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物理　必修 第二册 RJ
1．功与功率
1．理解功的概念和力对物体做功的两个要素，会用公式W＝Flcosα进行有关计算。2.理解正功和负功的含义，会计算总功。3.理解功率、平均功率和瞬时功率的含义，会用P＝和P＝Fvcosθ进行相关运算。
任务1　功
初中物理我们学过，物体的运动方向与力的方向一致时，力对物体做的功等于力的大小与物体移动距离的乘积。更普遍的情形是物体运动的方向与力的方向不一致，如图所示，恒力F与物体移动位移l的夹角为α，这时应当怎样计算功呢？
提示：可以把力F分解为两个分力：与位移方向一致的分力F1＝Fcosα，以及与位移方向垂直的分力F2＝Fsinα，如图所示。物体在分力F2的方向上没有位移，故这个分力不做功；而另一分力F1与物体的运动方向相同，故可以用公式W＝Fl计算，其值为F1l。由于F与两个分力为等效替代关系，说明F做的功等效为分力Fcosα做的功，即F做的功为W＝F1l＝Flcosα。
1．功
(1)力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
(2)做功的公式：W＝Flcosα，其中F、l、α分别为力的大小、位移的大小和力与位移的夹角。当力F与位移l同向时，W＝Fl。
(3)功是标量。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1 J等于1 N的力使物体在力的方向上发生1 m位移的过程中所做的功，所以1 J＝1 N·m。
2．正功和负功
(1)当α＝时，W＝0，力对物体不做功。
(2)当0≤α<时，W>0，力对物体做正功。
(3)当<α≤π时，W<0，力对物体做负功。
(4)当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。可以证明，它也就是这几个力的合力对物体所做的功。
思考：一个力对物体做了－10 J的功，另一个力对物体做了5 J的功。有人说，－10 J的功比5 J的功小，这种说法对吗？
提示：这种说法不对。功的“＋”“－”号不代表功的大小，只代表动力做功还是阻力做功，功的大小等于其绝对值，－10 J的功比5 J的功大。
1．判一判
(1)力F1、F2做的功分别为W1＝10 J、W2＝－15 J，则W1、W2的方向相反。(　　)
(2)力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1和F2做的总功为－5 J。(　　)
提示：(1)×　功是标量，没有方向。
(2)√　物体所受各力对它做的总功，等于各力做功的代数和，即W＝10 J＋(－15) J＝－5 J。
2．想一想
“功”和“能量”的国际单位制单位都是“J”，它们是指同一个物理量吗？若不是同一个物理量的话，它们是什么关系？
提示：功和能量不是同一个物理量，功是能量转化的量度，做功一定伴随着能量转化；能量转化可以通过做功来实现，做了多少功就有多少能量转化。
1．功的理解
(1)功的两个决定因素
①作用在物体上的力；
②物体在力的方向上的位移。
(2)功是力在空间上的积累效应，它总是与一个过程相联系，因此，功是一个过程量。计算功时，一定要明确是哪个力在哪一过程中对物体做的功。
2．对公式W＝Flcosα的理解
(1)W＝F·lcosα可理解为功等于力F与沿力F方向的位移lcosα的乘积。
(2)W＝Fcosα·l可理解为功等于沿位移方向的分力Fcosα与位移l的乘积。
(3)公式W＝Flcosα仅适用于恒力做功。
(4)公式W＝Flcosα中的l一般指力的作用点相对地面的位移。
3．对正功和负功的认识
(1)功是标量，正负号既不表示大小，也不表示方向，只表示动力做功还是阻力做功。
(2)一个力对物体做负功时，我们可以说成物体克服这个力做了功(正值)。如摩擦力对滑块做了－5 J的功，可以说成滑块克服摩擦力做了5 J的功。
4．计算总功的两种方法
(1)先由W＝Flcosα计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcosα计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
误区警示：作用力和反作用力做功的特点
作用力和反作用力作用在两个不同的物体上，它们大小相等，方向相反。可能都做正功、都做负功、都不做功，也可能一个做功一个不做功。做功的大小不一定相等，因为它们分别作用于两个物体上，每个物体都可能还受其他力，其位移情况可能不同。
如图所示，一个物体放在水平面上，在跟竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿水平面移动了距离s。若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中，对该物体，(　　)
A．摩擦力做的功为fs B．力F做的功为Fscosθ
C．力F做的功为Fssinθ D．重力做的功为mgs
[解析]　物体与地面之间的摩擦力大小为f，物体的位移的大小为s，且两者的夹角为180°，由功的公式可得摩擦力做的功为－fs，所以A错误。力F与竖直方向成θ角，在水平方向的分力为Fsinθ，F做的功为Fssinθ，所以B错误，C正确。重力在竖直方向上，物体在竖直方向的位移是零，所以重力做的功为零，D错误。
[答案]　C
计算恒力做功要注意的三个问题 (1)计算功时一定要明确是哪个力对哪个物体在哪段位移过程中做的功。 (2)力F与位移l必须互相对应，即l必须是力F作用过程中的位移。 (3)某力对物体做的功只跟这个力、物体的位移以及力与位移间的夹角有关，跟物体的运动情况、物体是否还受其他力以及其他力是否做功均无关。
如图所示，大小为12 N、沿水平方向的恒力F作用在质量为2 kg的木箱上，使木箱在水平地面上沿直线运动。已知木箱与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2。当木箱从静止开始运动了12 m时，下列说法正确的是(　　)
A．力F做的功W1＝120 J
B．重力做的功W2＝240 J
C．克服摩擦力做的功W3＝120 J
D．合力做的功W合＝0
(1)力F、重力、摩擦力的方向与木箱位移的方向有什么关系？
提示：力F的方向与木箱位移的方向相同，重力的方向与木箱位移的方向垂直，摩擦力的方向与木箱位移的方向相反。
(2)如何求合力做的功？
提示：可以先求各个分力做的功，然后求其代数和。
[解析]　根据做功公式可得力F做的功W1＝Fl＝144 J，故A错误；木箱在重力方向上没有位移，则重力不做功，故B错误；根据做功公式可得摩擦力Ff做的功W3′＝Fflcos180°＝－μmgl＝－120 J，所以克服摩擦力做的功W3＝120 J，故C正确；合力做的功W合＝W1＋W3′＝24 J，故D错误。
[答案]　C
[跟进训练]　如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，货物从斜面顶端滑到底端的过程中(取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，下列说法正确的是(　　)
A．重力做功100 J B．支持力做功80 J
C．摩擦力做功16 J D．合力做功44 J
答案：D
解析：重力G对货物做的功W1＝mglsin37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J，A错误；支持力FN与货物运动方向始终垂直，对货物不做功，W2＝0，B错误；摩擦力Ff对货物做负功，W3＝－Ffl＝－μmgcos37°·l＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J，C错误；合力做的功为W＝W1＋W2＋W3＝60 J＋0－16 J＝44 J[若先计算合力再求功，则合力做的功W＝F合l＝(mgsin37°－μmgcos37°)l＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J]，D正确。
任务2　功率
问题1：做功的快慢叫功率，已知在时间t内，力做的功为W，它的功率P应该如何表示？
提示：P＝。
问题2：如图，从计时开始到时刻t这段时间内，物体在恒力F作用下沿力的方向发生的位移是l，这段时间内物体的平均速度为v，则力F在这段时间内所做功的功率P是多少？
提示：力F在这段时间内所做的功W＝Fl，功率P＝，又物体在这段时间内的平均速度v＝，则力F在这段时间内所做功的功率P＝Fv。
1．定义：功W与完成这些功所用时间t之比。
2．定义式：P＝。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，符号是W。1 W＝1 J/s，1 kW＝103 W。
4．物理意义：表示做功快慢的物理量。
5．功率与速度的关系
(1)功率与速度的关系式：P＝Fv(F与v方向相同)，即一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的乘积。
(2)应用：汽车上坡时司机要用“换挡”的办法减小速度，来得到较大的牵引力。不过，在发动机输出功率一定时，通过减小速度提高牵引力或通过减小牵引力而提高速度，效果都是有限的，所以，要提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的额定功率。
判一判
(1)由公式P＝知，做功越多，功率越大。(　　)
(2)力对物体做功越快，力的功率一定越大。(　　)
(3)物体的速度为v，则重力的功率一定是mgv。(　　)
(4)汽车爬坡时常常需要换高速挡。(　　)
提示：(1)×
(2)√　功率与做功多少和所用时间长短均有关，是描述做功快慢的物理量。
(3)×　只有速度竖直向下时，重力的功率才是mgv。
(4)×　汽车爬坡时需要减小速度来增大牵引力，常常需要换低速挡。
1．功率表示的是力做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然。
2．公式P＝和P＝Fv的比较
P＝ P＝Fv
适用条件 (1)功率的定义式，适用于任何情况。 (2)一般用来求平均功率，当t→0时，可计算瞬时功率 (1)功率的常用计算式，仅适用于F与v方向相同的情况。 (2)v为平均速度时，P为平均功率(此时F应为恒力)；v为瞬时速度时，P为瞬时功率
联系 P＝Fv是由P＝导出的
3.瞬时功率的计算方法
利用公式P＝F·vcosθ，其中v为该时刻的瞬时速度，θ为该时刻F与v的夹角。
证明：如图，物体在力F的作用下做曲线运动，t时刻经过P点，速度为v，此时力与速度的夹角为θ，设t～t＋Δt内(Δt极短，趋近于0)物体的位移为Δl(Δl未知)，由于时间间隔Δt极短，则在t～t＋Δt内力F可看作恒力，且速度保持不变，Δt内物体的位移Δl与t时刻速度v的方向相同，则该段时间内力F做的功W＝FΔlcosθ，平均功率＝＝Fcosθ·＝Fcosθ·v，由于时间间隔Δt极短，则力F在t时刻的瞬时功率P＝＝Fcosθ·v。
4．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·F，其中F必须为恒力，F为物体沿F方向的平均速度。
易错警示：若F不是恒力，则不能用＝F·F计算平均功率。
5．P＝Fv中三个量的制约关系
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换挡减小速度
v一定 P与F成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 P与v成正比 汽车在高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
质量为2 kg的小球从某一高度由静止释放，经3 s到达地面，不计空气阻力，g取10 m/s2。则(　　)
A．落地时重力的瞬时功率为900 W
B．落地时重力的瞬时功率为450 W
C．3 s内重力的平均功率为600 W
D．3 s内重力的平均功率为300 W
(1)本题如何计算瞬时功率？
提示：P＝Fv。
(2)本题如何计算平均功率？
提示：＝，或＝F·F。
[解析]　小球只受重力，做自由落体运动，则3 s末小球的速度大小为v＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s，所以落地时重力的瞬时功率P＝mgv＝2×10×30 W＝600 W，故A、B错误；3 s内小球下落的高度为h＝gt2，重力做的功W＝mgh，重力的平均功率＝，联立并代入数据解得＝300 W，故C错误，D正确。
[答案]　D
求力做功的功率时应注意的问题 (1)明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。“某秒末”或“在某位置”的功率，指的是瞬时功率，“某段时间”或“某个过程”的功率，指的是平均功率。 (2)计算平均功率首选＝，其次是用＝F·F。应用＝F·F时，应注意F必须为恒力，且F应容易求得，如求匀变速直线运动中某恒力的平均功率。 (3)求瞬时功率用P＝Fvcosθ，要注意F与v方向间的夹角θ对结果的影响，功率是力与力的方向上速度的乘积。
汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统，一般赛车的变速箱有1挡到5挡5个逐次增高的前进挡位，在发动机输出功率不变时，挡位越高车速越快，加大油门可以增大发动机的输出功率。在赛车越野比赛中难免会遇到需要爬坡的情况，为了能够顺利爬上陡坡，司机应该(　　)
A．拨到1挡，减小油门 B．拨到1挡，加大油门
C．拨到5挡，减小油门 D．拨到5挡，加大油门
[解析]　赛车爬坡时要克服重力做功，因此需要较大的牵引力，由功率P＝Fv得牵引力F＝，可知应增大发动机的输出功率和减小速度v，而由题可知，在发动机输出功率不变时，挡位越高车速越快，加大油门可以增大发动机的输出功率，因此应拨到1挡，加大油门，故选B。
[答案]　B
课后课时作业
知识点一　功的理解
1．(多选)一个力对物体做了负功，则说明(　　)
A．这个力一定阻碍物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
答案：AC
解析：由功的表达式W＝Flcosα知，只有当α>90°时，cosα<0，力对物体做负功，此力一定阻碍物体的运动，故A、C正确，B、D错误。
2．(多选)一物体在两个力F1、F2的共同作用下发生了一段位移，做功分别为W1＝6 J、W2＝－6 J，下列说法正确的是(　　)
A．这两个力一定大小相等、方向相反
B．F1是动力，F2是阻力
C．这两个力做的总功为0
D．F1比F2做的功多
答案：BC
解析：由力F1、F2做功的正负可以确定力F1、F2与位移的夹角分别小于90°、大于90°，但这两个力不一定大小相等、方向相反，A错误；F1做正功一定是动力，F2做负功一定是阻力，其做功一样多，两个力的总功等于这两个力所做功的代数和，故总功为0，B、C正确，D错误。
知识点二　功的计算
3.哈尔滨冰雪运动火遍全国，家长们纷纷带着小孩前往体验。如图所示，一儿童坐在雪橇上，雪橇在与竖直方向成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。此过程中拉力F对雪橇做的功为(　　)
A.l B.l
C．Flsinθ D．Flcosθ
答案：C
解析：由题图可得拉力F与雪橇位移的夹角α＝90°－θ，则拉力F对雪橇做的功为W＝Flcosα＝Flsinθ，故选C。
4．(多选)质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离L，如图所示。已知斜面运动过程中物体相对斜面始终静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．合力对物体做功为零
B．重力对物体做功为mgLtanθ
C．物体克服摩擦力做功为mgLsinθcosθ
D．支持力对物体做功为mgLsinθ
答案：AC
解析：物体做匀速直线运动，合力为零，则合力做功W合＝0，故A正确；物体沿水平方向运动，沿重力方向没有位移，所以重力做功WG＝0，故B错误；物体受到的摩擦力沿斜面向上，受力分析知，其大小为f＝mgsinθ，则摩擦力做功Wf＝fLcos(180°－θ)＝－mgLsinθcosθ，因此物体克服摩擦力做功为mgLsinθcosθ，故C正确；支持力垂直斜面向上，受力分析知，其大小为N＝mgcosθ，则支持力做功WN＝NLcos(90°－θ)＝mgLsinθcosθ，故D错误。
知识点三　功率
5．在上海中心国际垂直马拉松赛中，我国一位女选手用时20 min 55 s抵达终点。上海中心大厦总高632 m，共计127层，比赛赛道终点设在119层，选手们经历了3398级台阶的考验，在终点552 m的高空俯视全城风光。该女选手比赛过程中克服重力做功的平均功率最接近(　　)
A．20 W B．50 W
C．200 W D．1×104 W
答案：C
解析：女选手的体重在50 kg左右，则比赛过程中克服重力做功的平均功率为P＝＝ W≈220 W，最接近200 W，故选C。
6.航天员在地面进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，在到达竖直状态的过程中，航天员所受重力的瞬时功率的变化情况是(　　)
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
答案：C
解析：秋千杆处于水平状态时，航天员的速度为零，重力的瞬时功率为零；在秋千杆到达竖直状态时，航天员的速度沿水平方向，与重力的方向垂直，重力的瞬时功率也为零；摆动过程中重力的瞬时功率不为零，即重力的瞬时功率先增大后减小，C正确。
7.如图所示，汽车停在缓坡上，要求驾驶员在保证汽车不后退的前提下向上启动，这就是汽车驾驶中的“坡道起步”。驾驶员的正确操作是将变速杆挂入低速挡，徐徐踩下加速踏板，然后慢慢松开离合器，同时松开手刹，汽车慢慢启动。下列说法正确的是(　　)
A．变速杆挂入低速挡，是为了能够提供较大的牵引力
B．变速杆挂入低速挡，是为了增大汽车的输出功率
C．徐徐踩下加速踏板，是为了让牵引力对汽车做更多的功
D．徐徐踩下加速踏板，是为了让汽车的输出功率保持为额定功率
答案：A
解析：根据P＝Fv可知，将变速杆挂入低速挡，是为了在输出功率相同的情况下提供更大的牵引力，A正确，B错误；徐徐踩下加速踏板，是为了增大汽车的输出功率，以提供合适的牵引力，C、D错误。
8.(多选)如图所示，在某次体能训练中，运动员身上系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑，2 s末轮胎的速度大小为4 m/s。已知绳与地面的夹角θ＝37°，绳对轮胎的拉力大小为50 N，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B．第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C．前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为80 W
D．第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
答案：BC
解析：轮胎(运动员)前2 s内的位移为x＝t＝4 m，前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为W＝Fxcosθ＝50×4×0.8 J＝160 J，故A错误；根据v＝at，解得运动员的加速度为a＝2 m/s2，第1 s内的位移为x′＝at′2＝1 m，第2 s内的位移为x″＝x－x′＝3 m，第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为W′＝Fx″cosθ＝50×3×0.8 J＝120 J，故B正确；前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为＝＝80 W，故C正确；第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率P＝Fvcosθ＝50×4×0.8 W＝160 W，故D错误。
9.(多选)如图所示，一架喷气式战斗机从水平经一段圆弧向上爬升直至机身竖直，假设飞机沿圆弧运动时速度大小不变，发动机推力方向沿轨迹切线，飞机所受升力垂直于机身，空气阻力大小不变，则飞机沿圆弧运动时(　　)
A．飞机克服重力做功的功率保持不变
B．飞机克服重力做功的功率越来越大
C．飞机发动机推力做功的功率保持不变
D．飞机发动机推力做功的功率逐渐增大
答案：BD
解析：设飞机质量为m，沿圆弧运动时速度大小为v，速度方向(发动机推力方向)与水平方向夹角为θ，则飞机在竖直方向的速度为vy＝vsinθ，飞机沿圆弧向上运动，θ增大，竖直方向的速度vy增大，所以克服重力做功的功率PG＝mgvy＝mgvsinθ越来越大，故A错误，B正确；设发动机推力为F，推力与速度同向，则其功率P＝Fv，飞机沿圆弧的运动看作是匀速圆周运动，则沿切线方向上有F－mgsinθ－f＝0，解得F＝mgsinθ＋f，飞机沿圆弧向上运动，θ增大，则F增大，功率P逐渐增大，故C错误，D正确。
10．(多选)哈尔滨冰雪大世界始创于1999年，展示了北方名城的冰雪文化和冰雪旅游魅力。冰滑梯是冰雪大世界的保留项目，一质量为m的游客，从长为L的滑梯顶端由静止开始下滑。已知重力加速度为g，直滑梯与水平面的夹角为θ，不计各种摩擦阻力。下列说法正确的是(　　)
A．整个下滑过程中，支持力对游客做的功为0
B．整个下滑过程中，重力对游客做的功为mgL
C．整个下滑过程中，重力的平均功率为
D．滑到底端时，重力的瞬时功率为
答案：AC
解析：整个下滑过程中，支持力始终与游客的位移垂直，对游客做的功为0，故A正确；整个下滑过程中，游客在竖直方向上的位移为h＝Lsinθ，则重力对游客做的功为WG＝mgh＝mgLsinθ，故B错误；根据牛顿第二定律可得mgsinθ＝ma，根据运动学公式有L＝at2，整个下滑过程中，重力的平均功率＝，联立可得＝，故C正确；滑到底端时，游客的速度为v＝at，在竖直方向的分速度为vy＝vsinθ，重力的瞬时功率P＝mgvy，联立解得P＝，故D错误。
11.如图为直升机抢救伤员的情景，直升机悬停在空中，用绳索将伤员由静止向上吊起，初始阶段绳索对伤员做功的功率恒定，则在此阶段中(不计空气阻力)(　　)
A．绳索对伤员的拉力越来越大
B．伤员的加速度越来越小
C．伤员克服重力做功的功率恒定
D．合力对伤员做功的功率不变
答案：B
解析：绳索对伤员做功的功率恒定，伤员加速上升过程中，速度增大，由P＝Fv可知，拉力F越来越小，A错误；由牛顿第二定律可得F－mg＝ma，可知伤员的加速度越来越小，B正确；伤员克服重力做功的功率为P′＝mgv，可知伤员在加速上升阶段，克服重力做功的功率越来越大，C错误；合力对伤员做功的功率为P合＝ma·v＝(F－mg)v＝Fv－mgv＝P－mgv，速度v增大，则P合减小，D错误。
12.如图所示，在光滑的水平面上有一质量为m＝10 kg的物体。在水平推力F1＝20 N的作用下，从静止开始做匀加速直线运动。运动3 s后推力F的大小变为F2＝10 N，方向不变。求：
(1)推力F在3 s内对物体所做的功；
(2)推力F在3 s内对物体做功的平均功率；
(3)推力F在4 s时做功的瞬时功率。
答案：(1)180 J　(2)60 W　(3)70 W
解析：(1)设运动物体在前3 s内的加速度为a1，运动位移为x1，第3 s末的速度大小为vt，则有
a1＝＝ m/s2＝2 m/s2
x1＝a1t2＝×2×32 m＝9 m
vt＝a1t＝2×3 m/s＝6 m/s
所以推力F在3 s内对物体做的功
W1＝F1x1＝20×9 J＝180 J。
(2)推力F在3 s内对物体做功的平均功率
＝＝ W＝60 W。
(3)3 s后物体的加速度a2＝＝1 m/s2
4 s时物体的运动速度
vt′＝vt＋a2t2＝6 m/s＋1×1 m/s＝7 m/s
所以推力F在4 s时做功的瞬时功率
P＝F2vt′＝10×7 W＝70 W。
13．(多选)质量为4 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速直线运动，2 s后撤去F，其运动的v t图像如图所示，g取10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A．拉力F对物体做功300 J
B．拉力F对物体做功700 J
C．摩擦力对物体做功－350 J
D．第4 s时力F的瞬时功率为100 W
答案：AC
解析：设物体受到水平面的摩擦力大小为f，v t图线的斜率表示加速度，则物体在0～2 s内的加速度大小为a1＝ m/s2＝2.5 m/s2，在2～6 s内的加速度大小为a2＝ m/s2＝2.5 m/s2，根据牛顿第二定律有F－f＝ma1，f＝ma2，解得F＝20 N，f＝10 N，v t图像中图线与时间轴所围面积表示位移大小，则物体在0～2 s内的位移大小为x1＝ m＝15 m，0～6 s内的位移大小为x2＝x1＋ m＝35 m，可知拉力F对物体做功W1＝Fx1＝300 J，摩擦力f对物体做功W2＝－fx2＝－350 J，故A、C正确，B错误；由题意可知，t＝2 s时力F撤去，由P＝Fv可知，第4 s时力F的瞬时功率为0，故D错误。
14(共59张PPT)
第八章　机械能守恒定律
1.功与功率
目录
1
课后课时作业
任务
2
任务
初中物理我们学过，物体的运动方向与力的方向一致
时，力对物体做的功等于力的大小与物体移动距离的乘积。
更普遍的情形是物体运动的方向与力的方向不一致，如图
所示，恒力F与物体移动位移l的夹角为α，这时应当怎样计算功呢？
任务1　功
提示：可以把力F分解为两个分力：与位移方向一致的分力F1＝Fcosα，以及与位移方向垂直的分力F2＝Fsinα，如图所示。物体在分力F2的方向上没有位移，故这个分力不做功；而另一分力F1与物体的运动方向相同，故可以用公式
W＝Fl计算，其值为F1l。由于F与两个分力为等效替代关系，说明
F做的功等效为分力Fcosα做的功，即F做的功为W＝F1l＝Flcosα。
1．功
(1)力对物体所做的功，等于_________、____________、__________________这三者的乘积。
(2)做功的公式：W＝_________，其中F、l、α分别为__________、_____________和_________________。当力F与位移l同向时，W＝_____。
(3)功是_____量。在国际单位制中，功的单位是______，简称____，符号是____。1 J等于1 N的力使物体在_____的方向上发生1 m位移的过程中所做的功，所以1 J＝1 N·m。
力的大小
位移的大小
力与位移夹角的余弦
Flcosα
力的大小
位移的大小
力与位移的夹角
Fl
标
焦耳
焦
J
力
0
>
正
<
负
代数和
合力
思考：一个力对物体做了－10 J的功，另一个力对物体做了5 J的功。有人说，－10 J的功比5 J的功小，这种说法对吗？
提示：这种说法不对。功的“＋”“－”号不代表功的大小，只代表动力做功还是阻力做功，功的大小等于其绝对值，－10 J的功比5 J的功大。
1．判一判
(1)力F1、F2做的功分别为W1＝10 J、W2＝－15 J，则W1、W2的方向相反。( 　)
(2)力F1、F2做的功分别为10 J和－15 J，则力F1和F2做的总功为－5 J。(　 )
提示： (1)×　功是标量，没有方向。
(2)√　物体所受各力对它做的总功，等于各力做功的代数和，即W＝10 J＋(－15) J＝－5 J。
2．想一想
“功”和“能量”的国际单位制单位都是“J”，它们是指同一个物理量吗？若不是同一个物理量的话，它们是什么关系？
提示：功和能量不是同一个物理量，功是能量转化的量度，做功一定伴随着能量转化；能量转化可以通过做功来实现，做了多少功就有多少能量转化。
1．功的理解
(1)功的两个决定因素
①作用在物体上的力；
②物体在力的方向上的位移。
(2)功是力在空间上的积累效应，它总是与一个过程相联系，因此，功是一个过程量。计算功时，一定要明确是哪个力在哪一过程中对物体做的功。
2．对公式W＝Flcosα的理解
(1)W＝F·lcosα可理解为功等于力F与沿力F方向的位移lcosα的乘积。
(2)W＝Fcosα·l 可理解为功等于沿位移方向的分力Fcosα与位移l的乘积。
(3)公式W＝Flcosα仅适用于恒力做功。
(4)公式W＝Flcosα中的l一般指力的作用点相对地面的位移。
3．对正功和负功的认识
(1)功是标量，正负号既不表示大小，也不表示方向，只表示动力做功还是阻力做功。
(2)一个力对物体做负功时，我们可以说成物体克服这个力做了功(正值)。如摩擦力对滑块做了－5 J的功，可以说成滑块克服摩擦力做了5 J的功。
4．计算总功的两种方法
(1)先由W＝Flcosα计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcosα计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角。
误区警示：作用力和反作用力做功的特点
作用力和反作用力作用在两个不同的物体上，它们大小相等，方向相反。可能都做正功、都做负功、都不做功，也可能一个做功一个不做功。做功的大小不一定相等，因为它们分别作用于两个物体上，每个物体都可能还受其他力，其位移情况可能不同。
如图所示，一个物体放在水平面上，在跟竖直方向成θ角的斜向下的推力F的作用下沿水平面移动了距离s。若物体的质量为m，物体与地面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中，对该物体，(　　)
A．摩擦力做的功为fs B．力F做的功为Fscosθ
C．力F做的功为Fssinθ D．重力做的功为mgs
解析　物体与地面之间的摩擦力大小为f，物体的位移的大小为s，且两者的夹角为180°，由功的公式可得摩擦力做的功为－fs，所以A错误。力F与竖直方向成θ角，在水平方向的分力为Fsinθ，F做的功为Fssinθ，所以B错误，C正确。重力在竖直方向上，物体在竖直方向的位移是零，所以重力做的功为零，D错误。
计算恒力做功要注意的三个问题
(1)计算功时一定要明确是哪个力对哪个物体在哪段位移过程中做的功。
(2)力F与位移l必须互相对应，即l必须是力F作用过程中的位移。
(3)某力对物体做的功只跟这个力、物体的位移以及力与位移间的夹角有关，跟物体的运动情况、物体是否还受其他力以及其他力是否做功均无关。
如图所示，大小为12 N、沿水平方向的恒力F作用在质量为2 kg的木箱上，使木箱在水平地面上沿直线运动。已知木箱与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2。当木箱从静止开始运动了12 m时，下列说法正确的是(　　)
A．力F做的功W1＝120 J
B．重力做的功W2＝240 J
C．克服摩擦力做的功W3＝120 J
D．合力做的功W合＝0
(1)力F、重力、摩擦力的方向与木箱位移的方向有什么关系？
提示：力F的方向与木箱位移的方向相同，重力的方向与木箱位移的方向垂直，摩擦力的方向与木箱位移的方向相反。
(2)如何求合力做的功？
提示：可以先求各个分力做的功，然后求其代数和。
解析　根据做功公式可得力F做的功W1＝Fl＝144 J，故A错误；木箱在重力方向上没有位移，则重力不做功，故B错误；根据做功公式可得摩擦力Ff做的功W3′＝Fflcos180°＝－μmgl＝－120 J，所以克服摩擦力做的功W3＝120 J，故C正确；合力做的功W合＝W1＋W3′＝24 J，故D错误。
[跟进训练]　如图所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，货物从斜面顶端滑到底端的过程中(取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，下列说法正确的是(　　)
A．重力做功100 J B．支持力做功80 J
C．摩擦力做功16 J D．合力做功44 J
解析：重力G对货物做的功W1＝mglsin37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J，A错误；支持力FN与货物运动方向始终垂直，对货物不做功，W2＝0，B错误；摩擦力Ff对货物做负功，W3＝－Ffl＝－μmgcos37°·l＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J，C错误；合力做的功为W＝W1＋W2＋W3＝60 J＋0－16 J＝44 J[若先计算合力再求功，则合力做的功W＝F合l＝(mgsin37°－μmgcos37°)l＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J]，D正确。
问题1：做功的快慢叫功率，已知在时间t内，力做的功为W，它的功率P应该如何表示？
任务2　功率
问题2：如图，从计时开始到时刻t这段时间内，物体在恒力F作用下沿力的方向发生的位移是l，这段时间内物体的平均速度为v，则力F在这段时间内所做功的功率P是多少？
1．定义：功W与完成这些功所用时间t_______。
2．定义式：P＝____。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是______，简称____，符号是____。1 W＝1 J/s，1 kW＝103 W。
4．物理意义：表示做功______的物理量。
之比
瓦特
瓦
W
快慢
5．功率与速度的关系
(1)功率与速度的关系式：P＝_____(F与v方向相同)，即一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的_______。
(2)应用：汽车上坡时司机要用“换挡”的办法______速度，来得到_______的牵引力。不过，在发动机输出功率一定时，通过减小速度提高牵引力或通过____________而提高速度，效果都是有限的，所以，要提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的_______功率。
Fv
乘积
减小
较大
减小牵引力
额定
提示：(1)×
(2)√　功率与做功多少和所用时间长短均有关，是描述做功快慢的物理量。
(3)×　只有速度竖直向下时，重力的功率才是mgv。
(4)×　汽车爬坡时需要减小速度来增大牵引力，常常需要换低速挡。
1．功率表示的是力做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然。
质量为2 kg的小球从某一高度由静止释放，经3 s到达地面，不计空气阻力，g取10 m/s2。则(　　)
A．落地时重力的瞬时功率为900 W
B．落地时重力的瞬时功率为450 W
C．3 s内重力的平均功率为600 W
D．3 s内重力的平均功率为300 W
(1)本题如何计算瞬时功率？
(2)本题如何计算平均功率？
提示： P＝Fv。
汽车发动机通过变速箱将动力传输给运动系统，一般赛车的变速箱有1挡到5挡5个逐次增高的前进挡位，在发动机输出功率不变时，挡位越高车速越快，加大油门可以增大发动机的输出功率。在赛车越野比赛中难免会遇到需要爬坡的情况，为了能够顺利爬上陡坡，司机应该(　　)
A．拨到1挡，减小油门 B．拨到1挡，加大油门
C．拨到5挡，减小油门 D．拨到5挡，加大油门
课后课时作业
知识点一　功的理解
1．(多选)一个力对物体做了负功，则说明(　　)
A．这个力一定阻碍物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
解析：由功的表达式W＝Flcosα知，只有当α>90°时，cosα<0，力对物体做负功，此力一定阻碍物体的运动，故A、C正确，B、D错误。
2．(多选)一物体在两个力F1、F2的共同作用下发生了一段位移，做功分别为W1＝6 J、W2＝－6 J，下列说法正确的是(　　)
A．这两个力一定大小相等、方向相反
B．F1是动力，F2是阻力
C．这两个力做的总功为0
D．F1比F2做的功多
解析：由力F1、F2做功的正负可以确定力F1、F2与位移的夹角分别小于90°、大于90°，但这两个力不一定大小相等、方向相反，A错误；F1做正功一定是动力，F2做负功一定是阻力，其做功一样多，两个力的总功等于这两个力所做功的代数和，故总功为0，B、C正确，D错误。
解析：由题图可得拉力F与雪橇位移的夹角α＝90°－θ，则拉力F对雪橇做的功为W＝Flcosα＝Flsinθ，故选C。
4．(多选)质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离L，如图所示。已知斜面运动过程中物体相对斜面始终静止，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．合力对物体做功为零
B．重力对物体做功为mgLtanθ
C．物体克服摩擦力做功为mgLsinθcosθ
D．支持力对物体做功为mgLsinθ
解析：物体做匀速直线运动，合力为零，则合力做功W合＝0，故A正确；物体沿水平方向运动，沿重力方向没有位移，所以重力做功WG＝0，故B错误；物体受到的摩擦力沿斜面向上，受力分析知，其大小为f＝mgsinθ，则摩擦力做功Wf＝fLcos(180°－θ)＝－mgLsinθcosθ，因此物体克服摩擦力做功为mgLsinθcosθ，故C正确；支持力垂直斜面向上，受力分析知，其大小为N＝mgcosθ，则支持力做功WN＝NLcos(90°－θ)＝mgLsinθcosθ，故D错误。
知识点三　功率
5．在上海中心国际垂直马拉松赛中，我国一位女选手用时20 min 55 s抵达终点。上海中心大厦总高632 m，共计127层，比赛赛道终点设在119层，选手们经历了3398级台阶的考验，在终点552 m的高空俯视全城风光。该女选手比赛过程中克服重力做功的平均功率最接近(　　)
A．20 W B．50 W
C．200 W D．1×104 W
6.航天员在地面进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，如图所示，在到达竖直状态的过程中，航天员所受重力的瞬时功率的变化情况是(　　)
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
解析：秋千杆处于水平状态时，航天员的速度为零，重力的瞬时功率为零；在秋千杆到达竖直状态时，航天员的速度沿水平方向，与重力的方向垂直，重力的瞬时功率也为零；摆动过程中重力的瞬时功率不为零，即重力的瞬时功率先增大后减小，C正确。
7.如图所示，汽车停在缓坡上，要求驾驶员在保证汽车不后退的前提下向上启动，这就是汽车驾驶中的“坡道起步”。驾驶员的正确操作是将变速杆挂入低速挡，徐徐踩下加速踏板，然后慢慢松开离合器，同时松开手刹，汽车慢慢启动。下列说法正确的是(　　)
A．变速杆挂入低速挡，是为了能够提供较大的牵引力
B．变速杆挂入低速挡，是为了增大汽车的输出功率
C．徐徐踩下加速踏板，是为了让牵引力对汽车做更多的功
D．徐徐踩下加速踏板，是为了让汽车的输出功率保持为额定功率
解析：根据P＝Fv可知，将变速杆挂入低速挡，是为了在输出功率相同的情况下提供更大的牵引力，A正确，B错误；徐徐踩下加速踏板，是为了增大汽车的输出功率，以提供合适的牵引力，C、D错误。
8.(多选)如图所示，在某次体能训练中，运动员身上系着轻绳拖着轮胎从静止开始沿着笔直的跑道匀加速奔跑，2 s末轮胎的速度大小为4 m/s。已知绳与地面的夹角θ＝37°，绳对轮胎的拉力大小为50 N，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内绳子拉力对轮胎所做的功为200 J
B．第2 s内运动员克服绳子拉力所做的功为120 J
C．前2 s内绳子拉力对轮胎做功的平均功率为80 W
D．第2 s末绳子拉力对轮胎做功的瞬时功率为200 W
9.(多选)如图所示，一架喷气式战斗机从水平经一段圆弧向上爬升直至机身竖直，假设飞机沿圆弧运动时速度大小不变，发动机推力方向沿轨迹切线，飞机所受升力垂直于机身，空气阻力大小不变，则飞机沿圆弧运动时(　　)
A．飞机克服重力做功的功率保持不变
B．飞机克服重力做功的功率越来越大
C．飞机发动机推力做功的功率保持不变
D．飞机发动机推力做功的功率逐渐增大
解析：设飞机质量为m，沿圆弧运动时速度大小为v，速度方向(发动机推力方向)与水平方向夹角为θ，则飞机在竖直方向的速度为vy＝vsinθ，飞机沿圆弧向上运动，θ增大，竖直方向的速度vy增大，所以克服重力做功的功率PG＝mgvy＝mgvsinθ越来越大，故A错误，B正确；设发动机推力为F，推力与速度同向，则其功率P＝Fv，飞机沿圆弧的运动看作是匀速圆周运动，则沿切线方向上有F－mgsinθ－f＝0，解得F＝mgsinθ＋f，飞机沿圆弧向上运动，θ增大，则F增大，功率P逐渐增大，故C错误，D正确。
11.如图为直升机抢救伤员的情景，直升机悬停在空中，用绳索将伤员由静止向上吊起，初始阶段绳索对伤员做功的功率恒定，则在此阶段中(不计空气阻力) (　　)
A．绳索对伤员的拉力越来越大
B．伤员的加速度越来越小
C．伤员克服重力做功的功率恒定
D．合力对伤员做功的功率不变
解析：绳索对伤员做功的功率恒定，伤员加速上升过程中，速度增大，由P＝Fv可知，拉力F越来越小，A错误；由牛顿第二定律可得F－mg＝ma，可知伤员的加速度越来越小，B正确；伤员克服重力做功的功率为P′＝mgv，可知伤员在加速上升阶段，克服重力做功的功率越来越大，C错误；合力对伤员做功的功率为P合＝ma·v＝(F－mg)v＝Fv－mgv＝P－mgv，速度v增大，则P合减小，D错误。
12.如图所示，在光滑的水平面上有一质量为m＝10 kg的物体。在水平推力F1＝20 N的作用下，从静止开始做匀加速直线运动。运动3 s后推力F的大小变为F2＝10 N，方向不变。求：
(1)推力F在3 s内对物体所做的功；
(2)推力F在3 s内对物体做功的平均功率；
(3)推力F在4 s时做功的瞬时功率。
答案： (1)180 J　(2)60 W　(3)70 W
13．(多选)质量为4 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速直线运动，2 s后撤去F，其运动的v t图像如图所示，g取10 m/s2，则下列说法中正确的是(　　)
A．拉力F对物体做功300 J
B．拉力F对物体做功700 J
C．摩擦力对物体做功－350 J
D．第4 s时力F的瞬时功率为100 W

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