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参考答案
题型1：一元二次方程定义
例1：
【答案】
变式1
【答案】
变式2
【答案】C
题型2：化一般式
例2：
【答案】
变式1：
【答案】A
变式2：
【答案】A
题型3：方程的解
例3：
【答案】C
变式1：
【答案】A
变式2：
【答案】C
题型4：方程的解求参数
例4：
【答案】D
变式1：
【答案】
变式2：
【答案】
题型5：方程的解的估算
例5：
【答案】B
变式1：
【答案】C
变式2：
【答案】D
题型6：解方程
例6：
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
变式1：
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
题型7：解方程——直接开方法
例7：
【答案】D
变式1：
【答案】D
题型8：解方程——配方法
例8：
【答案】证明：，
∵，
∴，即，
故无论x取任何实数，代数式的值总大于0．
变式1：
【答案】
变式2：
【答案】
变式3：
【答案】(1)2，小，3
(2)
的长为方程的一个根，理由如下：
∵矩形中，，，
∴，
∴，
由作图可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为方程的一个根．
题型9：解方程——因式分解法
例9：
【答案】
变式1：
【答案】A
变式2：
【答案】(1)；1
(2)，
题型10：解方程——换元法
例10：
【答案】A
变式1：
【答案】(1)，
(2)是直角三角形；理由如下：
是的三边，
，
，
设 ，
则原方程可化为，
解得：，（舍去），
得．
又，
．
．
是直角三角形．
变式2：
【答案】(1)原方程的解为，，
(2)这四个整数为2，3，4，5
题型11：根的判别式
例11：
【答案】(1)
证明：在方程中，
，
∵ 无论取何实数，，即，
∴ 方程总有两个实数根；
(2)
变式1：
【答案】A
变式2：
【答案】(1)证明：
．
方程总有两个实数根
(2)整数的值为．
变式3：
【答案】(1)
(2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有
，
∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根．
(3)或，或
变式4：
【答案】(1)
证明：∵，
，
该方程总有两个实数根；
(2)
的值为或
变式5：
【答案】(1)证明：∵，
∴一元二次方程有实数根．
(2)
题型12：根与系数的关系
例12：
【答案】或
变式1：
【答案】12
变式2：
【答案】(1)证明：∵，
无论当m取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)m的值为1或
变式3：
【答案】(1)
(2)
变式4：
【答案】(1)
即恒成立
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
(2)
变式5：
【答案】
变式6：
【答案】B
题型13：根与系数的关系——含整体思想
例13：
【答案】A
变式1：
【答案】D
变式2：
【答案】C
题型14：根与系数的关系——两根之差
例14：
【答案】C
变式1：
【答案】C
题型15：根与系数的关系——不等式
例15：
【答案】(1)，；
(2)证明：∵，
∴ ；
∵，
∴，
∴．
变式1：
【答案】证明：∵
整理得，，
由“韦达定理”可得：，，
∵，
∴．
题型16：同型（构）方程
例16：
【答案】A
变式1：
【答案】
题型17：根与系数的关系——三次方程
例17：
【答案】
变式1：
【答案】(1)，，
(2)A
(3)49
(4)3
题型18：一元二次方程的实际应用——传播问题
例18：
【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑
(2)三轮传播后，被感染的电脑共有3456台
变式1：
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
题型19：一元二次方程的实际应用——增长率&营销问题
例19：
【答案】(1)
(2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元
变式1：
【答案】(1)平均增长率为
(2)海水稻的定价为每千克10元或12元
题型20：一元二次方程的实际应用——几何图形问题
例20：
【答案】(1)
(2)该矩形停车区的占地面积不能达到
变式1：
【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为
(2)
题型21：一元二次方程的实际应用——动态问题
例21：
【答案】(1)；
(2)
(3)或
变式1：
【答案】(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于；
(2)当为秒或秒，的面积等于．
题型22：一元二次方程综合应用——新定义问题
例22：
【答案】(1)，
∵
∴
，
所以不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)
(3)或
变式1：
【答案】(1)①②③
(2)①
②
(3)
变式2：
【答案】(1)
(2)
(3)
变式3：
【答案】(1)③
(2)，，
(3)，3，1或3
变式4：
【答案】(1)；1
(2)
(3)3
变式5：
【答案】(1)倍根方程
(2)c的值是8
(3)方程的两个根是，或，
变式6：
【答案】(1)
(2)①0；1；②，一元二次方程单元重难点复习
题型1：一元二次方程定义
例1：若是关于x的一元二次方程，则m的值为______．
变式1：（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________；
关于x的方程是一元一次方程，则m_________．
变式2：若是关于x的一元二次方程，则（ ）
B．且 C． D．p为一切实数
题型2：化一般式
例2：把方程化为一般形式是__________．
变式1：一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2：用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
题型3：方程的解
例3：关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
变式1：若实数，满足，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式2：已知关于的一元二次方程满足，那么下列四个判断中正确的是（ ）
A．该方程一定有两个相等的实数根； B．该方程一定有两个不相等的实数根：
C．该方程一定有一个实数根为； D．该方程一定有一个实数根为．
题型4：方程的解求参数
例4：如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
变式1：若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______．
变式2：若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________．
题型5：方程的解的估算
例5：对一元二次方程的一个正数解的取值范围的探索如下表．
从表中可以看出方程的一个正数解的大致范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1：观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2：根据下表：
确定方程的解的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．或
题型6：解方程
例6：用适当的方法解方程．
(1)
(2)
(3)
变式1：解方程：
(1)（直接开平方法）
(2)（配方法）
(3)（公式法）
(4)（因式分解法）
题型7：解方程——直接开方法
例7：若方程的根是有理数，则的值可能是（ ）
B．3 C． D．4
变式1：如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型8：解方程——配方法
例8：【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数式的值总大于0．
变式1：若，当________时，的最大值是________．
变式2：把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________．
变式3：“配方法”在数学中非常有用，有时我们可以将代数式配成完全平方式，如：，∵，∴，∴；有时我们也可以用配方法解一元二次方程．请利用“配方法”解决下列问题：
(1)填空：当 时，代数式有最 （填“大”或“小”）值，这个最值为 ；
(2)如图，在矩形中，，．以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，交于点F．请指出下图中哪条线段的长度是方程的一个根，并说明理由
题型9：解方程——因式分解法
例9：若，则关于的方程必有一根是__________．
变式1：已知三角形两边长分别是和，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．或
变式2：转化思想，阅读材料：
各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似地，解三元一次方程组时，把它转化为二元一次方程组求解；解一元二次方程时，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程时，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单．运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解为，，．
(1)问题：方程的解是，______，______；
(2)拓展：解方程组．
题型10：解方程——换元法
例10：在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式1：解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．
(1)请你利用这种方法解方程：；
(2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由．
变式2：阅读材料：
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，①
解得，．
当时，，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
以上方法就叫换元法，体现了转化的思想．
请仿照材料解决问题：
(1)解方程：．
(2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数．
题型11：根的判别式
例11：已知关于x的方程
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围．
变式1：一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
变式2：已知关于的一元二次方程．
(1)求证：对于任意非零实数，该方程总有两个实数根；
(2)若此方程有两个不等实根，且均为整数，求整数的值．
变式3：定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中．
(1)写出方程①的“换位方程”；
(2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根；
(3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值．
变式4：已知关于的一元二次方程．
(1)求证该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的一个根是另一个根的2倍，求的值．
变式5：已知关于的一元二次方程，其中为实数．
(1)求证：一元二次方程有实数根；
(2)设一元二次方程的一个实数根为．若，求的取值范围．
题型12：根与系数的关系
例12：若、是方程的两个实数根，且，求m的值．
变式1：已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______．
变式2：已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
变式3：已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两个实数根为，，且满足，求的值．
变式4：已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求m的值．
变式5：已知方程的两根分别为，，则的值为___________．
变式6：已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（ ）
A． B．
C． D．
题型13：根与系数的关系——含整体思想
例13：已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（ ）
A． B． C． D．
变式1：已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2：如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
题型14：根与系数的关系——两根之差
例14：已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．10
变式1：在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（ ）
A． B． C．或 D．或或
题型15：根与系数的关系——不等式
例15：设，是关于的一元二次方程的两根．
(1)当时，求及的值；
(2)求证：．
变式1：“若一元二次方程的两个实数根分别为、，则，．”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”．若、是一元二次方程的两个实数根，求证：．
题型16：同型（构）方程
例16：若，且，，则=（ ）
A． B． C． D．
变式1：已知，且，，则__________．
题型17：根与系数的关系——三次方程
例17：阅读材料：
已知，，且，求的值．
解：由及，可知，．
又，
可变形为．
所以与是方程的两个不相等的实数根．
则，
根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答．
已知：，，且．求：的值．
变式1：在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系．
(1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________．
(2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
(3)若的三个根分别为，，，则的值是___________．
(4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值．
题型18：一元二次方程的实际应用——传播问题
例18：某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染．
(1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？
变式1：近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
题型19：一元二次方程的实际应用——增长率&营销问题
例19：年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套．
(1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率．
(2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？
变式1：某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到．
(1)求每期海水稻亩产量的平均增长率．
(2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？
题型20：一元二次方程的实际应用——几何图形问题
例20：某小区要围建一个矩形露天电动车停放区，停放区的一侧依靠一段长度为的小区外墙，其余三边使用金属护栏搭建．在平行于外墙的这一侧护栏上预留两扇出入口，每扇出入口宽度都是，已知金属护栏总长，设垂直于外墙的一边长度为．
(1)当时，若该电动车停放区的占地面积为，求；
(2)当外墙长度足够大时，该矩形停放区的占地面积能否达到？
变式1：丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题．
信息及素材
素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同．
素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖．
(1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率；
(2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________．
题型21：一元二次方程的实际应用——动态问题
例21：如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为．
(1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）．
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．
变式1：如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发．
(1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．
①经过几秒，的面积等于？
②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
(2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？
题型22：一元二次方程综合应用——新定义问题
例22：我们把一元二次方程的两根记为，，若方程的两根满足，则称这个方程为对称根方程，并定义它的对称中心值为；对于两个对称根方程，若它们的对称中心值之和等于它们两根之积的差的绝对值，则称这两个方程互为互补对．
已知关于的方程
(1)求证：不论取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)若该方程是对称根方程，且对称中心值为，求的值；
(3)若是它的互补对，求的值．
变式1：新定义：关于的一元二次方程与互为“长雅方程”．
(1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“长雅方程”（在题后相应的括号中，是打“”，不是打“”）；
①与（ ）
②与（ ）
③与（ ）
(2)若关于的一元二次方程：的两实数根为．
①求的值；
②记方程的“长雅方程”为方程是方程的一个实数根，求的值．
(3)若关于的一元二次方程与它的“长雅方程”有且只有一个公共实数根，求的值．
变式2：“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的倒方程是______；
(2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值；
(3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值．
变式3：阅读材料，并解决问题．
【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下：
首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为表示边长，所以，即．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
(1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择)
(2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为，即( )；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；
第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 ．
(3)【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数 ， ，求得方程的正根为 ．
变式4：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题：
(1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______；
(2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值；
(3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值．
变式5：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程的两个实数根分别为、，那么两个根的关系为
，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
小明在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”的根的特征的探究．
定义：
倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
(1)请你判断：方程是______（填“倍根方程”或“方根方程”）；
(2)若一元二次方程是“倍根方程”，求c的值；
(3)根据探究，小明想设计一个一元二次方程，使这个方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，请你先帮他算一算，这个方程的根是多少？
变式6：定义：如果关于的方程（，、、是常数）与（，、、是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是，请根据上述内容，解决以下问题：
(1)写出方程的“对称方程”：____________________．
(2)若关于的方程与互为“对称方程”，
①__________、__________．
②求方程的解．

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