝AC, D是BC的中点，DE⊥AC，垂足为E.若∠BAC＝50°， 求∠ADE的度数．
解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵∠BAC＝50°，∴∠DAC＝25°.
∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－25°＝65°.
5．[广州期末]如图，等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点H为边BC上的垂足．小花放入一张等边三角形纸片BDE，E在BC上，F为AH与DE的交点，小都又放入一张等边三角形纸片EFG，G在BC上．小花和小都量得EF＝5，CE＝3，那么等腰三角形纸片的底边BC长应为(　　)
A．8 B．10 C．11 D．13
C
6．如图，在等边三角形ABC中，D是边AB上的一点，E是CB延长线上的一点，连接CD，DE.若∠BDE＝25°，CD＝DE，求∠ACD的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠BDE＝25°，∠ABC是△BDE的一个外角，
∴∠E＝∠ABC－∠BDE＝35°.
∵CD＝DE，∴∠DCE＝∠E＝35°，
∴∠ACD＝∠ACB－∠DCE＝25°，∴∠ACD的度数为25°.
05
课堂小结
等腰三角形
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线和一”）
应用： 研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线．
谢谢观看
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