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物理　必修 第二册 RJ
专题提升二　平抛运动的推论　受约束的平抛运动
提升1　平抛运动的两个重要推论
1．推论一：做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如图所示，从速度的分解来看，速度偏向角的正切值
tanθ＝＝①
将代表速度矢量v的箭头反向延长，速度偏向角的正切值还可以用长度之比来表示，即
tanθ＝＝②
联合①②解得＝v0t＝xA，
即速度的反向延长线过水平位移的中点。
2．推论二：做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度、位移与水平方向的夹角分别为θ、α，则tanθ＝2tanα。
证明：速度偏向角的正切值
tanθ＝＝③
由图知位移偏向角的正切值
tanα＝＝＝④
比较③④可得tanθ＝2tanα。
如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线(　　)
A．交于OA上的同一点
B．交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点
C．交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点
D．因为小球的初速度和OA距离未知，所以与OA的交点无法确定
[解析]　所有抛出的小球在碰到墙壁时，水平方向的位移均是OA，由平抛运动的推论可知，所有小球在碰到墙壁前瞬间速度的反向延长线交于OA上的同一点(OA中点)，A正确。
[答案]　A
如图所示，从倾角为θ的斜坡上某点先后将同一石子以不同的初速度水平抛出，石子均落在斜坡上，当抛出的速度为v1时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α1；当抛出的速度为v2时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α2，则(不计空气阻力)(　　)
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜坡倾角θ有关
(1)石子位移是什么方向？初速度是什么方向？位移与水平方向的夹角有什么特点？
提示：石子的起点和终点都在斜坡上，位移沿斜坡向下，石子初速度是水平方向，不管速度多大，位移与水平方向的夹角都等于斜坡的倾角。
(2)平抛运动中速度的偏向角和位移的偏向角有什么关系，会因为初速度不同发生变化吗？
提示：只要是平抛运动，运动中速度的偏向角与位移的偏向角一定满足tanθ＝2tanα(θ、α分别为速度、位移的偏向角)，与初速度无关。
[解析]　石子从斜坡某点水平抛出后落到斜坡上，石子的位移与水平方向的夹角等于斜坡倾角θ，即tanθ＝＝＝，石子落到斜坡上时速度方向与水平方向的夹角为θ＋α，则tan(θ＋α)＝＝，故可得tan(θ＋α)＝2tanθ，只要石子落到斜坡上，位移方向与水平方向夹角就总是θ，则石子的速度方向与水平方向的夹角也总是θ＋α，故速度方向与斜坡的夹角就总是相等，与v0的大小无关，C正确。
[答案]　C
提升2　受斜面、曲面约束的平抛运动
1．斜面、曲面对平抛运动约束的常见情境
(1)给出末速度方向
(2)给出位移方向
2．基本求解思路
(1)给出末速度方向
①画速度分解图，确定速度与水平方向的夹角θ；
②根据水平方向和竖直方向的运动规律分析vx、vy；
③根据tanθ＝列方程求解。
(2)给出位移方向
①画位移分解图，确定位移与水平方向的夹角α；
②根据水平方向和竖直方向的运动规律分析x、y；
③根据tanα＝列方程求解。
如图所示，某同学对着墙壁练习打乒乓球，某次球与墙壁上A点碰撞后水平弹离，恰好垂直落在球拍上的B点。已知球拍与水平方向的夹角θ＝60°，A、B两点间的高度差h＝0.5 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则球刚要落到球拍上时速度的大小为(　　)
A. m/s B．2 m/s
C. m/s D. m/s
[解析]　由题意知球在空中做平抛运动，根据h＝gt2，得时间t＝＝ s＝ s，球刚要落到球拍上时竖直分速度vy＝gt＝10× m/s＝ m/s，根据平行四边形定则知，速度的大小v＝＝2 m/s，故B正确，A、C、D错误。
[答案]　B
如图所示，从倾角为θ的斜面上的A点以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，重力加速度大小为g，它落到斜面上B点所用的时间为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　设小球从抛出至落到斜面上所用的时间为t，在这段时间内，水平位移和竖直位移分别为x＝v0t，y＝gt2，由几何关系知tanθ＝，联立解得小球落到斜面上B点所用的时间t＝，故选B。
[答案]　B
如图所示，斜面ABC与圆弧轨道相接于C点，从A点水平向右飞出的小球恰能从C点沿圆弧切线方向进入轨道。OC与竖直方向的夹角为θ＝60°，若AB的高度为h，忽略空气阻力，则BC的长度为(　　)
A.h B.h
C.h D．2h
[解析]　小球飞出后做平抛运动，到C点时的速度方向与初速度方向夹角为θ，设此时位移方向与初速度方向夹角为α，根据平抛运动规律得tanθ＝2tanα＝，解得x＝h，所以A、C、D错误，B正确。
[答案]　B
给出末速度方向或位移方向时，会联想到本专题提升1中学到的平抛运动的两个推论，有时用推论解题会事半功倍。
课后课时作业
题型一　平抛运动的两个重要推论
1.如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为(　　)
A．1 s B．2 s
C．3 s D．4 s
答案：C
解析：由平抛运动的推论可知，Q为OM的中点，则从O点运动到P点的过程中，小球的水平位移x水平＝OM＝2QM＝6 m，则小球运动的时间t＝＝3 s，故选C。
2.如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttanθ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
答案：D
解析：将小球的末速度、位移分解，如图所示，其中vy＝gt，则初速度v0＝＝，故A错误；设位移方向与水平方向的夹角为α，由平抛运动的推论知tanθ＝2tanα，α≠，故B错误；平抛运动的落地时间由下落高度决定，与初速度无关，故C错误；由tanθ＝＝知，下落高度不变，t不变，v0增大，则θ减小，故D正确。
3.如图所示，美洲狮“厉害地一跃”水平距离可达13.2 m，高达3.3 m。设美洲狮“厉害地一跃”离开地面时的速度方向与水平面的夹角为α，若不计空气阻力，美洲狮可看作质点，则tanα等于(　　)
A. B.
C. D．1
答案：D
解析：美洲狮在空中做斜抛运动，其在水平方向做匀速运动，竖直方向做竖直上抛运动，其运动轨迹示意图如图所示。
方法一：根据斜抛运动的规律，有v0cosα·t＝x，v0sinα·t＝h，联立解得tanα＝1，故D正确。
方法二：该斜抛运动可视为两个对称的平抛运动，根据平抛运动的推论，可得tanα＝＝＝1，故D正确。
4.如图所示，墙壁上落着两支飞镖，它们是从同一位置水平射出的，A处飞镖与竖直墙壁成53°，B处飞镖与竖直墙壁成37°，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，则射出点离墙壁的水平距离为________。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
答案：d
解析：飞镖与墙壁的夹角为平抛运动物体速度与墙壁所成的角，由于两支飞镖的水平位移相同，故它们的速度反向延长线必交于水平位移上的同一点。将两支飞镖的速度反向延长与初速度的延长线交于一点C，作出如图所示情景图。设两支飞镖均从O点水平射出，且OD＝x，则CD＝，由几何关系可知BD＝，AD＝，且BD－AD＝d，联立解得x＝d。
题型二　受斜面、曲面约束的平抛运动
5.(多选)如图所示，某物体以水平初速度抛出，飞行一段时间 s后，垂直地撞在倾角θ为30°的斜面上(g取10 m/s2)，由此计算出物体的水平位移x和水平初速度v0分别是(　　)
A．x＝10 m B．x＝5 m
C．v0＝10 m/s D．v0＝20 m/s
答案：AC
解析：物体撞在斜面上时竖直分速度vy＝gt＝10 m/s，根据几何关系知tan30°＝，解得v0＝10× m/s＝10 m/s，则水平位移x＝v0t＝10× m＝10 m，故A、C正确，B、D错误。
6.(多选)如图所示，水平固定半球形碗的球心为O点，最低点为P点。在碗边缘处的A点向球心O以速度v1、v2水平抛出两个小球，在空中的飞行时间分别为t1、t2，小球分别落在碗内的M、P两点。已知∠MOP＝37°，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，以下判断正确的是(　　)
A．t1∶t2＝∶ B．t1∶t2＝2∶
C．v1∶v2＝∶10 D．v1∶v2＝∶5
答案：BD
解析：小球落在M、P两点下落的高度分别为h1＝Rcos37°＝0.8R，h2＝R，根据平抛运动规律，竖直方向上由h＝gt2，可知t1＝＝，t2＝＝，解得t1∶t2＝2∶，A错误，B正确；小球落在M、P两点水平位移分别为x1＝R－Rsin37°＝0.4R，x2＝R，根据平抛运动规律，水平方向上由x＝vt，可知v1＝＝，v2＝＝，解得v1∶v2＝∶5，C错误，D正确。
7.甲、乙两个小球分别以v、2v的速度从斜面顶部端点O沿同一方向水平抛出，两球分别落在该斜面上P、Q两点，忽略空气阻力，甲、乙两球落点P、Q到端点O的距离之比为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设斜面倾角为α，小球落在斜面上的速度与水平方向的夹角为θ，如图所示，根据平抛运动的推论tanθ＝2tanα，可知甲、乙两个小球落在斜面上时速度偏向角相等，对甲有vy甲＝vtanθ，对乙有vy乙＝2vtanθ，又因为下落高度y＝，可得甲、乙两个小球下落高度之比为＝，甲、乙两球落点P、Q到端点O的距离之比＝＝，故选C。
8.(多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体圆心，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度取g＝10 m/s2，则(　　)
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
答案：AC
解析：小球做平抛运动，飞行轨迹恰好与半圆柱体相切于C点，根据几何关系可知，小球在C点时的速度方向与水平方向的夹角为37°，设位移方向与水平方向的夹角为θ，则根据平抛运动推论有tanθ＝＝，又水平位移x＝R＋Rcos53°＝1.6R，tanθ＝＝，R＝0.75 m，解得竖直位移y＝ m，根据y＝gt2得t＝0.3 s，根据水平位移x＝1.6R＝v0t，得v0＝4 m/s，故A、C正确，B、D错误。
9.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s，则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　)
A．(3 m，3 m) B．(2 m，4 m)
C．(1 m，1 m) D．(1 m，2 m)
答案：C
解析：设小球经过时间t打在曲面上的点M(x，y)处，由平抛运动规律得x＝v0t，6 m－y＝gt2，又因为y＝x2，联立解得x＝1 m，y＝1 m，C正确。
10.如图是一个竖直放置的半圆环，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，一个小球从A点以速度v0水平抛出，经一段时间t与半圆环相撞，不计空气阻力。则下列判断正确的是(　　)
A．v0越大，运动时间越长
B．发现小球有两次运动时间相同，则这两次抛出的初速度一定相同
C．要使小球掉到环上时的竖直分速度最大，小球应该落在C点
D．只需v0取值合适，可能使小球垂直撞击半圆环
答案：C
解析：小球做平抛运动，在竖直方向上根据h＝gt2，得运动时间t＝，v0越大，小球掉到环上的位置越靠右，h先变大后变小，则运动时间先变长后变短，故A错误；小球的竖直分速度为vy＝gt，可知当小球落在C点时，高度差最大，时间最长，竖直分速度最大，故C正确；小球运动时间由高度差决定，当小球分别落在C点两侧等高的圆弧位置上时，运动时间相等，对应的水平位移不同，则初速度不同，故B错误；假设小球可以垂直撞击圆环，则此时速度方向反向延长线过圆心，由平抛运动推论可知，速度方向反向延长线过水平位移中点，即小球的水平位移为2R，但小球落在圆弧上时水平位移必定小于2R，故假设不成立，即小球不可能垂直撞击圆环，故D错误。
11.(多选)周日，在公园的池塘边，小明和妈妈一起喂鱼。他们分别从同一竖直线上的a、b两点将鱼食水平抛出，鱼食落在水面上的同一点P，如图所示。忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．小明抛出的鱼食水平初速度小
B．妈妈抛出的鱼食在空中运动的过程中速度的变化量大
C．两鱼食落在水面上时速度方向可能相同
D．两鱼食落在水面上时速度大小可能相等
答案：BD
解析：两鱼食做平抛运动，根据h＝gt2且b点高于a点可知，小明抛出的鱼食在空中运动的时间较短，而水平方向有x＝v0t，可知小明抛出的鱼食水平初速度较大，A错误；根据Δv＝gt可知，妈妈抛出的鱼食在空中运动的过程中速度的变化量大，B正确；由于两鱼食的位移方向不同，根据平抛运动的推论tanθ＝2tanα可知，两鱼食落在水面上时速度方向一定不同，C错误；根据vy＝可知，小明抛出的鱼食落在水面上时竖直速度小，而水平速度大，所以两鱼食落在水面上时速度大小可能相等，D正确。
12．跳台滑雪是冬奥会项目，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，运动员从跳台A处以速度v0＝10 m/s沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，斜坡与水平方向夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)运动员在空中的时间及A、B间的距离；
(2)运动员落到B处时的速度大小；
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
答案：(1)2 s　20 m　(2)10 m/s (3) m
解析：(1)根据平抛运动的规律，有
x＝v0t
y＝gt2
根据几何关系有tan45°＝
联立并代入数据可得运动员在空中的时间为
t＝2 s
A、B间距离为s＝
联立并代入数据可得s＝20 m。
(2)运动员落到B处时
水平方向有vx＝v0＝10 m/s
竖直方向有vy＝gt＝20 m/s
则速度大小为v＝＝10 m/s。
(3)将运动员的初速度v0和加速度g沿坡面方向和垂直于坡面方向进行分解，如图所示，有
v1＝v0sin45°
g1＝gcos45°
当垂直于坡面方向的速度减为0时，运动员在空中离坡面最远，有0－v＝－2g1h
联立并代入数据可得运动员在空中离坡面的最大距离h＝ m。
[名师点拨]　物体从斜面平抛后又落到斜面上，当速度平行于斜面时，物体离斜面最远，故可灵活建立坐标系，把运动员的运动分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向的运动。注意加速度也需要分解。
13.(多选)如图，水平地面上有一个坑，其竖直截面为圆bc，半径为R，O为圆心，若在O点以大小不同的初速度v0沿Oc方向水平抛出小球，小球落在坑内。空气阻力可忽略，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A．小球落在圆弧上的最小速度为
B．小球落在圆弧上的最小速度为
C．小球的运动时间与v0大小无关
D．无论调整v0大小为何值，小球都不可能垂直撞击在圆弧上
答案：BD
解析：小球在空中做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向有h＝gt2，vy＝gt，水平方向有x＝v0t，且由几何关系有h2＋x2＝R2，而落在圆弧上的速度v＝，整理得v＝，由数学知识可知，当g2t2＝时速度取得最小值，代入可得最小值vmin＝，B正确，A错误；v0越大，水平位移越大，竖直下落距离越小，运动时间越短，C错误；由平抛运动推论可知，小球的速度反向延长线过水平位移的中点，若小球垂直撞击在圆弧上，则速度的反向延长线过圆心，两者相矛盾，因此无论调整v0大小为何值，小球都不可能垂直撞击在圆弧上，D正确。
13(共43张PPT)
第五章　抛体运动
专题提升二　平抛运动的推论　
受约束的平抛运动
目录
1
课后课时作业
提升
２
提升
提升1　平抛运动的两个重要推论
○一 如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线(　　)
A．交于OA上的同一点
B．交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点
C．交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点
D．因为小球的初速度和OA距离未知，所以与OA的交点无法确定
解析 所有抛出的小球在碰到墙壁时，水平方向的位移均是OA，由平抛运动的推论可知，所有小球在碰到墙壁前瞬间速度的反向延长线交于OA上的同一点(OA中点)，A正确。
如图所示，从倾角为θ的斜坡上某点先后将同一石子以不同的初速度水平抛出，石子均落在斜坡上，当抛出的速度为v1时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α1；当抛出的速度为v2时，石子到达斜坡时速度方向与斜坡的夹角为α2，则(不计空气阻力)(　　)
A．当v1>v2时，α1>α2
B．当v1>v2时，α1<α2
C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D．α1、α2的关系与斜坡倾角θ有关
(1)石子位移是什么方向？初速度是什么方向？位移与水平方
向的夹角有什么特点？
(2)平抛运动中速度的偏向角和位移的偏向角有什么关系，会因为初速度不同发生变化吗？
提示：石子的起点和终点都在斜坡上，位移沿斜坡向下，石子初速度是水平方向，不管速度多大，位移与水平方向的夹角都等于斜坡的倾角。
提示：只要是平抛运动，运动中速度的偏向角与位移的偏向角一定满足tanθ＝2tanα(θ、α分别为速度、位移的偏向角)，与初速度无关。
提升2　受斜面、曲面约束的平抛运动
1．斜面、曲面对平抛运动约束的常见情境
(1)给出末速度方向
(2)给出位移方向
给出末速度方向或位移方向时，会联想到本专题提升1中学到的平抛运动的两个推论，有时用推论解题会事半功倍。
课后课时作业
题型一　平抛运动的两个重要推论
1.如图所示，将一小球从坐标原点O沿着水平轴Ox以v0＝
2 m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P点，M为P点在Ox轴
上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于
Q点，已知QM＝3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为(　　)
A．1 s B．2 s C．3 s D．4 s
4.如图所示，墙壁上落着两支飞镖，它们是从同一位置水平射出的，A处飞镖与竖直墙壁成53°，B处飞镖与竖直墙壁成37°，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，则射出点离墙壁的水平距离为________。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
8.(多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体圆心，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度取g＝10 m/s2，则(　　)
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
9.如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为y＝x2，在y轴上有一点P，坐标为(0，6 m)。从P点将一小球水平抛出，初速度为1 m/s，则小球第一次打在曲面上的位置为(不计空气阻力，g取10 m/s2)(　　)
A．(3 m，3 m) B．(2 m，4 m)
C．(1 m，1 m) D．(1 m，2 m)
10.如图是一个竖直放置的半圆环，AB为半圆环ACB的水平直径，C为环上的最低点，一个小球从A点以速度v0水平抛出，经一段时间t与半圆环相撞，不计空气阻力。则下列判断正确的是(　　)
A．v0越大，运动时间越长
B．发现小球有两次运动时间相同，则这两次抛出
的初速度一定相同
C．要使小球掉到环上时的竖直分速度最大，小球应该落在C点
D．只需v0取值合适，可能使小球垂直撞击半圆环
11.(多选)周日，在公园的池塘边，小明和妈妈一起喂鱼。他们分别从同一竖直线上的a、b两点将鱼食水平抛出，鱼食落在水面上的同一点P，如图所示。忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．小明抛出的鱼食水平初速度小
B．妈妈抛出的鱼食在空中运动的过程中速度的变化量大
C．两鱼食落在水面上时速度方向可能相同
D．两鱼食落在水面上时速度大小可能相等
12．跳台滑雪是冬奥会项目，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，运动员从跳台A处以速度v0＝10 m/s沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，斜坡与水平方向夹角为45°，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)运动员在空中的时间及A、B间的距离；
(2)运动员落到B处时的速度大小；
(3)运动员在空中离坡面的最大距离。
[名师点拨]　物体从斜面平抛后又落到斜面上，当速度平行于斜面时，物体离斜面最远，故可灵活建立坐标系，把运动员的运动分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向的运动。注意加速度也需要分解。

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