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物理　必修 第二册 RJ
第2课时　向心力公式的应用　变速圆周运动和一般曲线运动
1．掌握向心力的表达式，并能用来进行计算。2.理解变速圆周运动中合力的两个分力的效果，知道一般曲线运动的研究方法。
任务1　向心力公式的应用
向心力的大小
(1)根据受力分析求得：圆周运动平面上，指向圆心方向的合力即为向心力。
(2)根据向心力公式求得：Fn＝mω2r＝m＝mr＝m(2πn)2r＝mωv。
做匀速圆周运动的物体，质量为1 kg，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)向心力的大小。
[解析]　(1)由题意可知，物体在Δt＝10 s内运动的路程为Δs＝100 m，则该物体做匀速圆周运动时线速度的大小为v＝
解得v＝10 m/s。
(2)设该物体的质量为m，做圆周运动的半径为r，则该物体做匀速圆周运动时向心力的大小为Fn＝m
代入数据解得Fn＝5 N。
[答案]　(1)10 m/s　(2)5 N
[跟进训练]　现在有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如图所示。“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转动而不至于被甩开，当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势越厉害。设“魔盘”转速为6 r/min，一个体重为30 kg的小孩坐在距离轴心1 m处(盘半径大于1 m)随盘一起转动。这个小孩受到的向心力的大小为________N，这个向心力是由________________力提供的。
答案：11.8　盘对小孩的静摩擦
解析：由题意知，小孩的质量为m＝30 kg，小孩做圆周运动的半径为r＝1 m，转速为n＝6 r/min＝0.1 r/s，角速度为ω＝2πn＝0.2π rad/s，则小孩受到的向心力的大小为F＝mω2r＝11.8 N。小孩随“魔盘”做匀速圆周运动，其向心力由盘对小孩的静摩擦力提供。
长为L的细线，拴一质量为m的小球(小球可视为质点)，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。当摆线与竖直方向的夹角是α时，求(重力加速度为g)：
(1)细线的拉力的大小；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
(1)小球的受力有什么特点？
提示：小球受重力和细线的拉力，两个力的合力指向轨迹圆心，充当向心力。
(2)应用向心力公式求小球做圆周运动的线速度、角速度等，需要知道小球做圆周运动的半径。小球做圆周运动的半径是什么？
提示：r＝Lsinα。
[解析]　如图所示，小球受重力mg和细线的拉力FT。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O′，且是沿水平方向。
(1)由平行四边形定则得
细线对小球的拉力大小为FT＝。
(2)小球受到的合力大小为F合＝mgtanα
由向心力公式得F合＝
由几何关系得r＝Lsinα
解得小球做匀速圆周运动线速度的大小为
v＝。
(3)小球运动的角速度
ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π。
[答案]　(1)　(2)
(3)　2π
匀速圆周运动中力学问题的解题步骤 (1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r。 (2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的，求出F合。 (3)确定v、ω、T、n等物理量中什么是已知的，选择合适的公式求出F向。 (4)根据F合＝F向列方程，求解。
任务2　变速圆周运动和一般曲线运动
1．变速圆周运动：做变速圆周运动的物体所受合力F产生两个方面的效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力，如图甲所示。
(1)跟圆周相切的分力Ft：若与速度同向，则速度越来越大；若与速度反向，则速度越来越小。
(2)指向圆心的分力Fn：提供物体做圆周运动所需的向心力，改变速度的方向。
思考：分析质点所受合力，什么情况下质点做速度越来越大的圆周运动？什么情况下质点做速度越来越小的圆周运动？
提示：当合力与速度的夹角为锐角时，质点的速度越来越大；当合力与速度的夹角为钝角时，质点的速度越来越小。
2．一般曲线运动的研究方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)研究方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，如图乙所示。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。
　匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
运动种类 项目 匀速圆周运动 变速圆周运动
特点 v、Fn大小不变但方向变化，ω、T、n不变 v、Fn、ω大小均变化
向心力来源 合力 合力沿半径方向指向圆心的分力
周期性 有 不一定有
条件 合力的大小不变，方向始终与线速度方向垂直 一般合力方向与线速度方向不垂直
性质 均是变加速曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r都适用
如图所示是荡秋千的照片，若该时刻人的速度为v，秋千绳与竖直方向的夹角为θ，又已知人的质量为m，两根秋千绳长均为l，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．该时刻秋千对人的作用力大小为mgcosθ
B．该时刻人所受合力大小为mgsinθ
C．该时刻人所受合力大小为m
D．从最高点向最低点摆动过程秋千对人的作用力越来越大
沿什么方向对人受到的合力进行分解？各个分力有什么效果？
提示：沿运动方向和沿秋千绳方向进行分解。沿运动方向的分力改变速度大小，沿秋千绳方向的分力提供向心力，改变速度方向。
[解析]　设该时刻秋千对人的作用力大小为F，沿秋千绳方向分析受力有F－mgcosθ＝m，解得F＝mgcosθ＋m，从最高点向最低点摆动过程中，人的速度v越来越大，而θ越来越小，由此式可知秋千对人的作用力越来越大，故A错误，D正确；该时刻沿运动方向的合力大小为Ft＝mgsinθ，垂直于运动方向的合力大小为Fn＝m，根据矢量运算法则，则该时刻人所受合力大小为F合＝＝m，故B、C错误。
[答案]　D
如图所示，我国战机“歼 20”在航展表演中，沿着曲线ab斜向上加速运动，则战机飞行到c点时受到的合力F的方向可能正确的是(　　)
[解析]　战机“歼 20”做曲线运动，受到的合力方向与速度方向不在同一条直线上，且合力指向曲线凹侧，B、C错误；因战机“歼 20”做加速运动，把c点处的一小段轨迹曲线看作一段圆弧，则合力的切向分力与速度方向相同，所以合力方向与速度方向夹角为锐角，A正确，D错误。
[答案]　A
等效思维(分解与合成思想)——在曲线运动问题中的应用(二)
1．概述
第五章讲述了建立固定的直角坐标系分解曲线运动的方法，其特点是两个分运动均为直线运动，可以用直线运动的规律分析求解。除此之外还有一种较常用的分解曲线运动的方法，即不分解位移、速度，而只将力或加速度按运动的切向和径向方向进行分解。
这种分解方法常用于涉及变速圆周运动的向心力、速率变化问题，也可用于一般曲线运动(此时可借助曲率半径的概念和圆周运动的规律分析)。其一般步骤为：
(1)将力分解为切向力Ft和径向力Fn；
(2)在沿轨迹切线方向运用牛顿运动定律和加速度的定义分析计算，在沿垂直轨迹切线方向运用向心力公式和圆周运动规律分析计算；
(3)运用矢量运算法则综合得出合运动的规律。
2．两种分解方法的比较
(1)按运动的切向和径向方向对曲线运动进行分解，实际是在运动轨迹的某一点建立与该点速度方向有关的直角坐标系(即移动直角坐标系)，只能分析该点附近的短暂瞬时运动过程。这种方法只适于某一点的瞬时值分析计算，常用于定性分析变速圆周运动的整个过程。
(2)沿固定方向建立直角坐标系对曲线运动进行分解，优点是可以用直线运动的规律定量分析求解，常用于除圆周运动之外的一般曲线运动，应用更普遍。
一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径，此时做曲线运动的物体所受合力沿曲率半径方向的分量提供向心力。现将一物体沿水平方向以速度v0抛出，经过时间t＝到达P点，如图乙所示，则在P处的曲率半径是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　物体抛出后做平抛运动，在P点处竖直方向上的分速度大小为vy＝gt＝g·＝v0，则物体在P点处的速度大小vP＝＝v0，此时速度方向与竖直方向的夹角θ＝45°，在P点处，物体重力沿曲率半径方向的分力提供向心力，根据向心力公式得：mgsin45°＝m，解得在P处的曲率半径是ρ＝，故B正确。
[答案]　B
课后课时作业
知识点一　向心力公式的应用
1.如图所示，水平圆台转动的角速度ω＝0.6 rad/s，质量为0.2 kg的小物块A放在距离轴心1 m处与圆台相对静止一起转动，小物块受到的静摩擦力大小为(　　)
A．0.072 N B．0.036 N
C．0.12 N D．0.36 N
答案：A
解析：小物块做圆周运动所需的向心力由静摩擦力提供，有f＝mω2R＝0.072 N，故选A。
2．(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
答案：B
解析：当该同学荡到秋千支架的正下方时，根据牛顿第二定律，有2T－mg＝，解得T＝410 N，即此时每根绳子平均承受的拉力约为400 N，故B正确。
3.“山东舰”是我国首艘完全自主建造的航空母舰，现已正式入编。如图所示是某次进行小半径转弯训练时，在海平面上画出的圆形航迹。若将此过程看成半径为R、速率为v的匀速圆周运动，“山东舰”质量为m，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　)
A．海水对“山东舰”的作用力方向竖直向上
B．海水对“山东舰”的作用力与“山东舰”自身重力的合力不一定指向圆心
C．海水对“山东舰”的作用力大小为m
D．海水对“山东舰”的作用力大小为m
答案：D
解析：“山东舰”做匀速圆周运动，由重力和海水对“山东舰”的作用力的合力提供向心力，其受力如图所示，可知合力一定指向圆心，且海水对“山东舰”的作用力方向不是竖直向上，故A、B错误；根据向心力公式有F合＝m，根据平行四边形定则可知，海水对“山东舰”的作用力大小为F＝＝m，故C错误，D正确。
[名师点拨]　本题首先要正确进行受力分析，整体上看，“山东舰”只受重力及海水对它的作用力，其中海水对“山东舰”的作用力是指海水的浮力、海水对螺旋桨的反作用力、阻力等的合力。
4．图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
答案：(1)750 N　(2) rad/s
解析：(1)如图所示，对人和座椅整体进行受力分析，设绳子的拉力大小为F，质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零，故
Fcos37°－mg＝0
解得F＝＝750 N。
(2)设转盘角速度大小为ω，质点的运动半径为R，质点与转盘一起在水平面内做匀速圆周运动时，重力和绳子拉力的合力提供向心力，有mgtan37°＝mω2R
分析可知R＝d＋lsin37°
联立解得ω＝＝ rad/s。
知识点二　变速圆周运动和一般曲线运动
5.(多选)如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是(　　)
A．当转盘加速转动时，P受的摩擦力方向为a
B．当转盘加速转动时，P受的摩擦力方向可能为b
C．当转盘匀速转动时，P受的摩擦力方向为c
D．当转盘匀速转动时，P受的摩擦力方向为d
答案：BC
解析：当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，将物块P所受摩擦力沿半径方向和垂直半径方向进行分解，沿半径方向的分力提供物块P做圆周运动的向心力，垂直半径方向的分力使物块P的速度越来越大，由平行四边形定则可知，P受的摩擦力方向可能为b，一定不为a，故A错误，B正确；当转盘匀速转动时，P受的摩擦力提供向心力，一定指向圆心，则方向为c，故C正确，D错误。
6.如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则(　　)
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
答案：D
解析：物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力的方向夹角为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确。
7.(多选)长沙市橘子洲湘江大桥桥东有一螺旋引桥，供行人上下桥。假设一行人沿螺旋线自外向内运动，如图所示。已知其走过的弧长s与时间t成正比。则关于该行人的运动，下列说法正确的是(　　)
A．行人运动的线速度越来越大
B．行人运动的向心力越来越大
C．行人运动的角速度越来越大
D．行人所受的合力不变
答案：BC
解析：行人沿螺旋线自外向内运动，说明运动轨迹半径R不断减小，根据其走过的弧长s与运动时间t成正比，由v＝可知，线速度大小不变，故A错误；根据F向＝m可知，v不变，R减小时，F向增大，故B正确；根据ω＝可知，v不变，R减小时，ω增大，故C正确；合力方向不断变化，故合力不断变化，故D错误。
8.如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO′匀速旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：对物块a受力分析如图所示，知f＝mg，F向＝N＝mω2r，又由于f≤μN，所以解这三个方程得角速度ω至少为，D正确。
9.如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当轻杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，轻杆的OA段对A球的拉力大小FT1与轻杆的AB段对B球的拉力大小FT2之比为(　　)
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
答案：C
解析：由题意可知，A、B两球的角速度ω相同，设OA段的长度为r1，OB段的长度为r2，对A、B两球分别进行受力分析，水平方向受力如图所示，其中FT2′是轻杆的AB段对A球的拉力。对A球，有FT1－FT2′＝mAω2r1，对B球，有FT2＝mBω2r2，由题意可知，mA＝mB，r2＝2r1，又FT2＝FT2′，联立以上各式解得FT1∶FT2＝3∶2，故C正确。
10．在一次训练中，滑雪运动员(可视为质点)以某一水平速度从M点沿着圆轨道加速下滑，至N点脱离轨道，最终落在地面上的P点，如图所示。其中MN段为光滑圆轨道(圆心为O)，不计空气阻力。下列说法错误的是(　　)
A．在M点时，该运动员所受支持力小于重力
B．从N点到P点的过程中，运动员做平抛运动
C．从M点到N点的过程中，运动员的速率变化得越来越快
D．从M点到N点的过程中，运动员对轨道的压力逐渐减小
答案：B
解析：设运动员质量为m，在M点时的速度大小为v0，圆轨道半径为R，根据题意，该运动员从M点到N点做圆周运动，在M点由沿半径方向的合力提供向心力，有mg－FN＝m，可知，在M点时，该运动员所受支持力FN小于重力，故A正确；该运动员在N点的速度方向沿圆周切线方向，而非水平方向，则从N点到P点的过程中，运动员做斜抛运动，故B错误；在MN间任取一点Q，设OQ与竖直方向的夹角为θ，滑雪运动员在Q点的受力分析如图所示，可知其沿圆周切线方向有Ft＝mgsinθ，沿QO方向有mgcosθ－FN′＝m，则轨道对运动员的支持力FN′＝mgcosθ－m，从M点到N点的过程中，因θ逐渐增大，v逐渐增大，可知Ft逐渐增大，FN′逐渐减小，则运动员的速率变化得越来越快，且结合牛顿第三定律可知，运动员对轨道的压力逐渐减小，故C、D正确。本题选说法错误的，故选B。
11.(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼向内侧倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力。设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T，则下列说法正确的是(　　)
A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小
B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T减小
C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R变小
D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T一定不变
答案：AB
解析：对飞机进行受力分析，由向心力公式得mgtanθ＝m，解得R＝，若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小，由T＝知，周期T减小，A、B正确；若θ不变，飞行速率v增大，由上述分析可知半径R变大，C错误；由T＝＝知，若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变，D错误。
12．(多选)如图甲所示，质量相等、大小可忽略的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，小球a摆动时细线偏离竖直方向的最大夹角和连接小球b的细线与竖直方向的夹角都为θ，运动过程中两细线拉力大小随时间变化的关系如图乙中c、d所示。则下列说法正确的是(　　)
A．图乙中直线d表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系
B．图乙中曲线c表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系
C．θ＝60°
D．θ＝45°
答案：AC
解析：由于小球b在水平面内做匀速圆周运动，细线的拉力大小不变，因此直线d表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系，故A正确，B错误；由图乙及平衡条件可知，对小球b，竖直方向有4F0cosθ＝mg，而对小球a，因其在竖直平面内来回摆动，在最高点时有F0＝mgcosθ，两式联立可得θ＝60°，故C正确，D错误。
13(共45张PPT)
第六章　圆周运动
2．向心力
第2课时　向心力公式的应用　
变速圆周运动和一般曲线运动
1.掌握向心力的表达式，并能用来进行计算。2.理解变速圆周运动中合力的两个分力的效果，知道一般曲线运动的研究方法。
目录
1
2
课后课时作业
任务
科学思维
3
任务
任务1　向心力公式的应用
　　　做匀速圆周运动的物体，质量为1 kg，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，试求物体做匀速圆周运动时：
(1)线速度的大小；
(2)向心力的大小。
答案　(1)10 m/s　(2)5 N
[跟进训练]　现在有一种叫作“魔盘”的娱乐设施，如
图所示。“魔盘”转动很慢时，盘上的人都可以随盘一起转
动而不至于被甩开，当盘的转速逐渐增大时，盘上的人便
逐渐向边缘滑去，离转动中心越远的人，这种滑动的趋势
越厉害。设“魔盘”转速为6 r/min，一个体重为30 kg的小孩
坐在距离轴心1 m处(盘半径大于1 m)随盘一起转动。这个小孩受到的向心力的大小为_____N，这个向心力是由__________________力提供的。
11.8
盘对小孩的静摩擦
解析：由题意知，小孩的质量为m＝30 kg，小孩做圆周运动的半径为r＝1 m，转速为n＝6 r/min＝0.1 r/s，角速度为ω＝2πn＝0.2π rad/s，则小孩受到的向心力的大小为F＝mω2r＝11.8 N。小孩随“魔盘”做匀速圆周运动，其向心力由盘对小孩的静摩擦力提供。
　　　　长为L的细线，拴一质量为m的小球(小球可视为质点)，一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。当摆线与竖直方向的夹角是α时，求(重力加速度为g)：
(1)细线的拉力的大小；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的角速度及周期。
(1)小球的受力有什么特点？
(2)应用向心力公式求小球做圆周运动的线速度、角速度等，需要知道小球做圆周运动的半径。小球做圆周运动的半径是什么？
提示：小球受重力和细线的拉力，两个力的合力指向轨迹圆心，充当向心力。
提示：r＝Lsinα。
匀速圆周运动中力学问题的解题步骤
(1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r。
(2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的，求出F合。
(3)确定v、ω、T、n等物理量中什么是已知的，选择合适的公式求出F向。
(4)根据F合＝F向列方程，求解。
1．变速圆周运动：做变速圆周运动的物体所受合力F产生两个方面
的效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力，如图甲所示。
(1)跟圆周相切的分力Ft：若与速度同向，则速度越来越大；若与速
度反向，则速度_________。
(2)指向圆心的分力Fn：提供物体做圆周运动所需的_______，改变速度的______。
思考：分析质点所受合力，什么情况下质点做速度越来越大的圆周运动？什么情况下质点做速度越来越小的圆周运动？
提示：当合力与速度的夹角为锐角时，质点的速度越来越大；当合力与速度的夹角为钝角时，质点的速度越来越小。
越来越小
向心力
任务2　变速圆周运动和一般曲线运动
方向
2．一般曲线运动的研究方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是______也不是______的曲线运动。
(2)研究方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作__________的一部分，如图乙所示。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。
直线
圆周
圆周运动
匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
沿什么方向对人受到的合力进行分解？各个分力有什么效果？
提示：沿运动方向和沿秋千绳方向进行分解。沿运动方向的分力改变速度大小，沿秋千绳方向的分力提供向心力，改变速度方向。
　　　　如图所示，我国战机“歼 20”在航展表演中，沿着曲线ab斜向上加速运动，则战机飞行到c点时受到的合力F的方向可能正确的是(　　)
解析　战机“歼 20”做曲线运动，受到的合力方向与速度方向不在同一条直线上，且合力指向曲线凹侧，B、C错误；因战机“歼 20”做加速运动，把c点处的一小段轨迹曲线看作一段圆弧，则合力的切向分力与速度方向相同，所以合力方向与速度方向夹角为锐角，A正确，D错误。
科学思维　等效思维(分解与合成思想)
——在曲线运动问题中的应用(二)
1．概述
第五章讲述了建立固定的直角坐标系分解曲线运动的方法，其特点是两个分运动均为直线运动，可以用直线运动的规律分析求解。除此之外还有一种较常用的分解曲线运动的方法，即不分解位移、速度，而只将力或加速度按运动的切向和径向方向进行分解。
这种分解方法常用于涉及变速圆周运动的向心力、速率变化问题，也可用于一般曲线运动(此时可借助曲率半径的概念和圆周运动的规律分析)。其一般步骤为：
(1)将力分解为切向力Ft和径向力Fn；
(2)在沿轨迹切线方向运用牛顿运动定律和加速度的定义分析计算，在沿垂直轨迹切线方向运用向心力公式和圆周运动规律分析计算；
(3)运用矢量运算法则综合得出合运动的规律。
2．两种分解方法的比较
(1)按运动的切向和径向方向对曲线运动进行分解，实际是在运动轨迹的某一点建立与该点速度方向有关的直角坐标系(即移动直角坐标系)，只能分析该点附近的短暂瞬时运动过程。这种方法只适于某一点的瞬时值分析计算，常用于定性分析变速圆周运动的整个过程。
(2)沿固定方向建立直角坐标系对曲线运动进行分解，优点是可以用直线运动的规律定量分析求解，常用于除圆周运动之外的一般曲线运动，应用更普遍。
课后课时作业
知识点一　向心力公式的应用
1.如图所示，水平圆台转动的角速度ω＝0.6 rad/s，质量
为0.2 kg的小物块A放在距离轴心1 m处与圆台相对静止一起
转动，小物块受到的静摩擦力大小为(　　)
A．0.072 N B．0.036 N
C．0.12 N D．0.36 N
解析：小物块做圆周运动所需的向心力由静摩擦力提供，有f＝mω2R＝0.072 N，故选A。
2．(2020·全国卷Ⅰ)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的
两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的
质量忽略不计。当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为
8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为(　　)
A．200 N B．400 N
C．600 N D．800 N
[名师点拨]　本题首先要正确进行受力分析，整体上看，“山东舰”只受重力及海水对它的作用力，其中海水对“山东舰”的作用力是指海水的浮力、海水对螺旋桨的反作用力、阻力等的合力。
4．图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
知识点二　变速圆周运动和一般曲线运动
5.(多选)如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是(　　)
A．当转盘加速转动时，P受的摩擦力方向为a
B．当转盘加速转动时，P受的摩擦力方向可能为b
C．当转盘匀速转动时，P受的摩擦力方向为c
D．当转盘匀速转动时，P受的摩擦力方向为d
解析：当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，将物块P所受摩擦力沿半径方向和垂直半径方向进行分解，沿半径方向的分力提供物块P做圆周运动的向心力，垂直半径方向的分力使物块P的速度越来越大，由平行四边形定则可知，P受的摩擦力方向可能为b，一定不为a，故A错误，B正确；当转盘匀速转动时，P受的摩擦力提供向心力，一定指向圆心，则方向为c，故C正确，D错误。
解析：物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力的方向夹角为锐角，合力与速度不垂直，B、C错误，D正确。
7.(多选)长沙市橘子洲湘江大桥桥东有一螺旋引桥，供行人上下桥。假设一行人沿螺旋线自外向内运动，如图所示。已知其走过的弧长s与时间t成正比。则关于该行人的运动，下列说法正确的是(　　)
A．行人运动的线速度越来越大
B．行人运动的向心力越来越大
C．行人运动的角速度越来越大
D．行人所受的合力不变
解析：由题意可知，A、B两球的角速度ω相同，设OA段的长度为r1，OB段的长度为r2，对A、B两球分别进行受力分析，水平方向受力如图所示，其中FT2′是轻杆的AB段对A球的拉力。对A球，有FT1－FT2′＝mAω2r1，对B球，有FT2＝mBω2r2，由题意可知，mA＝mB，r2＝2r1，又FT2＝FT2′，联立以上各式解得FT1∶FT2＝3∶2，故C正确。
9.如图所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当轻杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，轻杆的OA段对A球的拉力大小FT1与轻杆的AB段对B球的拉力大小FT2之比为(　　)
A．1∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
10．在一次训练中，滑雪运动员(可视为质点)以
某一水平速度从M点沿着圆轨道加速下滑，至N点脱离
轨道，最终落在地面上的P点，如图所示。其中MN段
为光滑圆轨道(圆心为O)，不计空气阻力。下列说法错
误的是(　　)
A．在M点时，该运动员所受支持力小于重力
B．从N点到P点的过程中，运动员做平抛运动
C．从M点到N点的过程中，运动员的速率变化得越来越快
D．从M点到N点的过程中，运动员对轨道的压力逐渐减小
11.(多选)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼向内侧倾斜(如图所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力。设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T，则下列说法正确的是(　　)
A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R减小
B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T减小
C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R变小
D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T一定不变
12．(多选)如图甲所示，质量相等、大小可忽略的a、b两小球用不可伸长的等长轻质细线悬挂起来，使小球a在竖直平面内来回摆动，小球b在水平面内做匀速圆周运动，小球a摆动时细线偏离竖直方向的最大夹角和连接小球b的细线与竖直方向的夹角都为θ，运动过程中两细线拉力大小随时间变化的关系如图乙中c、d所示。则下列说法正确的是(　　)
A．图乙中直线d表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系
B．图乙中曲线c表示细线对小球b的
拉力大小随时间变化的关系
C．θ＝60°
D．θ＝45°
解析：由于小球b在水平面内做匀速圆周运动，细线的拉力大小不变，因此直线d表示细线对小球b的拉力大小随时间变化的关系，故A正确，B错误；由图乙及平衡条件可知，对小球b，竖直方向有4F0cosθ＝mg，而对小球a，因其在竖直平面内来回摆动，在最高点时有F0＝mgcosθ，两式联立可得θ＝60°，故C正确，D错误。

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