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观察抽象 · 讲学案
一　学习目标 · 重难点 · 知识框架
知识与技能 1. 能说出长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥这些几何体的名称，并指出它们各由几个面围成。 2. 会判断一个图形是立体图形还是平面图形，能把柱体、锥体、球三类分清楚。 3. 能数出棱柱的顶点数、面数与棱数，并说出棱柱的规律：面个，顶点个，棱条。
过程与方法（能力） 1. 经历「看实物 → 丢掉颜色材质用途 → 留下形状大小位置 → 说出几何体名称」的整个过程，知道抽象是怎么做出来的。 2. 形成分类之前先定标准的习惯：按底面形状分、按底面个数分、按侧面是平还是曲分。 3. 会列表记录三棱柱、四棱柱、五棱柱的数据，从这几组数里找出规律，再拿规律去算六棱柱、七棱柱。
情感态度与核心素养 1. 体会几何学研究的是物体的形状、大小与位置关系，别的属性在数学课上都要丢掉（空间观念）。 2. 在分类活动中养成先定标准再动手的习惯，你能自己发现标准不同，分出来的结果就不同（抽象能力）。 3. 知道金字塔、蜂巢、帐篷这些实物里就藏着棱锥与棱柱，体会到数学就在手边（应用意识）。
知识模块 核心内容 对应题型
观察与抽象 只留下形状、大小、位置关系，丢掉颜色、材料、用途 从实物认出几何体
立体与平面 各组成部分是否在同一平面内 立体图形与平面图形的辨别
柱、锥、球 看底面形状、底面个数、侧面是平还是曲 几何体归类
点线面体 面与面相交得线，线与线相交得点 数棱柱的顶点数与棱数
二　情境导入 · 问题驱动
教室后排的柜子上摆着一堆东西：一个篮球、一只易拉罐、一个魔方、一顶帐篷模型、一块蜂巢状的收纳盒、一只圆锥形路障。 它们材料不同、颜色不同、用处更是八竿子打不着。可数学课把它们摆在一起，只看一样东西：形状。 篮球和乒乓球大小差着一大截，数学课上却常常把它们看成同一个图形。这是为什么？ 这节课就一个问题：一件东西身上有一大堆属性，数学课只留下哪几样？
探究活动　先看丢掉什么，再数一数
看篮球和乒乓球：一个能抱住，一个能攥住，数学课上却都说它是球。说说你在这里丢掉了什么，又留下了什么。
拿你手边的三样东西（文具盒、水杯、粉笔盒都行），各说出一个几何体的名字，并说清你丢掉了它的哪些属性。
观察三棱柱、四棱柱（就是长方体）、五棱柱，把它们的面数、顶点数、棱数填进表格，看看这三个数跟「几棱柱」有什么关系。
　
　
猜想：棱柱的面数、顶点数、棱数，跟它是几棱柱之间满足 __________________________。
三　核心概念 · 规律探究
1　概念辨析：抽象留下什么
边读边在右边「我的批注」处做记号，不确定的打问号。
辨析点 正确表述 常见误解 / 反例
抽象留下什么 只留形状、大小、各部分之间的位置关系 说「它是铁皮做的」「它是红色的」（×）
立体还是平面 看各组成部分能不能摊在同一张纸（同一个平面）上 把纸上画的圆当成了球（×）
柱体与锥体 柱体有两个形状大小都相同的底面；锥体只有一个底面和一个尖顶 圆锥也归进柱体，理由是「都是立得住的」（×）
圆柱与棱柱 底面是圆的叫圆柱，底面是多边形的叫棱柱 只看上下一样粗，把圆柱叫成棱柱（×）
面、线、点 面与面相交得线，线与线相交得点 数棱只数侧棱，忘了上下底面上的边（×）
2　抽象的三步与棱柱的规律
抽象三步
看：看这个物体的形状，先不看它是用什么做的、什么颜色、用来干什么。 留：留下形状、大小、各部分之间的位置关系，其余全部丢掉。 说：用一个学过的几何体名字说出来。说不出名字，就描述它由几个什么样的面围成。
对着第三步数一数：三棱柱的9条棱，分别是哪三组？每组各几条？
（1） 以三棱柱为例。上下两个底面是三角形，侧面有3个，面数是。
（2） 上下两个底面各有3个顶点，顶点数是。
（3） 棱分三组数：上底面3条，下底面3条，侧棱3条，一共条。
（4） 四棱柱（就是长方体）：面，顶点，棱。
（5） 五棱柱：面，顶点，棱。
（6） 推广到棱柱：面个，顶点个，棱条。
（7） 棱锥也顺手记一下：棱锥有个面、个顶点、条棱。
四　例题精讲 · 变式训练 · 一题多解
题型一　从实物抽象出几何体
【例1】　★　
考查：从实物抽象出几何体并归类；方法：丢属性—留形状—看底面定类
下面这些物体，数学课上只看形状。写出它们分别抽象成什么几何体，并归入柱体、锥体、球三类：篮球、易拉罐、粉笔盒、金字塔形积木、三棱柱形帐篷、圆锥形路障。
思路分析
拿到一件东西，先问自己：我丢掉了什么？颜色、材料、用途，全丢掉，只留下形状和大小。
再看它身上的面，问三句：有没有两个一样的底面？上下是不是一样粗？侧面是平的还是弯的？
三句问完，柱、锥、球就能定下来。
规范解答
1. 篮球 → 球。它只有一个弯的面，围不出底面，归入球类。
2. 易拉罐 → 圆柱。上下两个底面是同样大的圆，侧面是弯的，归入柱体。
3. 粉笔盒 → 长方体（也叫四棱柱）。6个面都是平的，上下两个底面是长方形，归入柱体。
4. 金字塔形积木 → 四棱锥。底面是四边形，侧面是4个三角形，只有一个底面，归入锥体。
5. 三棱柱形帐篷 → 三棱柱。前后两个底面是三角形，3个侧面是长方形，归入柱体。
6. 圆锥形路障 → 圆锥。底面是圆，侧面是弯的，只有一个底面，归入锥体。
7. 检验：柱体都有两个形状大小一样的底面，锥体都只有一个底面加一个尖顶，球一个底面也没有。分完回头各看一眼，都对得上。
反思：分不清柱和锥，就数底面：两个底面是柱，一个底面是锥，一个也没有是球。
【变式1】　★　
考查：抽象与归类的迁移
说出下面这些物体可以看成什么几何体，并归入柱体、锥体、球：西瓜、生日帽、一卷胶带、冰箱、六棱柱的铅笔、骰子。
提示：先看它有几个底面，再看底面是圆还是多边形，最后看侧面是弯的还是平的。
题型二　几何体由什么围成
【例2】　★★　
考查：面、顶点、棱的个数与点线面体的关系；方法：分组数—记总数—说清线与点从哪来
一个长方体（四棱柱）有几个面、几个顶点、几条棱？把棱分三组数一遍，再说一说面与面相交得到什么。
思路分析
数之前先定顺序，不然一定漏。棱分成三组：上面一圈、下面一圈、竖着一圈。
面与面相交的地方是一条线，这些线就是棱；线与线相交的地方是一个点，那些点就是顶点。
规范解答
1. 面：上下2个加侧面4个，一共个面。
2. 顶点：上面4个加下面4个，一共个顶点。
3. 棱：上面一圈4条，下面一圈4条，竖着的4条，一共条。
4. 面与面相交，得到一条线（就是棱）；线与线相交，得到一个点（就是顶点）。
5. 检验：8个顶点，每个顶点上连着3条棱，一共连出个端点；每条棱有两个端点，条，跟分组数的结果一致。
6. 答：长方体有6个面、8个顶点、12条棱。
反思：数棱先分组，一组一组数，比绕着走一圈数靠谱得多。
【变式2】　★★　
考查：数六棱柱的构成元素
一个六棱柱有几个面、几个顶点、几条棱？它的侧面是什么形状？
提示：棱还是分三组数：上底面一圈、下底面一圈、侧棱。有几个侧面，就有几条侧棱。
题型三　点线面体：面面相交得线
【例3】　★★　
考查：面与面相交得线、线与线相交得点；方法：先数元素—再说清线与点是怎么来的
一个五棱柱有多少个面？这些面两两相交，一共得到多少条线？这些线相交又得到多少个点？
思路分析
这题问的还是面、棱、顶点，换了个说法而已。面面相交得到的线就是棱，线线相交得到的点就是顶点。
先把五棱柱的面数、棱数、顶点数算出来，再把它们翻译成题目问的那三句话。
规范解答
1. 五棱柱：面个，顶点个，棱条。
2. 每两个相邻的面相交得一条线，这些线一共条，就是它的棱。
3. 每两条棱相交得一个点，这些点一共个，就是它的顶点。
4. 检验：个面里有2个底面、5个侧面，跟对得上；15条棱分三组，每组5条，也对得上。
5. 答：五棱柱有7个面，面面相交得15条线，线线相交得10个点。
反思：换个问法还是同一件事。面、线、点三个词背后就是面数、棱数、顶点数，先认出来再作答。
【变式3】　★★　
考查：已知棱数反推是几棱柱
一个棱柱有24条棱，它是几棱柱？有多少个顶点、多少个面？
提示：棱数正好分成相等的三份（上底面、下底面、侧棱各一份）。先用24算出每份是几，就知道是几棱柱了。
题型四　一题多解：七棱柱有多少条棱
【例4】　★★★　
考查：分组点数与套用规律两条路；方法：分类清点 / 用n棱柱的规律
一个七棱柱有多少个面、多少个顶点、多少条棱？
思路分析
拿到一个没见过的棱柱，两条路都能走通。
一条是老老实实分组数，一条是套第3节找出来的规律。两条路得出的数应该一模一样，可以互相当验算。
方法一 · 分组清点（数出来）
(1) 面：2个底面加7个侧面，一共个。
(2) 顶点：上下底面各7个，一共个。
(3) 棱：上底面一圈7条，下底面一圈7条，侧棱7条，一共条。
(4) 答：七棱柱有9个面、14个顶点、21条棱。
方法二 · 套用规律（算出来）
(1) 这是七棱柱，取。
(2) 面数：（个）
(3) 顶点数：（个）
(4) 棱数：（条）
(5) 答：七棱柱有9个面、14个顶点、21条棱。
方法对比：方法一每一步都能在模型上指出来，数是真实的，不容易错；方法二一步出结果，快，但前提是你已经在前几题里把规律找对了。两个数对不上，说明分组数的时候漏了某一组。
反思：规律是从具体例子里找出来的，不是背下来的。忘了就退回方法一，分组数一遍，规律自己就回来了。
五　易错点 · 误区辨析
常见错解 错因剖析 正确做法 / 避坑要点
把圆柱写成「棱柱」，理由是上下一样粗 只看形状轮廓，没看底面的形状 先摸一摸（想一想）底面：底面是圆的是圆柱，底面是多边形的是棱柱
把圆锥归进柱体，理由是它也能立在桌上 凭生活感觉分类，没有数底面 数底面：两个是柱，一个是锥，没有是球
六棱柱的棱答条 只数了侧棱，把上下底面上的边全漏了 分三组数：上底面、下底面、侧棱，各n条
把画在纸上的圆说成立体图形 把图形本身和它代表的实际物体混在一起了 问一句：各部分能不能摊在同一张纸上？能就是平面图形
长方体有6个面、8个顶点、条棱 棱数记错了，把体对角线的条数也算进了棱里 棱只在表面上，长方体就是12条，可以分组数一遍确认
避坑提醒
判断立体还是平面，就问一句：各部分能不能摊在同一张纸上。能，就是平面图形。 数棱柱先定它是几棱柱，再套：面数加2、顶点数翻一倍、棱数是3倍。忘了就分组数一遍。 分类只看三件事：底面形状（圆还是多边形）、底面个数（两个还是一个）、侧面是平是曲。
六　分层练习
基础巩固　面向全体：认几何体、分三类、数一数
1. ★ 判断下面哪些是立体图形、哪些是平面图形：正方体、圆、三角形、圆柱、线段、球。
　
　
2. ★ 说出下面这些物体可以看成什么几何体：足球、牛奶盒、漏斗、数学课本。
　
　
3. ★ 一个五棱柱有 ______ 个面、______ 个顶点、______ 条棱。
　
　
4. ★★ 把下面的几何体分成柱体、锥体、球三类：圆柱、圆锥、正方体、球、五棱柱、四棱锥。
　
　
能力提升　面向中等：需要先说清侧面形状，或者反过来求
1. ★★ 一个六棱柱有几个面？它的侧面是什么形状？面与面相交一共得到多少条线？
提示：先算出面数，再想侧面是几个、各是什么形状，最后把面面相交得到的线数出来。
　
　
2. ★★ 一个棱柱有16个顶点，它是几棱柱？有多少条棱、多少个面？
提示：顶点数就是上下两个底面的顶点合起来的个数。先由16算出每个底面有几个顶点，就知道是几棱柱了。
　
　
3. ★★★ 一个棱锥有7个面，它是几棱锥？有多少个顶点、多少条棱？
提示：棱锥的面数比它的底面边数多1（一个底面加若干个侧面）。先由7个面算出底面是几边形。
　
　
拓展挑战　面向较好：先填表，再从数据里找规律
1. ★★★ 把三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱的顶点数、面数、棱数填进一张表，算一算「顶点数 + 面数 棱数」各是多少，你发现了什么？再用这个发现检验七棱柱。
提示：先把四组数逐个算出来填进表，再比一比这三列之间的关系，你会看到一个始终不变的数。
　
　
　
七　课堂小结 · 知识网络
· 抽象只留三样：形状、大小、位置关系。颜色、材料、用途在数学课上全部丢掉。
· 立体图形与平面图形的分界：各部分能不能摊在同一个平面内。能摊开的是平面图形。
· 棱柱的规律：棱柱有个面、个顶点、条棱；棱锥有个面、个顶点、条棱。
· 面与面相交得线，线与线相交得点。数棱先分组：上底面一组、下底面一组、侧棱一组。
· 分类三问：底面形状是圆还是多边形？底面有几个？侧面是平是曲？三问答完就能归类。

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