资源简介

一元二次方程的根与系数的关系
课时作业设计
苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册　第1章　1.3
一、作品基础信息
作品名称 一元二次方程的根与系数的关系　课时作业
学段学科 初中数学 适用年级 九年级
教材版本 苏科版（江苏凤凰科学技术出版社） 册别章节 九年级上册　第1章　1.3
作业类型 课时作业（分层＋弹性选做＋实践探究） 作业总分 满分 100 分（必做70分＋选做30分）
完成时长 必做约20分钟，选做约10分钟 设计者 （张兴晨）
二、设计背景与意图
（一）课标与教材分析
课标要求。《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段"方程与不等式"主题中，与本节直接相关的要求有两条：会用配方法、公式法、因式分解法等解数字系数的一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等。根与系数的关系在课标中属于c
"了解"层次，部分版本教材目录将其标注为选学内容。本作业据此分两段处理难度：直接套用关系的内容面向全体，需要式子变形和判别式检验的内容只面向学有余力的学生。
教材地位。本节夹在"1.2 一元二次方程的解法"与"1.4 用一元二次方程解决问题"之间。前两节解决的是"方程怎么解"，本节第一次回答"不解方程能知道什么"。它是学生从"求根"走向"用根"的转折点，也是高中继续学习方程理论的伏笔。
教学重点。由求根公式归纳出 、，并能直接套用解决"已知一根求另一根"这类问题。
教学难点。一是二次项系数不为1时漏除 ，或把两根之和的符号记反；二是求出字母系数后不检验 ，把"方程无实根"的参数也当成答案；三是遇到 、 这类式子，不知道往"和、积"上去化。
（二）学情分析
维度 具体描述
已有基础 已掌握一元二次方程的概念与四种解法，会用判别式判断根的情况；具备整式乘法、乘法公式变形、勾股定理等基础；七八年级的代数式求值训练中接触过"整体代入"的思路。
现有困惑 ①习惯先解方程求出两根再算，想不到直接用和、积；② 时漏除 ；③求出参数后不检验 ，导致无实根的参数也被当作答案；④对两根的对称式不会变形，卡在第一步。
差异分析 约三成学生解法熟练、能接受字母运算与简单综合；约一半学生需要规范的书写步骤训练；另有约两成学生在字母运算上吃力，应在A层反复巩固后再往上走。
（三）设计意图
这套作业想解决的，是学生"学完关系却只在题目里认得出它、不会主动用它"的老毛病。所以A层全是套式子就能做的事，先把 与 练成条件反射；B层把教材的三类典型应用各放一道，并把判别式检验单独做成一问；C层放开放题、跨学科题和实践探究题，让学有余力的学生有机会讲出"为什么可以这样算"。必做部分压在20分钟以内——学生能做完，分层才谈得上。
三、作业目标
目标维度 编号 具体目标 核心素养 评价证据
知识理解 A 正确写出一元二次方程根与系数的关系，说清 时的形式差异，知道使用前必须先确认方程有实数根 抽象能力、运算能力 A层第1、3题正确率不低于90%
能力运用 B 会解决"已知一根求另一根与字母系数""求关于两根的对称式的值""根据两根关系确定参数并检验"三类问题，书写规范、步骤完整 运算能力、推理能力 B层演算过程完整、结果正确
思维发展 C 能把"两根之和、两根之积"当作整体使用，用于构造方程、判断存在性、解决简单最值问题；能对他人的结论举出反例 推理能力、模型观念 C层开放题有独立想法，能给出反例
情感态度 D 在实践探究与跨学科情境中体会"不求出根也能解决问题"的价值，愿意与同伴交流发现，养成做完检验的习惯 应用意识、学习习惯 实践记录表填写完整，错题订正落实
四、作业内容与目标对应表
题号 题型 题目概要 目标 设计意图 评价要点
A1 填空 直接写出四个方程的两根之和与两根之积 A 把关系式练熟，其中两个小题特意设置 与 每空0.75分；不漏除 ，符号正确
A2 选择 已知一根求另一根与字母系数 A 首道应用题，选项里放进"符号反了""只算了积"两类典型错解 选对即得分，要求口述依据
A3 说理（原创） 指出" 两根之和是6"的错误 A 原型来自学生错题本，专治漏除 ；最后一问逼学生说出适用条件 改对2分，说出"二次项系数为1时才成立"4分
A4 解答 已知一根为3，求另一根与 A、B 教材第一类基本应用，规范"先积后和"的书写顺序 结果各2分，过程2分
A5 解答（新情境） 菜园长宽为方程两根，求周长与面积 A 让学生第一次尝到"不求出长宽也能算出周长面积"的甜头 周长、面积各3分；不解方程也得分
B1 解答 求 、、 B 教材第二类应用，训练把对称式化成"和、积" 每小题3分，变形正确1分
B2 解答（原创） 两根互为倒数、互为相反数时求 B、C 第一问算出答案，第二问算出的 让方程无实根，让学生自己撞上矛盾 第（1）问4分；第（2）问6分，未检验 扣3分
B3 解答 直角三角形斜边5、面积6，两直角边为方程两根 B、C 与勾股定理结合，体现"和、积"与"平方和"的相互转化 求出 、 各3分，边长4分
B4 解答（新情境） 24米围栏围32平方米花坛，判断能否围成 B、C 把判别式当成"存在性开关"来用，是本节思路的一次升级 判断与理由5分，求边长5分
C1 开放（原创） 构造"两根之和等于两根之积"的方程并找规律 C 答案不唯一，逼学生回到系数上找规律，第三问需要举反例 方程正确4分，规律5分，反例6分
C2 探究（原创） 周长一定的矩形，面积何时最大 C 用 直接给出面积上界，是本节方法最漂亮的一次亮相 每问5分，说清依据再给分
C3 跨学科（原创） 两个并联电阻的总电阻 B、C、D 物理公式分母分子正好是"和、积"，题目自带公式说明，不依赖物理进度 直接求出8分，验证7分
C4 实践 自编五个方程，列表验证关系并说理 A、C、D 让学生自己造数据、自己发现规律，再用求根公式解释，走一遍知识发生的过程 表格6分，发现4分，说理5分
五、作业内容（共100分）
本作业满分 100 分：A层30分、B层40分为全体必做，C层30分为选做（每题15分，四题任选两题）。建议用时：A层8分钟，B层12分钟，C层10分钟。演算请写在题目下方的空白处，不必另附纸。
A层 基础巩固（共30分，全体必做，建议8分钟）
A1.（6分）不解方程，直接写出下列各方程两根之和 与两根之积 。
（1）：__________，__________
（2）：__________，__________
（3）：__________，__________
（4）：__________，__________
A2.（6分）已知方程 的一个根是1，则它的另一个根和 的值分别是（　　）
A. 3，3
B. 3，
C. ，3
D. ，
A3.（6分）（原创）小华在作业中写道："方程 的两根之和等于一次项系数 的相反数，所以 。"
（1）小华的做法对吗？若不对，请写出正确结果；
（2）想一想：在什么条件下，两根之和才等于一次项系数的相反数？
A4.（6分）已知关于 的方程 的一个根是3，求 的值和方程的另一个根。
A5.（6分）（新情境）学校劳动实践基地要划出一块长方形菜园，菜园的长与宽（单位：m）恰好是方程 的两个根。求这块菜园的周长和面积。
B层 能力提升（共40分，全体必做，建议12分钟）
B1.（10分）设 、 是方程 的两个实数根，求下列各式的值。
（1）　　（2）　　（3）
B2.（10分）（原创）已知关于 的方程 。
（1）若它的两根互为倒数，求 的值及方程的两根；
（2）若它的两根互为相反数，这样的 是否存在？请说明理由。
B3.（10分）已知一个直角三角形的斜边长为5，面积为6，且它的两条直角边长恰好是关于 的方程 的两个根。求 、 的值和两条直角边的长。
B4.（10分）（新情境）学校想在操场边用长为24 m的围栏围一块矩形花坛（四面都围），要求花坛面积为32 m 。设矩形相邻两边的长分别为 m、 m，且 。
（1）不解方程，判断能否围出满足要求的花坛，并说明理由；
（2）若能围出，求出 、 的值。
C层 探究拓展（共30分，每题15分，四题任选两题，建议10分钟）
C1.（15分）（原创）（开放题）
（1）写出一个一元二次方程，使它的两根之和等于两根之积，且方程有两个不相等的实数根；
（2）再写出两个符合上面要求的方程，观察这三个方程的系数，你发现了什么共同规律？
（3）小明说："只要一个一元二次方程满足两根之和等于两根之积，它就一定有两个实数根。"你同意吗？请举例说明。
C2.（15分）（原创）（新情境）用一根长为32 m的围栏围一块矩形菜地（四面都围），菜地的长、宽分别为 m、 m，面积为 m 。
（1）把 、 看成某个一元二次方程的两个根，写出这个方程（常数项用 表示）；
（2）利用"这个方程必须有实数根"的条件，求 的最大值，并说明此时菜地的形状；
（3）若希望菜地面积恰好为60 m ，长和宽各是多少？
C3.（15分）（原创）（跨学科）物理学中，两个电阻 、 并联后的总电阻 满足 ，由此可得 。现有一对电阻，它们的阻值（单位：）恰好是关于 的方程 的两个根。
（1）不求出这两个电阻的具体阻值，直接求它们并联后的总电阻 ；
（2）解这个方程，验证你在（1）中得到的结果。
C4.（15分）（实践）自己写出5个有实数根的一元二次方程（要求：其中至少有一个二次项系数不为1，至少有一个两根相等），先解出两根，再算出两根之和与两根之积，填入下表，并与 、 对照。
序号 一元二次方程 两根 、
1
2
3
4
5
（1）观察上表，写出你的发现；
（2）借助求根公式 ，试着说明为什么两根之和一定是 。（可另附纸）
六、作业实施建议
1. 时间与顺序。A、B层当天完成，建议先A后B，做完自查一遍符号；C层在本周内完成，学生在四题中任选两题，鼓励先做感兴趣的那一题，不必按顺序。
2. 分层与弹性。A、B层全体必做；B层第3、4题允许学生任选其一完成，另一题留作周末补练；C层提倡两人一组合作，合作提交时须在作业上注明分工。书写确有困难的学生，A3可以改为口头说理，由同伴或家长代记。
3. 完成方式。A层要求独立完成、不翻书；B层允许翻看课本例题；C层允许使用计算器验算、与同学讨论、查阅资料。
4. 批改与订正。次日课前5分钟同桌互批A层，教师全批B层、抽批C层。错题订正要求用红笔在原题旁写一句话错因（如"这里忘了除以 "），不整题重抄。
5. 结果怎么用。A层第3题正确率低于80%的班级，下节课前用5分钟重讲 的情形；C层的优秀作品张贴在教室后墙的"数学发现"栏，并在单元复习课上请学生讲3分钟。
6. 负担控制。本作业与当天其他学科作业的总时长由班主任统筹；若当天另有测试，C层自动顺延至周末，不算未完成。
七、作业评价标准
维度 权重 A（优秀） B（良好） C（待改进）
知识理解 20% 关系式书写准确， 不漏除，能说清何时需要检验 关系式基本正确，个别小题符号出错 关系式记错，或分不清 是否为1
运算与技能 30% 三类基本应用步骤完整、结果无误，书写规范 方法正确，计算或书写有小错 思路不清，或只写出结果没有过程
思维与方法 30% 能把和、积当整体使用，会判断存在性，能举出反例 能做简单变形，综合题需要提示 只会求出两根后再硬算，不会用关系
态度与习惯 20% 按时完成，主动检验，实践记录完整，订正到位 基本按时完成，订正需要督促 缺做或抄袭，订正未落实
八、设计反思
这份作业改了两稿。第一稿把"已知两根关系求参数"整块放在B层，试做时班里一大半学生算出参数就收笔，没有一个人回头检查 ；第二稿把它拆成"互为倒数"和"互为相反数"两问——第一问能算出答案，第二问算出来的 偏偏让方程没有实根，学生自己撞上矛盾，印象比教师强调三遍都深。
C层的并联电阻题，灵感来自和物理老师的一次闲聊。它好在不用求根就能得出结果，正好说明这一节"学来有什么用"。 A层第（3）小题故意放了一个二次项系数为2的方程、第（4）小题放了一个常数项为0的方程，都是往年作业里错得最多的位置——看似简单，每年都有人在这里栽跟头。
需要提醒的是：C层第2题涉及"和定积最大"，要用到 给出上界，课堂上若没有铺垫，建议把它放到单元复习时再做。
参考答案
A层 基础巩固（共30分）
A1.（6分）（1）7，12　（2），　（3），　（4）6，0
A2.（6分）A。由 、 得另一根为3；再由 得 。
A3.（6分）（1）不对。这里的 ，两根之和应为 ，不是6。（2）只有当一元二次方程的二次项系数为1，即方程形如 时，两根之和才等于一次项系数 的相反数。
A4.（6分），另一个根是 。由 且 ，得 ；再由 ，得 ，即 。
A5.（6分）周长22 m，面积28 m 。两根之和为11、两根之积为28，所以周长为 （m），面积为28（m ）。若解出两根为4和7，结果一致。
B层 能力提升（共40分）
B1.（10分），。
（1）；
（2）；
（3）。
B2.（10分）（1），两根都是1；（2）不存在这样的 。
B3.（10分），，两条直角边长分别为3和4。
B4.（10分）（1）能围出；（2），。
C层 探究拓展（共30分）
C1.（15分）（1）示例：，它的两根之和为5、两根之积为5，，有两个不相等的实数根。（答案不唯一）
（2）规律：这三个方程的一次项系数与常数项互为相反数，即 。因为两根之和为 、两根之积为 ，两者相等即 ，也就是 。
（3）不同意。例如 ，它的 、，满足 ，两根之和与两根之积都是1，但 ，方程没有实数根。所以说"两根之和等于两根之积"并不能保证方程有实数根。
C2.（15分）（1）；（2） 的最大值是64，此时菜地为边长8 m的正方形；（3）长10 m、宽6 m。
C3.（15分）（1）；（2）两个电阻分别为12 和8 。
（），与（1）一致。
C4.（15分）开放题，按三项评分：表格填写完整、数据无误，6分；能写出"两根之和等于 、两根之积等于 "这一发现，4分；能借助求根公式说明 ，5分。

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