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参考答案
题型01 有理数的加、减运算
【例题】
【详解】解：（1）
．
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）
.
【变式1】
【详解】（1）
．
（2）；
．
（3）原式
；
（4）原式
．
【变式2】
【详解】解：（1）
．
（2）
．
（3）
；
（4）
．
【变式3】
【详解】解：（1）拆为，拆为，
故答案为：，；
（2）
．
．
题型02 有理数乘法与简便运算
【例题】
【答案】B
【变式1】
【答案】(1)
(2)
【变式2】
【详解】（1）解：
．
（2）
；
【变式3】
【详解】解：
．
原式
．
题型03 倒数法计算复杂除法
【例题】
（1）
答案为：乙、丙；甲．
（2）①解：
；
②解：设原式为，则的倒数为，
，
的倒数为，
．
【变式1】
【答案】．
【变式2】
（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的．
（2）方法一： 原式 ．
方法二：原式的倒数为 ．
所以原式
【变式3】
（1）解：∵乘积为1的两个数互为倒数
∴前后两部分互为倒数．
（2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算；
计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算；
∴先计算后面部分比较方便
计算如下：
．
（3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分：
∴前面部分：．
（4）解：
．
题型04 有理数乘方运算与符号规律
【例题】
【答案】B
【变式1】
【答案】B
【变式2】
【答案】B
【变式3】
【答案】(1)
(2)
(3)
题型05 含乘方的有理数的混合运算
【例题】
【答案】(1)
(2)
【变式1】
【答案】(1)1
(2)4
【变式2】
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【变式3】
【答案】(1)
(2)
题型06 有理数的运算过程纠错问题
【例题】
【答案】（1）②、③；（2）36
【变式1】
【答案】（1）②、运算顺序错误；（2）-4
【变式2】
【答案】（1）乘法分配律；（2）二；（3）
【变式3】
【答案】（1）交换；结合；（2）三；（3）0．
题型07 有理数的运算的实际应用
【例题】
【答案】(1)
根据题意，第一次旋转过程为：逆时针旋转15小格，
，
，
∴刻度线所表示的数为；
刻度线所表示的数为
(2)
【变式1】
【答案】(1)“健康监测准确性”
(2)
解：A款智能手表得分：分．
B款智能手表得分：分．
C款智能手表得分：分．
按此评分规则，小明会选购C款智能手表．
(3)
解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权重分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权重是4，重要程度高，对总分影响大．
【变式2】
【答案】这批苹果一共有500千克
【变式3】
【答案】B
题型08 有理数运算中的程序问题
【例题】
【答案】B
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】
【变式3】
【答案】A
题型09 有理数运算中的新定义型问题
【例题】
【答案】(1)
(2)
(3)
【变式1】
【答案】(1)，
(2)
(3)0或1
【变式2】
【答案】(1)10
(2)
【变式3】
【答案】(1)49；
(2)109．
题型10 有理数运算中的规律探究问题
【例题】
解：（1）∵，
∴第6个数是，
，
∴是第11个数；
（2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：；
（3）
．
【变式1】
【答案】(1)
(2)
(3)
【变式2】
【答案】(1)，
(2)
(3)
【变式3】
【答案】（）；；；（）；．
题型11 古代中的有理数运算问题
【例题】
【答案】6
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】123
【变式3】
【答案】C
题型12 k进制与十进制互相转化
【例题】
【答案】．
【变式1】
【答案】．
【变式2】
【答案】（1）15；（2）①；②51或69
【变式3】
【答案】(1)①38，②；(2)；(3)；(4)是，见解析
题型13 科学记数法的表示与还原
【例题】
【答案】．
【变式1】
【答案】C
【变式2】
【答案】7
【变式3】
【答案】
题型14 近似数的精确度判断
【例题】
【答案】．
【变式1】
【答案】．
【变式2】.
【答案】
【课后作业】
【答案】D
【答案】
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)千米
(3)元
【答案】（1）1，1；（2），；（3）16，16；（4）400，400；规律：两个数的相同次幂的积等于这两个数乘积的相同次幂，．
【答案】(1)
(2)①；②
【答案】(1)1
(2)1
(3)
【答案】；
【答案】A
【答案】二进制中的数101011等于十进制中的43；她一共采集到的野果数量为1838个第二章 有理数的运算
题型01 有理数的加、减运算
【例题】技巧：若算式中出现互为相反数的数，优先配对合并，直接消去为0，大幅简化计算。
计算：． （2）；
（3）； （4）
【变式1】小数优先合并尾数互补的数，分数优先合并同分母、分子和为分母的数，凑出整数计算。
计算：（1）． （2）；
（3）； （4）．
【变式2】将所有正数、负数分别分组求和，再用正数和减去负数和，避免符号混乱出错。
计算：（1）． （2）；
（3）； （4）．
【变式3】适用场景：带分数、接近整十/整百/整千的数；拆分规则：带分数拆分 ，；近整数拆分 ，
阅读下列计算过程，解决问题．
计算：
解：原式
．
上面的解题方法叫作拆项法.
(1)仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____；
(2)用拆项法计算：；
．
题型02 有理数乘法与简便运算
【例题】已知，，，，则（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
利用乘法运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：．
(1)．
(2)．
【变式2】（25-26七年级上·河北保定·期中）阅读以下内容：
利用运算律有时能进行简便计算： 例1：； 例2：．
请你参考以上解法，用运算律进行简便计算．
．
(2)
【变式3】（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：
． （2）．
题型03 倒数法计算复杂除法
【例题】（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下：
甲：原式
乙：原式
丙：原式的倒数
故原式．
请认真阅读，解答下列问题：
(1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”)
(2)计算：
①
②
【变式1】请你仔细阅读下列材料，并解答后面的问题．计算．
解法一（按常规方法计算）
原式．
解法二（简便计算，先求其倒数）
原式的倒数为．
故．
根据你对所提供材料的理解，模仿以上两种方法计算：
【变式2】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题：
计算：．
解法一：原式
解法二：原式
解法三：原式的倒数为，
故原式．
(1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的；
(2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：．
【变式3】计算：
(1)前后两部分之间存在着什么关系？
(2)先计算哪部分比较简单 请给予解答；
(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；
(4)根据上述分析，求出原式的结果．
题型04 有理数乘方运算与符号规律
【例题】当时，以下等式：①；②；③；④中成立的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1】计算的值，结果正确的是（ ）
A．1 B． C．0 D．或0
【变式2】（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式3】（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答：
例1：
．
例2：
(1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______；
(2)仿照上面材料或规律计算：；
(3)根据（1）的规律计算：．
题型05 含乘方的有理数的混合运算
【例题】计算：
(1)． (2)．
【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）计算下列各题（能简便运算的请简便计算）．
(2)
【变式2】计算：
； (2)．
(3)； (4)．
【变式3】计算：
(1) (2)
题型06 有理数的运算过程纠错问题
【例题】（2026 河北校级一模）阅读下面解题过程：
计算：
解：原式①
＝（﹣20）÷（﹣5）…②
＝﹣4…③
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第　 　 步，第二处是第　 　 步；
（2）请你写出这道题的正确解答过程．
【变式1】（2025秋 惠阳区期末）请你阅读小虎同学的作业后，回答问题：计算：．
解：原式：
＝1.5÷（﹣6）②
＝﹣0.25③
（1）上面解题中从第　 　 步开始出现错误，错误的原因是　 　 ；
（2）写出这道计算题的正确解题过程．
【变式2】（2025秋 驻马店期末）下面是小明同学对算式“”的计算过程：
解：原式第一步 ＝﹣6+8﹣10÷25…第二步 第三步 第四步
根据以上过程，回答下列问题：
（1）小明在进行第一步计算时，运用的运算律是　 　 ；
（2）我们发现小明的计算出现了错误，他是在第　 　 步开始出错的；
（3）请你给出正确的解答过程．
【变式3】下面是小华同学计算的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式第一步 第二步 第三步 第四步
任务：
（1）计算过程中，为了简便，小华同学在进行第二步计算时，运用了加法的　　 律和　　 律．
（2）她从第　　 步开始出现错误．
（3）请你直接写出正确的运算结果，并就有理数的加减运算给出一条建议．
题型07 有理数的运算的实际应用
【例题】（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是一种转盘型密码锁，共有40个小格．每次开锁时需要先把表示“0”的刻度与固定盘上的标记线对齐，再顺时针或逆时针方向旋转带有刻度的转盘6次．规定：逆时针旋转记为“”，顺时针旋转记为“”，例如“”表示顺时针旋转5小格，此时标记线对准的数为35．
(1)若开锁密码为“，，，，，”（需旋转6次），请描述第一次的旋转过程，并求锁打开时标记线对准的刻度线所表示的数；
(2)若转盘逆时针旋转1小格损耗单位零件寿命，顺时针旋转1小格损耗单位零件寿命，请计算第（1）问打开锁的过程中零件寿命总损耗．
【变式1】（2026·广东东莞·二模）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下：
层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分．
计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度．
(1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？
(2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？
(3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因．
【变式2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费，后来决定将这些苹果的价格降到原定价的卖出，这样所得的总利润就只有原计划的 ．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．这批苹果一共有多少千克
【变式3】小王在word文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（　　）
A．9次 B．10次 C．11次 D．12次
题型08 有理数运算中的程序问题
【例题】按照如图所示的操作步骤进行计算，若输入的值为，则输出的值为（ ）
A． B．28 C． D．80
【变式1】按照如图所示的一个数值转换程序，若输入的值是，则输出的结果是_______ ．
【变式2】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的数是，则输出数是________．
【变式3】（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
题型09 有理数运算中的新定义型问题
【例题】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）定义一种新的运算，观察下列各式：
，
，
，
．
(1)根据观察到的规律，计算；
(2)用代数式表示的结果；
(3)若，请计算的值．
【变式1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：．
(1)计算：________；________；
(2)如，求m的值；
(3)在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值．
【变式2】定义一种新运算“△”：，例如：．计算：
(1)；
(2)．
【变式3】对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)49；
题型10 有理数运算中的规律探究问题
裂项相消法基础核心公式：
例题：
解：原式
【例题】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）【情景创设】
是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？
【探索活动】
（1）根据规律第6个数是 ，是第 个数；
（2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律
【方法属示】
．
这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉．
【实践应用】
（3）根据上面获得的经验完成下面的计算：
【变式1】观察下列等式
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
，
按上述规律，回答下列问题：
(1)请写出第六个等式：______；
(2)请写出第个等式：______；
(3)计算：．
【变式1】观察下列等式：；；；；；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请写出两个等式： ， ；
(2)根据以上式子的规律，请写出第个式子；（为正整数）
(3)利用这个规律计算的值．
【变式3】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．
例如：，，，．
【初步体验】
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）：
______；
______；
______；
【拓广应用】
（2）计算：
______；
．
题型11 古代中的有理数运算问题
【例题】如图是中国古代“洛书“的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和皆相等，则右下角代表的数是 ．
【变式1】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是 ．
【变式2】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天．
【变式3】我国古代算盘（如图1）暗藏着十六进制，其算珠结构为“上二下五”，上珠以一当五，下珠以一当一．当算盘归零时，上下珠靠框，拨珠时靠梁，上珠下拨，下珠上拨．每档代表一个数位，从右往左数位依次增加．若通过“逢十六进一”的运算规则，则可适配古代重量单位“一斤等于十六两”的度量体系．图2表示的十六进制数为，通过（规定：时，），可知表示的十进制数为97．若十进制数88用该算盘表示为十六进制数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型12 k进制与十进制互相转化
【例题】我们常用的十进制，如；，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的（　　）
A．10011 B．11001 C．11010 D．11101
【变式1】在人工智能的众多算法和数据处理中，经常涉及不同进制数之间的转换操作．二进制数可用十进制表示为，同样地，三进制数可用十进制表示为．现有二进制数，三进制数，那么，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【变式2】（25-26七年级上·广东广州·期末）综合与实践
素材1 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“逢几进一”就是几进制，也就是说，逢三进一就是三进制，用数字0，1，2记数，例如：就是三进制数221的简单写法．
素材2 三进制数可转换为十进制数．例如：（规定当时，，如），可得转换为十进制数是25．
素材3 若一个三进制的四位数从左往右各位上的数字分别为，则这个三进制的四位数可记为，于是．
任务1 （1）将，转换为十进制数，结果是 ．
任务2 （2）已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除． ①写出此时的值，并说明理由； ②若这个三进制数所有数位上的数字之和是5，求这个三进制数对应的十进制数．
【变式3】（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合与实践：进位制的数学文化与应用进位制是古人计数的智慧创造，我国古代《九章算术》中就蕴含进制思想．进位制是约定的记数系统，“逢n进一”就是n进制．为区分进位制，常在数的右下角标注基数，如就是二进制数，十进制数一般不标注基数．
[算法赏析]
材料一：十进制数，记作：．
材料二：七进制转化成十进制，只要将七进制数的每个数字，依次乘以7的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数，如∶ ，即．将十进制数化为与其相等的七进制数，可用7去除；把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．
如：7∣66 3（第1位余数）
7∣9 2（第2位余数）
7∣1 1（第3位余数）
∴
材料三：二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．进制的四则运算口诀如下：加法：
减法：，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）．
[算法体验]
（1）①把五进制转换为十进制数______；
②把十进制数转换为二进制数______；
（2） =______；（结果用二进制数表示）；
（3）____．（结果用二进制数表示）；
[算法应用]
（4）若一个三进制数转换为十进制数为m，一个四进制数转换为十进制数为n，当时，称这个三进制数与这个四进制数互为“发发数”，判断与，是否互为“发发数”，并说明理由．
题型13 科学记数法的表示与还原
【例题】天安门广场是世界上面积最大的广场，长约，宽约，它的面积用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（25-26七年级下·河北石家庄·期末）据不完全统计，2026年石家庄市中考报名人数大约147000人，数据147000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个．
【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）某市将投入元推进“美丽乡村”全域化建设，现将元还原成以“亿元”为单位的原数是________亿元．
题型14 近似数的精确度判断
【例题】下列说法中正确的是（　　）
A．2.46万精确到万位
B．近似数6千和6000精确度是相同的
C．317500精确到千位可以表示为31.8万，也可表示为
D．近似数8.4和0.8的精确度不相同
【变式1】我国著名数学家刘徽是第一个用割圆术找到计算圆周率方法的人，他求出的近似值为3.1416．用四舍五入法对3.1416取近似数，精确到0.001的是（　　）
A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142
【变式2】.（25-26七年级上·河南周口·期末）把38.964精确到十分位的结果是____．
【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位．
【课后作业】
下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A． B．
C． D．
定义新运算，则______________．
（25-26七年级上·山东德州·期中）计算
(1) (2)
(3) (4)
(6)
（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算．
； (2)；
(3)； (4)；
； (6)
近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（）
(1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______；
(2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米
(3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱
求出下列各组两个算式的值，你能发现什么规律？
(1) ＝______，＝______；
(2) ＝______，＝______；
(3)(－1)4×24＝______，(－1×2)4＝______；
(4)(－5)2×42＝______，(－5×4)2＝______．
试用你发现的规律计算×
类比裂项相消：
(1)猜想： ；
(2)计算：
①
②
我们定义一种新运算：．例如：．
(1)则______；
(2)求的值；
(3)若，求x的值．
仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程）
求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？
《辞海》注释：“幻方亦称魔方”即纵横图（注：南北曰纵，东西曰横），到现在仍是很流行的数学游戏．如图所示，将数字1，2，3，…，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方：一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数字的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的一条对角线上的数字之和为（如），则的值是（ ）
4 9 2
3 5 7
8 1 6
A．505 B．500 C．510 D．515
阅读材料：
我们常用的数是十进制数，如，要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数6，等于十进制的数53．（注意：对于任何非零数a都有，即）
解决问题：二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
【应用拓展：】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个？

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