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## 知识点梳理1. **定理**：在直角三角形中，如果一个锐角等于\(30^\circ\)，那么它所对的**直角边等于斜边的一半**。符号语言：在\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle A=30^\circ\)，则\(\boldsymbol{BC=\dfrac12AB}\)。>> 注意：是**\(30^\circ\)角对着的直角边**，不是另一条直角边！2. **逆定理**：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于\(30^\circ\)。符号语言：在\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(BC=\dfrac12AB\)，则\(\boldsymbol{\angle A=30^\circ}\)。3. 常用边长比例：\(30^\circ、60^\circ、90^\circ\)直角三角形三边之比：\(\boldsymbol{1:\sqrt{3}:2}\)短直角边（对\(30^\circ\)）\(:\)长直角边（对\(60^\circ\)）\(:\)斜边。4. 常见模型：等边三角形作高，分成两个全等的含\(30^\circ\)的直角三角形。本节重点：利用性质求线段长度；分清哪条直角边是斜边一半；逆定理判断\(30^\circ\)角；几何计算与简单证明。## 二、基础专项练习题### （一）选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 在\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle B=30^\circ\)，斜边\(AB=8\)，则AC长为（）A.2 B.4 C.6 D.82. \(\text{Rt}\triangle ABC\)，\(\angle C=90^\circ\)，若一条直角边\(BC=\dfrac12AB\)，则（）A.\(\angle A=30^\circ\) B.\(\angle B=30^\circ\) C.\(\angle A=60^\circ\) D.\(\angle C=30^\circ\)3. 在\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle A=30^\circ\)，\(BC=3\)，则AB的长为（）A.3 B.4 C.5 D.64. 一个直角三角形，三个内角为\(30^\circ，60^\circ，90^\circ\)，最短直角边为5，则较长直角边为（）A.5 B.\(5\sqrt{3}\) C.10 D.\(10\sqrt{3}\)5. 下列说法正确的是（）A.直角三角形中，直角边等于斜边一半B.任意三角形，\(30^\circ\)角对边等于对边一半C.直角三角形，\(30^\circ\)锐角所对直角边等于斜边一半D.有一个角\(30^\circ\)的三角形，短边一定是长边一半### （二）填空题（每题 4 分，共 20 分）1. 在直角三角形中，\(30^\circ\)角所对的________等于斜边的一半。2. \(\text{Rt}\triangle ABC，\angle C=90^\circ，\angle A=30^\circ，AB=10\)，则\(BC=\)________。3. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角为________。4. \(\text{Rt}\triangle ABC，\angle C=90^\circ，\angle B=60^\circ，AC=4\)，则\(\angle A=\)________。5. 含\(30^\circ\)的直角三角形三边比（短直角边：长直角边：斜边）=________。### （三）解答题（每题 15 分，共 60 分）1. 已知：在\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle BAC=30^\circ\)，\(BC=4\)，求斜边AB的长。2. 已知：\(\triangle ABC\)是等边三角形，\(AD\perp BC\)于D，\(AB=6\)，求BD和AD的长。3. 已知：在\(\text{Rt}\triangle ABC\)中，\(\angle C=90^\circ\)，\(AB=16\)，\(BC=8\)，求证：\(\angle A=30^\circ\)。4. 已知：\(\angle AOB=30^\circ\)，点P在OA上，\(PM\perp OB\)于M，\(OP=10\)，求PM的长度。## 三、参考答案与详细解析### 选择题1. **B**。解析：\(\angle B=30^\circ\)，对边\(AC=\dfrac12AB=\dfrac12\times8=4\)。2. **A**。解析：直角边BC对\(\angle A\)，\(BC=\dfrac12AB\)，所以\(\angle A=30^\circ\)。3. **D**。解析：BC是\(30^\circ\)对边，\(AB=2BC=6\)。4. **B**。解析：短直角边5，斜边10，长直角边\(=5\sqrt{3}\)。5. **C**。解析：性质前提必须是直角三角形，并且是\(30^\circ\)角**所对直角边**。### 填空题1. **直角边**2. \(\boldsymbol{5}\)3. \(\boldsymbol{30^\circ}\)4. \(\boldsymbol{30^\circ}\)5. \(\boldsymbol{1:\sqrt{3}:2}\)### 解答题1. 解：\(\because\text{Rt}\triangle ABC，\angle C=90^\circ，\angle BAC=30^\circ\)（已知）\(\therefore BC=\dfrac12AB\)（直角三角形中，\(30^\circ\)角所对直角边等于斜边一半）\(\therefore AB=2BC=2\times4=8\)。答：\(AB=8\)。2. 解：\(\because\triangle ABC\)等边三角形，\(AD\perp BC\)\(\therefore BD=\dfrac12BC=\dfrac12AB=3\)，\(\angle BAD=30^\circ\)。在\(\text{Rt}\triangle ABD\)中，由勾股定理：\(AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)。答：\(BD=3，AD=3\sqrt{3}\)。3. 证明：\(\because\text{Rt}\triangle ABC，\angle C=90^\circ，AB=16，BC=8\)\(\therefore BC=\dfrac12AB\)。\(\therefore\angle A=30^\circ\)（直角三角形中，如果一条直角边等于斜边一半，则这条直角边所对锐角是\(30^\circ\)）。4. 解：\(\because PM\perp OB\)，\(\therefore\triangle OMP\)是直角三角形，\(\angle OMP=90^\circ\)。\(\because\angle AOB=30^\circ\)，\(OP=10\)，PM是\(30^\circ\)角对的直角边\(\therefore PM=\dfrac12OP=5\)。答：\(PM=5\)。## 四、易错点总结1. 最容易错：**找错 30° 角对应的直角边**，把长直角边当成斜边一半；2. 定理前提：**必须是直角三角形**！普通三角形有\(30^\circ\)角，没有这个性质；3. 逆定理使用条件同样：必须在\(\text{Rt}\triangle\)内，直角边 = 斜边一半\(\Rightarrow30^\circ\)；4. 边长计算容易忘记勾股，长直角边要带根号\(\sqrt{3}\)；5. 几何证明写依据，文字定理不能简写丢条件。（全文 1321 字）沪科版（新教材）数学八年级上册15.4.3 含30°角的直角三角形的性质授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十五章 轴对称图形与等腰三角形 新课导入
我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？
等腰三角形的性质定理：
定理 等腰三角形的两个底角相等.
03
新知探究
等腰三角形的两个底角相等，反过来的命题是否是真命题呢？请与你的同学研究讨论后作出判断.
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.（等角对等边）
思考
如何证明呢？
03
新知探究
已知：如图所示，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.
证明：过点A作AD⊥BC,D点为垂足，
∴∠ADB=∠ADC=90°.（垂直定义）
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC.(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
03
新知探究
这个定理叫做等腰三角形的判定定理,它是判断一个三角形是否为等腰三角形的重要依据.
通过该定理是否能得到其他推论？
注意：不能将等腰三角形的判定定理写成“如果一个三角形两个底角相等，那么它的两腰也相等”，因为在没有判断出三角形为等腰三角形前，不能使用“腰”、“底角”这类等腰三角形专用词语名称
03
新知探究
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
归纳
03
新知探究
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，延长BC到点D，使CD=BC.连接AD,则△ACD≌△ACB.
A
B
C
D
∴ AD=AB，∠BAC=∠DAC=30°，∠BAD=60°.由推论2，得△ABD是等边三角形，∴ BD=AB
BC=BD=AB.
03
新知探究
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
归纳
03
新知探究
例4 如图，一艘船从A处出发，以每时10nmile（海里）的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得礁石C在北偏西60°的方向上.
（1）画出礁石C的位置；
（2）求从B处到礁石C的距离；
(3)这艘船继续向正北方向航行多少海里与礁石C的距离最小
03
新知探究
解：（1）如图，以A为顶点，向北偏西30°作射线AD，在点A的正北方向上取一点B，以B为顶点，向北偏西60°作射线BE，AD与BE交于点C，则点C为礁石所在地.
（2）∵ ∠ACB=60°-30°=30°，（三角形的外角性质）
又∵ ∠BAC=30°， ∴ ∠BCA=∠BAC,
∴ BC=BA.
∵ BA=10×（10-8）=20（n mile），
∴ BC=20（n mile）.
即从B处到礁石C的距离是20 n mile.
03
新知探究
(3)如图,过点C作CF⊥AB，垂足为点F.
∵∠CBF=60°，∠CFB=90°
∴∠BCF=30°
∴BF=BC=10(n mile)
答：这艘船继续向正北方向航行10n mile与礁石C的距离最小.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在△ABC 中， AB＝AC=5， D是BC 上的点， DE∥AB交AC于点E ，DF∥AC交AB于点F ，那么四边形AEDF的周长是(　B　)
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
2.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A.a=3,b=3,c=4 B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80° D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
B
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α＝60°，点 B ，C 表示的刻度分别为1，3，则线段 AB 的长为 cm.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=40°,在直线AC上找一点P,使△ABP是等腰三角形,则∠APB的度数为　 　 .
2　
20°或40°或70°或100°
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是一个等边三角形
5.如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
变式 1 如图，Rt△ABC 中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，
则 AB=______.
8
A
C
B
变式 2 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB=8，则 BD=（　　）
A.2 B.3 C.4 D.6
A
变式 4 如图，在 △ABC 中，AB=BC，∠B=120°，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D．若 AC=6cm，则 AD= cm．
2
变式 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点E，若 BD=20cm，则 AC的长为 .
10cm
2、如图，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
C
1．有两个角________的三角形是等腰三角形．简称“等角对等边”．
2．三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等腰三角形是等边三角形．
相等
相等
60°
1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长为(　　)
A．9 cm B．10 cm
C．11 cm D．12 cm
1星题 基础练
B
2．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠B＝40°，∠C＝80°
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C．2∠A＝∠B＋∠C
D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶1
D
3．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有________个．
3
4．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.
求证：△GEC是等腰三角形．
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DFE中，∵
∴△ABC≌△DFE（SSS）.∴∠ACB＝∠DEF，
∴EG＝CG，∴△GEC是等腰三角形.
【思维模型】三角形的关系
小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如下，请帮他在横线上填上一个适当的条件．
∠A＝60°（答案不唯一）
5．如图是我们画圆或画弧时使用的圆规，已知圆规两脚OA＝OB＝8 cm.画圆或画弧时要调整圆规两脚张开的角度，若圆规两脚张开的角度为60°，则A，B两点间的距离为________cm.
8
6．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E.若∠E＝30°，AD＝AE.求证：△ABC为等边三角形．
证明：∵AD＝AE，∴∠E＝∠ADE＝30°，
∴∠CAB＝∠E＋∠ADE＝30°＋30°＝60°.
∵DF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴∠C＝90°－∠E＝60°，
∴∠B＝180°－∠C－∠CAB＝180°－60°－60°＝60°，
∴∠C＝∠B＝∠CAB，∴△ABC为等边三角形.
7.【新趋势·开放性问题】 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可添加的一个条件是_______________________．
∠B＝60°（答案不唯一）
2星题 中档练
05
课堂小结
等腰三角形的判定
等角对等边
定义
注意是指同一个三角形中
有两边相等的三角形是等腰三角形
推论
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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