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参考答案
一阶学习（基础训练）
1.
【答案】A
2.
【答案】A
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
选：B．
二阶学习（提升训练）
1.
【答案】
2.
【答案】
3.
【答案】5
4.
【答案】
5
【答案】
6.
【答案】或
7.
【答案】
8.
【答案】1.3
三阶学习（培优训练）
1.
过O作OE⊥AB于点E，
则CE=DE，AE=BE，
∴BE-DE=AE-CE.
即AC=BD.
2.
（1）
（2）6.4
3.
【答案】
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接，
∵直径，
∴，
∵，
∴，
设圆的半径是，
∴，，
∵，
∴，
∴．
∴的半径长是．
4.
【答案】
【小问1详解】
如图所示，点即为所求．
正确，
理由：由作图知，平分，
，
；
【小问2详解】
如图，连接，作线段的垂直平分线，交弧于点，
则点即为所求．
5.
【小问1详解】
证明：如图，延长交于E，
，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，
设的半径为r，
，，
，
在中，，
解得：
．
6.
【小问1详解】
解：如图，点为所作；
【小问2详解】
解：连接、，交于点，如图，
，
，
垂直平分，
，，
在中，，，
，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
即该圆板的半径为．
7.
【答案】.(1)
(2)
8.
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE∥AC，
∴∠OEB＝∠C＝90°，
∴OD⊥CB，
∴＝；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴CE＝EB＝BC＝2，
∵OB＝OD＝3，
∴OE＝＝＝，
∴ED＝OD﹣OE＝3﹣．
9.
【答案】（1）
（2）2026-2027年浙教版九年级上册第三单元：3.3垂径定理
一阶学习（基础训练）
1.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径，水面宽，则截面圆心O到水面的距离是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
2.如图，是某圆形扫地机器人的平面示意图，点是其圆心，毛刷绕点转动，面积比面积大平方厘米，若点在外经过的路径为半圆，则为（ ）厘米
A. B. C. D.
3.绍兴是著名的“桥乡”，其中有一座美丽的圆弧形石拱桥——古纤道太平桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离为，桥弧所在的圆的半径为，则水面的宽度是（）
A. B. C. D.
4.下列命题正确的是（ ）
A. 平分弦的直径平分弦所对的弧 B. 垂直平分弦的直线必定经过圆心
C. 相等的圆心角所对的弧一定相等 D. 相等的弦所对的圆周角一定相等
5.如图某仿古墙上原有一个矩形门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（ ）
A. B. C. D.
6.下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （ ）个
A. B. C. D.
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米．半径长为米，若点为运行轨道的最低点．则点到弦所在直线的距离是（ ）
A. 1米 B. 2米 C. 米 D. 米
8.AB是⊙O的一条弦，OP⊥AB于点P．若OP＝3，AB＝8，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．5 C． D．
二阶学习（提升训练）
1.已知：如图，圆的半径为，点是圆内的一点，且，以弦为斜边作，使，则弦的长为______．
2.下列说法中正确的是______．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，且一定过圆心；平分弦所对的两条弧的直径平分弦．
3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是____．
4.如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名．某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为______m．
5如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为，的半径长为，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是________．
6.已知的半径为，弦，弦，则的度数为______．
7.如图，AB是的直径，弦于点E，若，，则的半径为 .
8.圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径__________
三阶学习（培优训练）
1.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
求证：AC=BD.
2.已知是的直径，，点是上一点，且，弦过点．
（1）如图1，当时，求的长；
（2）如图2，当点是半圆中点时，求的长．
3.如图，点，，在上，于点，交于点，连接．于点，与相交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
4.如图，，，在上，连结，，求作的中点．
下面是甲同学的作法：
以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧交于点，射线交于点，即为所求．
（1）请根据甲同学的作法，在图中画出点，并判断该作法是否正确，说明理由．
（2）请尝试用其他方法，在图中画出点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
5.如图，A，B，C是上三点，且，过点B作于点D．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
6.已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点A，B，C．
（1）用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点；
（2）若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径．
7.如图，AC.是◎O的直径，弦BD垂直平分AO,E 为垂足.
(1)求∠BCD 的度数；
(2)若BD=2cm, 求弓形BAD的高AE.
8.如图，AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行，连结BC交OD于点E．
（1）求证：；
（2）若BC＝4，OD＝3，求ED的长．
9.图1是公路隧道，其轮廓是圆形的一部分，图2的是其示意图．某学习小组用一根长为的笔直竹竿去辅助测量，点在圆弧上，点在地面上，且，测得，．
（1）若于点，求的长．
（2）求公路隧道轮廓的最大高度．

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