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物理　必修 第二册 RJ
2．重力势能
1．知道重力做功的特点，即重力做功与路径无关。2.理解重力势能的概念，掌握重力做功与重力势能变化的关系。3.知道重力势能的相对性。4.理解弹性势能的概念，掌握弹力做功与弹性势能变化的关系。5.知道弹簧的弹性势能的大小跟弹簧劲度系数和形变量的关系。
任务1　重力做的功
在甲图中，物体从A运动到B，重力做功分别为多少？乙图中呢？丙图中呢？
提示：(1)图甲中物体竖直下落，重力和位移方向一致，可以用W＝Fl来计算重力做功，可以得出WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(2)图乙中物体沿着一个斜面向下运动到B，可假设先竖直向下运动到B′，在这一过程中重力做的功WG′＝mgΔh＝mgh1－mgh2，再从B′沿水平方向运动到B，该过程中重力不做功，所以整个过程重力的总功仍然是WG＝WG′＝mgh1－mgh2。
(3)图丙中，物体沿曲线由A运动到B，可以把整个路径无限细分为若干个小斜面(图乙的情境)，沿每个斜面运动时重力的功加起来就是从A运动到B重力做的功。
WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋mgΔh3＋…
＝mg(Δh1＋Δh2＋Δh3＋…)
＝mgΔh
＝mgh1－mgh2。
1．表达式：WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2，其中Δh表示物体起点和终点的高度差，h1、h2分别表示物体起点和终点的高度。
2．正负：物体下降时重力做正功，物体被举高时重力做负功。
3．特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
重力做功特点的理解
(1)通常情况下，重力是恒力，而恒力做功W＝Flcosα，就是力F与在力F方向上的位移的乘积，而重力方向上的位移与路径无关，只与高度差Δh有关。
(2)重力做功的特点可以推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点为：与物体运动的具体路径无关，只与起点和终点两个位置有关，恒力做的功等于力与沿着力方向的位移的乘积。
(3)物体在同一水平面上运动时，重力总是不做功。
(4)物体的竖直位移等于零，则重力做功的代数和等于零，但物体运动的过程中重力可能做功。
如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下，经过水平面BC后再滚上另一斜面，当它到达h的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做的功为(　　)
A.mgh B.mgh
C．mgh D．0
(1)重力做功的特点是什么？
提示：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)小球始末位置的高度差是多少？
提示：Δh＝h－h＝h。
[解析]　重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。该过程重力做功为WG＝mgΔh＝mg＝mgh，故选B。
[答案]　B
在物体运动的过程中重力可能会反复做正功、负功，但是这些正功、负功高度差相同的部分就会抵消，无论往复多少次，最后只看始末位置的高度差；物体往上运动的过程中重力做负功，往下运动的过程中重力做正功，其值都为mgΔh，Δh为始末位置的高度差。
任务2　重力势能　重力势能的相对性
初中我们已经定性地学习了重力势能，物体的质量越大、所处的位置越高，重力势能就越大；物体下降时重力做正功，重力势能减小；物体被举高时重力做负功，重力势能增大。如图所示，将质量为m的物体从A移到B，重力做正功，你认为该物体的重力势能的表达式应该是怎样的呢？
提示：从A到B，重力做功：WG＝mg(h1－h2)，展开得到WG＝mgh1－mgh2，从功与能的关系的角度看，功是能量转化的量度。左边是功，右边应该是能，而且应该对应着两个状态，两个状态都只与高度和重力有关，结合初中所学重力势能的特点可知，mg与h的乘积就表示重力势能，Ep＝mgh。
1．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh，其中h表示物体所处位置的高度。
(2)单位：焦耳，与功的单位相同。
(3)标矢性：重力势能是标量，正负表示大小。
(4)重力做功与重力势能变化的关系
①表达式：WG＝Ep1－Ep2。
②当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少；当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加。
2．重力势能的相对性
(1)参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面。在参考平面上，物体的重力势能取为0。
(2)重力势能的相对性
选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。
对选定的参考平面而言，上方物体的高度是正值，重力势能也是正值；下方物体的高度是负值，重力势能也是负值。负值的重力势能，表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。
1．判一判
(1)重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反。(　　)
(2)同一物体的重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1>Ep2。(　　)
提示：(1)×　重力势能是标量，没有方向。
(2)√　重力势能为正值，表示物体处于参考平面的上方，为负值表示物体处于参考平面的下方，而同一物体在越高的地方重力势能越大。
2．想一想
滑雪运动员从雪山高处高速滑下，运动员的重力做了正功还是负功？其重力势能增大了还是减小了？当冲上另一个高坡时会怎样？
提示：运动员从高处滑下，位移向下，重力做了正功，由于高度降低，其重力势能减小；当运动员冲上另一个高坡时，重力做负功，重力势能增大。
1．重力做功与重力势能变化的关系
重力做功WG＝Ep1－Ep2。Ep1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，Ep2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能。重力做多少正功，重力势能减少多少；重力做多少负功，重力势能增加多少。
深化思考：地球附近的物体由于受到地球的引力而具有引力势能，试写出万有引力做功与引力势能变化量的关系式。
提示：W引＝Ep1－Ep2。
2．重力势能的系统性
重力是地球与物体之间的相互作用力，如果没有地球，就不会有重力，也不存在重力势能，所以严格地说，重力势能是由地球与地球上的物体所组成的“系统”共有的，而不是地球上的物体单独具有的。平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化的说法。
3．对重力势能相对性的理解
(1)重力势能的相对性
对同一物体，选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值，即重力势能的大小与参考平面的选取有关。
(2)重力势能变化的绝对性
物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关。
深化思考：我们知道，空气阻力做功与路径有关，能定义“空气阻力势能”吗？
提示：如图所示，物体沿不同的路径从A点运动到B点，因为空气阻力做功与路径有关，所以沿不同路径运动的过程空气阻力做的功可能不同，若存在“空气阻力势能”，以A点为参考点，则从A到B，“空气阻力势能”的变化量可能不同，从而导致物体在B点的“空气阻力势能”无法确定，所以不能定义“空气阻力势能”。
一只100 g的球从1.8 m的高度处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g＝10 m/s2)(　　)
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．球的重力势能一定减少0.55 J
D．球的重力势能一定增加1.25 J
(1)怎么求整个过程重力做的功较方便？
提示：WG＝mgΔh总，其Δh总是整个过程沿竖直方向的位移差，向下为正。
(2)如何求重力势能的变化量？
提示：WG＝－ΔEp。
[解析]　整个过程重力对球做正功，其大小为W＝mgΔh＝mg(h1－h2)＝0.55 J，A、B错误；重力做正功，重力势能减少，且重力做多少正功，重力势能就减少多少，因此球的重力势能减少了0.55 J，C正确，D错误。
[答案]　C
重力做功的两种求解方法 (1)根据功的定义式求解：先求始末位置的高度差，再求出重力与此高度差的乘积，即为重力做的功(前面已讲)。 (2)根据重力势能的变化与重力做功的关系求解：重力做的功等于重力势能变化量的负值，WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
如图是地图上某小山包的等高线图，a、b、c为山包上的三个点在地图上的位置，g取10 m/s2。
(1)若选择海平面为重力势能参考面，质量为55 kg的学生在a、b、c位置时的重力势能是多大？他从a位置上升到c位置，重力做了多少功？
(2)若选择100 m的等高线所在平面为重力势能参考面，则质量为55 kg的学生在a、b、c位置时的重力势能是多大？他从a位置上升到c位置，重力做了多少功？
(1)选择不同的参考平面，物体在某位置的重力势能相同吗？
提示：不同。
(2)重力做的功与参考平面的选取有关吗？
提示：无关。
[解析]　(1)若选择海平面为重力势能参考面，学生在a、b、c位置时，相应的重力势能为
Epa＝mgha＝55×10×50 J＝2.75×104 J
Epb＝mghb＝55×10×100 J＝5.5×104 J
Epc＝mghc＝55×10×150 J＝8.25×104 J
他从a位置上升到c位置，重力做功为WG＝－mg(hc－ha)＝－55×10×(150－50) J＝－5.5×104 J。
(2)若选择100 m的等高线所在平面为参考面，学生在a位置时，他相对于重力势能参考面的高度hab＝50 m－100 m＝－50 m
重力势能
Epa′＝mghab＝55×10×(－50) J＝－2.75×104 J
学生在b位置时，因为就在重力势能参考面上，所以重力势能Epb′＝0
学生在c位置时，他相对于重力势能参考面的高度hcb＝150 m－100 m＝50 m
重力势能Epc′＝mghcb＝55×10×50 J＝2.75×104 J
从a位置上升到c位置，重力做的功等于重力势能增量的负值，则
WG′＝－ΔEp＝Epa′－Epc′＝－2.75×104 J－2.75×104 J＝－5.5×104 J。
[答案]　(1)2.75×104 J　5.5×104 J　8.25×104 J　－5.5×104 J
(2)－2.75×104 J　0　2.75×104 J　－5.5×104 J
重力势能的两种求解方法 (1)根据重力势能的定义求解：选取零势能参考平面，由Ep＝mgh可求质量为m的物体在离零势能参考平面h高度处的重力势能。 (2)由重力做功与重力势能变化的关系求解：由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2。
[跟进训练]　一棵苹果树上有一个质量为0.3 kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A处先落到地面C处，最后滚入沟底D处。A、B、C、D、E水平面之间竖直距离如图所示。以地面C为零势能面，g取10 m/s2，则该苹果从A处落下到D处的过程中，重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是(　　)
A．15.6 J和9 J B．9 J和－9 J
C．15.6 J和－9 J D．15.6 J和－15.6 J
答案：C
解析：以地面C为零势能面，根据重力势能的计算公式得该苹果在D处的重力势能EpD＝mghD＝0.3×10×(－3.0) J＝－9 J；该苹果从A处落下到D处的过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh＝0.3×10×(0.7＋1.5＋3.0) J＝15.6 J，故C正确。
任务3　弹性势能
如图所示，先将小球从O点移到P点，再移到Q点，弹簧弹力对小球做的功是WOPQ，将小球从O点直接移到Q点，弹簧弹力对小球做的功是WOQ，则WOPQ与WOQ有什么关系？
提示：虽然形变量不同时，弹簧弹力不同，但弹簧形变量相同时，弹力的大小、方向是唯一的，则在同一点附近分别将小球向左、向右移动相同微小距离Δx，弹簧弹力对小球做的功大小相等，结合微元累积法可知，将小球从O点移到P点，弹簧弹力对小球做的功WOP的大小，等于将小球从P点移到O点，弹簧弹力对小球做的功WPO的大小，即|WOP|＝|WPO|；又根据功的正负可知，WOP<0，WPO>0，则WOP＝－WPO。故WOPQ＝WOP＋WPO＋WOQ＝WOQ，所以弹簧弹力做功与路径无关，即同样可以定义弹性势能。
1．弹性势能的概念
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
2．弹性势能大小的影响因素
(1)弹性势能跟形变的大小有关系。在弹性限度内，弹簧的弹性势能跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关。被拉伸或压缩的长度越长，恢复原状过程中对外做的功就越多，弹簧的弹性势能就越大。
(2)弹簧的弹性势能还跟弹簧的劲度系数有关。不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹簧恢复原状过程中对外做的功就越多，因而弹簧的弹性势能就越大。
3．势能也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。重力势能是由地球和地面上物体的相对位置决定的，弹性势能是由发生弹性形变的物体各部分的相对位置决定的。
判一判
(1)在弹性限度内，不同弹簧发生相同的形变量时弹性势能相同。(　　)
(2)在弹性限度内，同一弹簧，压缩量不同时弹性势能不同。(　　)
提示：(1)×
(2)√　同一弹簧，劲度系数一定，在弹性限度内，压缩量不同，恢复原状过程中对外做的功不同，则弹簧具有的弹性势能不同。
1．弹性势能的产生原因
(1)物体发生了弹性形变。
(2)各部分间有弹力作用。
2．弹性势能变化与弹力对外做功的关系
(1)定性关系：弹力对外做负功时，弹性势能增大；弹力对外做正功时，弹性势能减小。
(2)弹力对外做功与弹性势能的关系式：W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。
关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
[解析]　如果弹簧处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能先变小后变大，在原长处最小，如果弹簧处于拉伸状态，当它变短时，它的弹性势能先变小后变大，在原长处最小，故A、B错误；弹簧拉伸长度相同，即形变量相同，劲度系数大的弹簧恢复原状过程中对外做的功多，则弹性势能大，故C正确；同一弹簧，弹性势能大小与形变量大小有关，与其处于拉伸或压缩状态无关，故D错误。
[答案]　C
1．分析弹性势能变化的两个方法 (1)弹簧的形变量变大，弹性势能随之变大；弹簧的形变量变小，弹性势能随之变小。 (2)根据功能关系分析，弹簧弹力对外做正功，弹性势能减小；弹簧弹力对外做负功，弹性势能增大。 2．一般规定弹簧为原长时弹性势能为零，所以弹簧伸长时和弹簧压缩时弹性势能都增加，且伸长量和压缩量相同时，弹性势能相同。
[跟进训练]　(多选)如图所示，质量为m的物块与弹簧连接，静止在倾角为θ的光滑斜面上，且弹簧与斜面平行。用一外力使物块缓慢沿斜面运动直至弹簧恢复原长，物块对弹簧做功的大小为W。规定弹簧处于原长时弹性势能为0。该过程中，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧弹力对物块做负功
B．弹簧的弹性势能一直增大
C．弹簧弹性势能的变化量大小为W
D．开始时弹簧的弹性势能为W
答案：CD
解析：用一外力使物块缓慢沿斜面运动直至弹簧恢复原长，可知弹簧弹力对物块做正功，弹簧弹性势能减小，故A、B错误；根据牛顿第三定律结合题意可知，该过程中弹簧对物块做功大小也为W，根据弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系可知W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp，则该过程弹簧弹性势能的变化量为ΔEp＝－W，其大小为W，又由题意知Ep2＝0，则开始时弹簧的弹性势能Ep1＝W，C、D正确。
课后课时作业
知识点一　重力做的功
1．小李将质量为m的篮球(视为质点)从距水平地面高为h处由静止释放，篮球多次弹起后最终静止在地面上，篮球第n次弹起的高度hn＝(n＝1，2，3，…)。重力加速度大小为g。整个过程中，篮球受到的重力做的功为(　　)
A．0 B.mgh
C．mgh D．2mgh
答案：C
解析：由题意可知最终篮球将静止在地面上，整个过程篮球初、末状态的高度差为h，所以篮球受到的重力做的功为mgh，故选C。
知识点二　重力势能
2．关于重力势能，以下说法中正确的是(　　)
A．某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的
B．重力势能为0的物体，不可能对别的物体做功
C．物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变
D．只要重力做功，重力势能一定变化
答案：D
解析：选取不同的零势能面，则同一位置的物体的重力势能是不同的，A错误；重力势能为零只是表明物体处于零势能面上，它对其他物体同样可以做功，B错误；物体若在竖直方向做匀速直线运动，则物体的高度变化，重力势能也会发生变化，C错误；重力做功是重力势能变化的量度，即若重力做功，重力势能一定发生变化，故D正确。
3．物体做自由落体运动，Ep表示重力势能，h表示下落的距离，以水平地面为零势能面，下列图像中能正确反映Ep和h之间关系的是(　　)
答案：B
解析：设物体初始位置高度为H，由重力势能公式得Ep＝mg(H－h)＝mgH－mgh，由数学知识可知重力势能与h的关系图像为斜向下的直线，故B正确。
4．质量为20 kg的铁板，厚度不计，平放在二楼的地面上。二楼地面与楼外地面的高度差约为3 m，这块铁板相对二楼地面和楼外地面的重力势能分别为(　　)
A．600 J、0 B．0、600 J
C．1200 J、0 D．0、1200 J
答案：B
解析：铁板相对于二楼地面的高度是零，故铁板相对于二楼地面的重力势能为零；铁板相对于楼外地面的高度为3 m，则铁板相对于楼外地面的重力势能Ep＝mgh＝20×10×3 J＝600 J，故选B。
5．(多选)如图所示，是足球比赛运动员发定位球的示意图，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球恰好飞过高为h0的人墙顶部，并继续在空中运动到最高点h，足球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．以过人墙顶部的水平面为参考平面，足球在最高点的重力势能为mg(h－h0)
B．足球从被踢出至运动到最高点的过程中，重力势能增加了mg(h－h0)
C．足球从被踢出至运动到最高点的过程中，重力做功为－mgh
D．足球运动到最高点时，重力的瞬时功率最大
答案：AC
解析：选取过人墙顶部的水平面为参考平面，足球在最高点时高度为h－h0，重力势能为mg(h－h0)，A正确；足球从被踢出至运动到最高点的过程中，高度增加了h，重力做功为－mgh，则重力势能增加了mgh，B错误，C正确；足球运动到最高点时，vy＝0，重力的瞬时功率为零，最小，D错误。
6．质量为m的均匀链条长为L，刚开始放在光滑的水平桌面上(桌面高度大于L)，有L的长度悬在桌面边缘，如图所示。松手后，链条滑离桌面，则从开始到链条刚滑离桌面的过程中，链条的重力势能变化了多少？
答案：减少了mgL
解析：解法一(等效法)：由图中初态和末态比较，可等效成将开始桌面上L长的链条移至末态的下端L处，故重心下降了L，所以重力势能减少了mg×L＝mgL，即ΔEp＝－mgL。
解法二(用定义式ΔEp＝Ep2－Ep1来求解)：
设桌面为参考平面，开始时重力势能
Ep1＝mg×＝－
末态时重力势能Ep2＝mg×＝－
故重力势能变化量ΔEp＝Ep2－Ep1＝－mgL。
[名师点拨]　1.选择合适的参考平面可以使计算更方便。
2．非质点物体的重力势能看重心位置
(1)不能看成质点的物体相对于参考平面的高度是指其重心相对参考平面的高度。
(2)粗细均匀、质量分布均匀的长直链条(绳索)，其重心在长度的一半处。
(3)研究对象呈折线状放置时，整体重心位置不好确定，可采用分段法，如本题中，将链条分为开始时的水平和竖直两段，分别求出两段重力做的功或重力势能的变化，再将所得结果求和便可。
知识点三　弹性势能
7．蹦床运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，蹦床对运动员做功和蹦床弹性势能的变化情况分别是(　　)
A．蹦床对运动员做正功，蹦床的弹性势能增大
B．蹦床对运动员做正功，蹦床的弹性势能减小
C．蹦床对运动员做负功，蹦床的弹性势能增大
D．蹦床对运动员做负功，蹦床的弹性势能减小
答案：B
解析：蹦床对运动员的作用力向上，与位移方向相同，所以蹦床对运动员做正功，根据功能关系可知，蹦床对运动员做正功，蹦床的弹性势能减小，故B正确。
8．(多选)图甲是玩蹦极游戏的示意图，将弹性绳子的一端系在人身上，另一端固定在高处，然后人从高处跳下。图乙是人到达最低点时的情况，其中AB为弹性绳子的原长，C点是弹力等于重力的位置，D点是人所到达的最低点，对于人离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力对人一直做正功
B．从C点到D点，弹性绳子对人做负功
C．人通过B点之后，弹性绳子具有弹性势能
D．从A点到D点，弹性绳子的弹性势能一直增加
答案：ABC
解析：整个过程中，重力对人一直做正功；人从高空落下到弹性绳子达到原长的过程中，弹性绳子的弹力不做功，此后弹性绳子的弹力一直做负功，弹性势能一直增加，A、B、C正确，D错误。
9.(多选)如图所示，两木块A、B的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，两弹簧分别连接A、B，整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提木块A，直到下面的弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中以下说法正确的是(　　)
A．A的重力势能增加了
B．A的重力势能增加了m1(m1＋m2)g2
C．B的重力势能增加了
D．B的重力势能增加了
答案：BD
解析：在初始状态，设上、下两弹簧的压缩量分别为x1和x2，对A、B整体，由平衡条件有(m1＋m2)g＝k2x2，故B在此过程中上升的距离为h2＝x2＝，B的重力势能增加了ΔEpB＝m2gh2＝，故C错误，D正确。对初始状态的A，根据平衡条件有k1x1＝m1g，解得x1＝；对末状态时的B，根据平衡条件有k1x1′＝m2g，解得上方弹簧的伸长量x1′＝，所以A在此过程中上升的距离为h1＝x1＋x1′＋x2＝＋＋＝(m1＋m2)g，A的重力势能增加了ΔEpA＝m1gh1＝m1(m1＋m2)g2，故A错误，B正确。
10.在“探究弹簧弹性势能的表达式”的实验中，把一轻质弹簧一端固定好，然后用力缓慢拉伸弹簧，使其形变量达到x0，如图甲所示，为进一步探究弹簧弹力F做的功W的大小，某同学采取下列做法：
(1)把弹簧拉伸Δx的过程分成很多小段，它们的长度分别是Δx1、Δx2、Δx3…，在各个小段上，弹簧弹力可看成不变，它们分别是F1、F2、F3…；
(2)那么，弹簧弹力在整个过程中做的功W可以表示为________________________________
__________(填写方程式)；
(3)以弹簧弹力的大小F为纵轴，形变量x为横轴，作F x图像如图乙所示。根据(2)问中的表达式的结果，|W|恰好等于图线与________(选填“横轴”或“纵轴”)所围的面积。已知弹簧的劲度系数为k，则弹簧形变量为x0时，弹性势能的表达式可以写作Ep＝________。
答案：(2)W＝－(F1Δx1＋F2Δx2＋F3Δx3＋…)
(3)横轴　kx
解析：(2)根据恒力做功的公式，弹簧弹力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋W3＋…＝－(F1Δx1＋F2Δx2＋F3Δx3＋…)。
(3)将x0分成很多段，认为每一段F不变，根据微元累积法，F1Δx1＋F2Δx2＋F3Δx3＋…等于图线与横轴围成的面积，即|W|等于图线与横轴所围的“面积”。由胡克定律可知，弹簧形变量为x0时，弹簧弹力F0＝kx0，则|W|＝F0x0＝kx，W＝－kx，根据功能关系可知W＝0－Ep，则Ep＝kx。
[名师点拨]　本题探索弹性势能表达式的过程中，又一次应用了微元累积法。在分析与弹簧弹性势能有关的选择题时，弹性势能的表达式可以直接应用。
11.在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为m的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动h，力F做功W1，如图所示。重力加速度为g。求：
(1)在木块下移h的过程中重力势能的减少量；
(2)在木块下移h的过程中弹簧弹性势能的增加量。
答案：(1)mgh　(2)W1＋mgh
解析：(1)根据重力做功与重力势能变化的关系有ΔEp减＝WG＝mgh。
(2)根据弹力做功与弹性势能变化的关系，可知弹簧弹性势能的增加量ΔEp弹增＝－W弹
因木块缓慢向下移动，所以力F与重力mg的合力始终与弹簧弹力等大、反向，又木块沿二者的位移相同，所以
W弹＝－W1＋(－WG)
联立可解得ΔEp弹增＝W1＋mgh。
12.根据生活经验可知，处于自然状态的水都是往低处流的，当水不再流动时，水面应该处于同一高度。在著名的牛顿“水桶实验”中发现：将一桶水绕竖直固定中心转轴OO′以恒定的角速度转动，稳定时水面呈凹状，水桶截面图如图所示。这一现象可解释为，以桶为参考系，其中的水除受重力外，还受到一个与转轴垂直的“力”，其方向背离转轴，大小与到轴的垂直距离成正比。水面上的一个小水滴在该力作用下也具有一个对应的“势能”，在重力和该力的共同作用下，水面上相同质量的小水滴最终将具有相同的总势能。根据以上信息可知，下列说法中正确的是(　　)
A．该“力”对水面上小水滴做功与路径有关
B．小水滴沿水面向上移动时，该“势能”不变
C．小水滴沿水面向上移动时，重力势能的增加量等于该“势能”的减少量
D．小水滴沿水面向上移动时，受到重力和该“力”的合力大小不变
答案：C
解析：根据该“力”的特征分析可知，该“力”对水面上小水滴做功与路径无关，故A错误；由于该“力”与转轴垂直且背离转轴，所以小水滴沿水面向上移动时该力的方向与位移方向夹角小于90°，该“力”做正功，该“势能”减小，故B错误；由题意可知，小水滴具有的重力势能和该“力”对应的势能之和不变，小水滴沿水面向上移动时，重力势能增加，该“势能”减小，且重力势能的增加量等于该“势能”的减少量，故C正确；由题意知，该“力”方向与转轴垂直且背离转轴，大小与到轴的垂直距离成正比，则小水滴沿水面向上移动时，重力与该“力”始终垂直，重力大小不变，该“力”增大，则两力的合力变大，故D错误。
[名师点拨]　本题中该“势能”相同时的面不是水平面，与重力势能不同，但是该“势能”与该“力”的对应关系与重力势能与重力的对应关系相同。另外解题时应注意结合题给信息。
16(共63张PPT)
第八章　机械能守恒定律
2.重力势能
1.知道重力做功的特点，即重力做功与路径无关。2.理解重力势能的概念，掌握重力做功与重力势能变化的关系。3.知道重力势能的相对性。4.理解弹性势能的概念，掌握弹力做功与弹性势能变化的关系。5.知道弹簧的弹性势能的大小跟弹簧劲度系数和形变量的关系。
目录
1
课后课时作业
任务
2
任务
在甲图中，物体从A运动到B，重力做功分别为多少？乙图中呢？丙图中呢？
任务1　重力做的功
提示：(1)图甲中物体竖直下落，重力和位移方向一致，可以用W＝Fl来计算重力做功，可以得出WG＝mgΔh＝mgh1－mgh2。
(2)图乙中物体沿着一个斜面向下运动到B，可假设先竖直向下运动到B′，在这一过程中重力做的功WG′＝mgΔh＝mgh1－mgh2，再从B′沿水平方向运动到B，该过程中重力不做功，所以整个过程重力的总功仍然是WG＝WG′＝mgh1－mgh2。
(3)图丙中，物体沿曲线由A运动到B，可以把整个路径无限细分为若干个小斜面(图乙的情境)，沿每个斜面运动时重力的功加起来就是从A运动到B重力做的功。
WG＝mgΔh1＋mgΔh2＋mgΔh3＋…＝mg(Δh1＋Δh2＋Δh3＋…)＝mgΔh
＝mgh1－mgh2。
1．表达式：WG＝______＝___________，其中Δh表示物体起点和终点的高度差，h1、h2分别表示物体起点和终点的高度。
2．正负：物体下降时重力做___功，物体被举高时重力做____功。
3．特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的______和_____的位置有关，而跟物体运动的_____无关。
mgΔh
mgh1－mgh2
正
负
起点
终点
路径
重力做功特点的理解
(1)通常情况下，重力是恒力，而恒力做功W＝Flcosα，就是力F与在力F方向上的位移的乘积，而重力方向上的位移与路径无关，只与高度差Δh有关。
(2)重力做功的特点可以推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点为：与物体运动的具体路径无关，只与起点和终点两个位置有关，恒力做的功等于力与沿着力方向的位移的乘积。
(3)物体在同一水平面上运动时，重力总是不做功。
(4)物体的竖直位移等于零，则重力做功的代数和等于零，但物体运动的过程中重力可能做功。
(1)重力做功的特点是什么？
(2)小球始末位置的高度差是多少？
提示：重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
在物体运动的过程中重力可能会反复做正功、负功，但是这些正功、负功高度差相同的部分就会抵消，无论往复多少次，最后只看始末位置的高度差；物体往上运动的过程中重力做负功，往下运动的过程中重力做正功，其值都为mgΔh，Δh为始末位置的高度差。
初中我们已经定性地学习了重力势能，物体的质量越大、所
处的位置越高，重力势能就越大；物体下降时重力做正功，重力
势能减小；物体被举高时重力做负功，重力势能增大。如图所示，将质量为m的物体从A移到B，重力做正功，你认为该物体的重力势能的表达式应该是怎样的呢？
提示：从A到B，重力做功：WG＝mg(h1－h2)，展开得到WG＝mgh1－mgh2，从功与能的关系的角度看，功是能量转化的量度。左边是功，右边应该是能，而且应该对应着两个状态，两个状态都只与高度和重力有关，结合初中所学重力势能的特点可知，mg与h的乘积就表示重力势能，Ep＝mgh。
任务2　重力势能　重力势能的相对性
1．重力势能
(1)表达式：Ep＝_____，其中h表示物体所处位置的高度。
(2)单位：_____，与功的单位相同。
(3)标矢性：重力势能是_____，正负表示_____。
(4)重力做功与重力势能变化的关系
①表达式：WG＝________。
②当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能_____；当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能______。
mgh
焦耳
标量
大小
Ep1－Ep2
减少
增加
2．重力势能的相对性
(1)参考平面：物体的重力势能总是相对于某一_______来说的，这个______叫作参考平面。在参考平面上，物体的重力势能取为___。
(2)重力势能的相对性
选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是_____的。
对选定的参考平面而言，上方物体的高度是正值，重力势能也是___值；下方物体的高度是负值，重力势能也是____值。负值的重力势能，表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能____。
水平面
0
水平面
不同
正
负
小
1．判一判
(1)重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反。(　　)
(2)同一物体的重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1>Ep2。(　　)
提示： (1)×　重力势能是标量，没有方向。
(2)√　重力势能为正值，表示物体处于参考平面的上方，为负值表示物体处于参考平面的下方，而同一物体在越高的地方重力势能越大。
2．想一想
滑雪运动员从雪山高处高速滑下，运动员的重力做了正功还是负功？其重力势能增大了还是减小了？当冲上另一个高坡时会怎样？
提示：运动员从高处滑下，位移向下，重力做了正功，由于高度降低，其重力势能减小；当运动员冲上另一个高坡时，重力做负功，重力势能增大。
1．重力做功与重力势能变化的关系
重力做功WG＝Ep1－Ep2。Ep1＝mgh1表示物体在初位置的重力势能，Ep2＝mgh2表示物体在末位置的重力势能。重力做多少正功，重力势能减少多少；重力做多少负功，重力势能增加多少。
深化思考：地球附近的物体由于受到地球的引力而具有引力势能，试写出万有引力做功与引力势能变化量的关系式。
提示： W引＝Ep1－Ep2。
2．重力势能的系统性
重力是地球与物体之间的相互作用力，如果没有地球，就不会有重力，也不存在重力势能，所以严格地说，重力势能是由地球与地球上的物体所组成的“系统”共有的，而不是地球上的物体单独具有的。平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化的说法。
3．对重力势能相对性的理解
(1)重力势能的相对性
对同一物体，选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值，即重力势能的大小与参考平面的选取有关。
(2)重力势能变化的绝对性
物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关。
深化思考：我们知道，空气阻力做功与路径有关，能定义“空气阻力势能”吗？
提示：如图所示，物体沿不同的路径从A点运动到B点，
因为空气阻力做功与路径有关，所以沿不同路径运动的过程空
气阻力做的功可能不同，若存在“空气阻力势能”，以A点为
参考点，则从A到B，“空气阻力势能”的变化量可能不同，从
而导致物体在B点的“空气阻力势能”无法确定，所以不能定义“空气阻力势能”。
一只100 g的球从1.8 m的高度处落到一个水平板上又弹回到1.25 m的高度，则整个过程中重力对球所做的功及球的重力势能的变化是(g＝10 m/s2)(　　)
A．重力做功为1.8 J
B．重力做了0.55 J的负功
C．球的重力势能一定减少0.55 J
D．球的重力势能一定增加1.25 J
(1)怎么求整个过程重力做的功较方便？
(2)如何求重力势能的变化量？
提示：WG＝mgΔh总，其Δh总是整个过程沿竖直方向的位移差，向下为正。
提示：WG＝－ΔEp。
解析　整个过程重力对球做正功，其大小为W＝mgΔh＝mg(h1－h2)＝0.55 J，A、B错误；重力做正功，重力势能减少，且重力做多少正功，重力势能就减少多少，因此球的重力势能减少了0.55 J，C正确，D错误。
重力做功的两种求解方法
(1)根据功的定义式求解：先求始末位置的高度差，再求出重力与此高度差的乘积，即为重力做的功(前面已讲)。
(2)根据重力势能的变化与重力做功的关系求解：重力做的功等于重力势能变化量的负值，WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
如图是地图上某小山包的等高线图，a、b、c为山包上的三个点在地图上的位置，g取10 m/s2。
(1)若选择海平面为重力势能参考面，质量为55 kg的学生在
a、b、c位置时的重力势能是多大？他从a位置上升到c位置，重
力做了多少功？
(2)若选择100 m的等高线所在平面为重力势能参考面，则质量为55 kg的学生在a、b、c位置时的重力势能是多大？他从a位置上升到c位置，重力做了多少功？
答案　(1)2.75×104 J　5.5×104 J　8.25×104 J　－5.5×104 J
(2)－2.75×104 J　0　2.75×104 J　－5.5×104 J
(1)选择不同的参考平面，物体在某位置的重力势能相同吗？
(2)重力做的功与参考平面的选取有关吗？
提示：不同。
提示：无关。
解析　(1)若选择海平面为重力势能参考面，学生在a、b、c位置时，相应的重力势能为Epa＝mgha＝55×10×50 J＝2.75×104 J
Epb＝mghb＝55×10×100 J＝5.5×104 J
Epc＝mghc＝55×10×150 J＝8.25×104 J
他从a位置上升到c位置，重力做功为WG＝－mg(hc－ha)＝－55×10×(150－50) J＝－5.5×104 J。
(2)若选择100 m的等高线所在平面为参考面，学生在a位置时，他相对于重力势能参考面的高度hab＝50 m－100 m＝－50 m
重力势能
Epa′＝mghab＝55×10×(－50) J＝－2.75×104 J
学生在b位置时，因为就在重力势能参考面上，所以重力势能Epb′＝0
学生在c位置时，他相对于重力势能参考面的高度hcb＝150 m－100 m＝50 m
重力势能Epc′＝mghcb＝55×10×50 J＝2.75×104 J
从a位置上升到c位置，重力做的功等于重力势能增量的负值，则
WG′＝－ΔEp＝Epa′－Epc′＝－2.75×104 J－2.75×104 J＝－5.5×104 J。
重力势能的两种求解方法
(1)根据重力势能的定义求解：选取零势能参考平面，由Ep＝mgh可求质量为m的物体在离零势能参考平面h高度处的重力势能。
(2)由重力做功与重力势能变化的关系求解：由WG＝Ep1－Ep2知Ep2＝Ep1－WG或Ep1＝WG＋Ep2。
[跟进训练]　一棵苹果树上有一个质量为0.3 kg的
熟透了的苹果P，该苹果从树上A处先落到地面C处，
最后滚入沟底D处。A、B、C、D、E水平面之间竖直
距离如图所示。以地面C为零势能面，g取10 m/s2，则
该苹果从A处落下到D处的过程中，重力势能的减少量
和在D处的重力势能分别是(　　)
A．15.6 J和9 J B．9 J和－9 J
C．15.6 J和－9 J D．15.6 J和－15.6 J
解析：以地面C为零势能面，根据重力势能的计算公式得该苹果在D处的重力势能EpD＝mghD＝0.3×10×(－3.0) J＝－9 J；该苹果从A处落下到D处的过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh＝0.3×10×(0.7＋1.5＋3.0) J＝15.6 J，故C正确。
如图所示，先将小球从O点移到P点，再移到Q点，弹簧弹力对小球做的功是WOPQ，将小球从O点直接移到Q点，弹簧弹力对小球做的功是WOQ，则WOPQ与WOQ有什么关系？
提示：虽然形变量不同时，弹簧弹力不同，但弹簧形变量相同时，弹力的大小、方向是唯一的，则在同一点附近分别将小球向左、向右移动相同微小距离Δx，弹簧弹力对小球做的功大小相等，结合微元累积法可知，将小球从O点移到P点，弹簧弹力对小球做的功WOP的大小，等于将小球从P点移到O点，弹簧弹力对小球做的功WPO的大小，即|WOP|＝|WPO|；又根据功的正负可知，WOP<0，WPO>0，则WOP＝－WPO。故WOPQ＝WOP＋WPO＋WOQ＝WOQ，所以弹簧弹力做功与路径无关，即同样可以定义弹性势能。
任务3　弹性势能
1．弹性势能的概念
发生________的物体的各部分之间，由于有_____的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
2．弹性势能大小的影响因素
(1)弹性势能跟_____的大小有关系。在弹性限度内，弹簧的弹性势能跟弹簧被拉伸或压缩的_____有关。被拉伸或压缩的长度越长，恢复原状过程中对外做的功就_____，弹簧的弹性势能就_____。
(2)弹簧的弹性势能还跟弹簧的________有关。不同的弹簧发生同样大小的形变，劲度系数越大，弹簧恢复原状过程中对外做的功就_____，因而弹簧的弹性势能就______。
弹性形变
弹力
形变
长度
越多
越大
劲度系数
越多
越大
3．势能也叫_____，与相互作用的物体的________有关。重力势能是由地球和地面上物体的相对位置决定的，弹性势能是由发生弹性形变的物体各部分的相对位置决定的。
位能
相对位置
判一判
(1)在弹性限度内，不同弹簧发生相同的形变量时弹性势能相同。(　　)
(2)在弹性限度内，同一弹簧，压缩量不同时弹性势能不同。(　　)
提示： (1)×
(2)√　同一弹簧，劲度系数一定，在弹性限度内，压缩量不同，恢复原状过程中对外做的功不同，则弹簧具有的弹性势能不同。
1．弹性势能的产生原因
(1)物体发生了弹性形变。
(2)各部分间有弹力作用。
2．弹性势能变化与弹力对外做功的关系
(1)定性关系：弹力对外做负功时，弹性势能增大；弹力对外做正功时，弹性势能减小。
(2)弹力对外做功与弹性势能的关系式：W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2。
关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能
解析　如果弹簧处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能先变小后变大，在原长处最小，如果弹簧处于拉伸状态，当它变短时，它的弹性势能先变小后变大，在原长处最小，故A、B错误；弹簧拉伸长度相同，即形变量相同，劲度系数大的弹簧恢复原状过程中对外做的功多，则弹性势能大，故C正确；同一弹簧，弹性势能大小与形变量大小有关，与其处于拉伸或压缩状态无关，故D错误。
1．分析弹性势能变化的两个方法
(1)弹簧的形变量变大，弹性势能随之变大；弹簧的形变量变小，弹性势能随之变小。
(2)根据功能关系分析，弹簧弹力对外做正功，弹性势能减小；弹簧弹力对外做负功，弹性势能增大。
2．一般规定弹簧为原长时弹性势能为零，所以弹簧伸长时和弹簧压缩时弹性势能都增加，且伸长量和压缩量相同时，弹性势能相同。
[跟进训练]　(多选)如图所示，质量为m的物块与弹簧连接，静止在倾角为θ的光滑斜面上，且弹簧与斜面平行。用一外力使物块缓慢沿斜面运动直至弹簧恢复原长，物块对弹簧做功的大小为W。规定弹簧处于原长时弹性势能为0。该过程中，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧弹力对物块做负功
B．弹簧的弹性势能一直增大
C．弹簧弹性势能的变化量大小为W
D．开始时弹簧的弹性势能为W
解析：用一外力使物块缓慢沿斜面运动直至弹簧恢复原长，可知弹簧弹力对物块做正功，弹簧弹性势能减小，故A、B错误；根据牛顿第三定律结合题意可知，该过程中弹簧对物块做功大小也为W，根据弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系可知W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp，则该过程弹簧弹性势能的变化量为ΔEp＝－W，其大小为W，又由题意知Ep2＝0，则开始时弹簧的弹性势能Ep1＝W，C、D正确。
课后课时作业
解析：由题意可知最终篮球将静止在地面上，整个过程篮球初、末状态的高度差为h，所以篮球受到的重力做的功为mgh，故选C。
解析：选取不同的零势能面，则同一位置的物体的重力势能是不同的，A错误；重力势能为零只是表明物体处于零势能面上，它对其他物体同样可以做功，B错误；物体若在竖直方向做匀速直线运动，则物体的高度变化，重力势能也会发生变化，C错误；重力做功是重力势能变化的量度，即若重力做功，重力势能一定发生变化，故D正确。
知识点二　重力势能
2．关于重力势能，以下说法中正确的是(　　)
A．某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的
B．重力势能为0的物体，不可能对别的物体做功
C．物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变
D．只要重力做功，重力势能一定变化
3．物体做自由落体运动，Ep表示重力势能，h表示下落的距离，以水平地面为零势能面，下列图像中能正确反映Ep和h之间关系的是(　　)
解析：设物体初始位置高度为H，由重力势能公式得Ep＝mg(H－h)＝mgH－mgh，由数学知识可知重力势能与h的关系图像为斜向下的直线，故B正确。
4．质量为20 kg的铁板，厚度不计，平放在二楼的地面上。二楼地面与楼外地面的高度差约为3 m，这块铁板相对二楼地面和楼外地面的重力势能分别为(　　)
A．600 J、0 B．0、600 J
C．1200 J、0 D．0、1200 J
解析：铁板相对于二楼地面的高度是零，故铁板相对于二楼地面的重力势能为零；铁板相对于楼外地面的高度为3 m，则铁板相对于楼外地面的重力势能Ep＝mgh＝20×10×3 J＝600 J，故选B。
5．(多选)如图所示，是足球比赛运动员发定位球的示意图，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球恰好飞过高为h0的人墙顶部，并继续在空中运动到最高点h，足球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．以过人墙顶部的水平面为参考平面，
足球在最高点的重力势能为mg(h－h0)
B．足球从被踢出至运动到最高点的过程中，重力势能增加了mg(h－h0)
C．足球从被踢出至运动到最高点的过程中，重力做功为－mgh
D．足球运动到最高点时，重力的瞬时功率最大
解析：选取过人墙顶部的水平面为参考平面，足球在最高点时高度为h－h0，重力势能为mg(h－h0)，A正确；足球从被踢出至运动到最高点的过程中，高度增加了h，重力做功为－mgh，则重力势能增加了mgh，B错误，C正确；足球运动到最高点时，vy＝0，重力的瞬时功率为零，最小，D错误。
[名师点拨]　1.选择合适的参考平面可以使计算更方便。
2．非质点物体的重力势能看重心位置
(1)不能看成质点的物体相对于参考平面的高度是指其重心相对参考平面的高度。
(2)粗细均匀、质量分布均匀的长直链条(绳索)，其重心在长度的一半处。
(3)研究对象呈折线状放置时，整体重心位置不好确定，可采用分段法，如本题中，将链条分为开始时的水平和竖直两段，分别求出两段重力做的功或重力势能的变化，再将所得结果求和便可。
解析：蹦床对运动员的作用力向上，与位移方向相同，所以蹦床对运动员做正功，根据功能关系可知，蹦床对运动员做正功，蹦床的弹性势能减小，故B正确。
知识点三　弹性势能
7．蹦床运动员从最低点开始反弹至即将与蹦床分离的过程中，蹦床对运动员做功和蹦床弹性势能的变化情况分别是(　　)
A．蹦床对运动员做正功，蹦床的弹性势能增大
B．蹦床对运动员做正功，蹦床的弹性势能减小
C．蹦床对运动员做负功，蹦床的弹性势能增大
D．蹦床对运动员做负功，蹦床的弹性势能减小
8．(多选)图甲是玩蹦极游戏的示意图，将弹性绳子的一端系在人身上，另一端固定在高处，然后人从高处跳下。图乙是人到达最低点时的情况，其中AB为弹性绳子的原长，C点是弹力等于重力的位置，D点是人所到达的最低点，对于人离开跳台至最低点的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力对人一直做正功
B．从C点到D点，弹性绳子对人做负功
C．人通过B点之后，弹性绳子具有弹性势能
D．从A点到D点，弹性绳子的弹性势能一直增加
解析：整个过程中，重力对人一直做正功；人从高空落下到弹性绳子达到原长的过程中，弹性绳子的弹力不做功，此后弹性绳子的弹力一直做负功，弹性势能一直增加，A、B、C正确，D错误。
10.在“探究弹簧弹性势能的表达式”的实验中，把一轻质弹簧一端固定好，然后用力缓慢拉伸弹簧，使其形变量达到x0，如图甲所示，为进一步探究弹簧弹力F做的功W的大小，某同学采取下列做法：
(1)把弹簧拉伸Δx的过程分成很多小段，它们的长度分别是Δx1、
Δx2、Δx3…，在各个小段上，弹簧弹力可看成不变，它们分别是F1、
F2、F3…；
(2)那么，弹簧弹力在整个过程中做的功W可以表示为___________________
_____________ (填写方程式)；
W＝－(F1Δx1＋F2Δx2＋F3Δx3＋…)
(3)以弹簧弹力的大小F为纵轴，形变量x为横轴，作F x图像如图乙所示。根据(2)问中的表达式的结果，|W|恰好等于图线与______ (选填“横轴”或“纵轴”)所围的面积。已知弹簧的劲度系数为k，则弹簧形变量为x0时，弹性势能的表达式可以写作Ep＝_____。
横轴
[名师点拨]　本题探索弹性势能表达式的过程中，又一次应用了微元累积法。在分析与弹簧弹性势能有关的选择题时，弹性势能的表达式可以直接应用。
11.在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为m的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动h，力F做功W1，如图所示。重力加速度为g。求：
(1)在木块下移h的过程中重力势能的减少量；
(2)在木块下移h的过程中弹簧弹性势能的增加量。
答案：(1)mgh　(2)W1＋mgh
解析： (1)根据重力做功与重力势能变化的关系有ΔEp减＝WG＝mgh。
(2)根据弹力做功与弹性势能变化的关系，可知弹簧弹性势能的增加量ΔEp弹增＝－W弹
因木块缓慢向下移动，所以力F与重力mg的合力始终与弹簧弹力等大、反向，又木块沿二者的位移相同，所以
W弹＝－W1＋(－WG)
联立可解得ΔEp弹增＝W1＋mgh。
12.根据生活经验可知，处于自然状态的水都是往低处流的，
当水不再流动时，水面应该处于同一高度。在著名的牛顿“水桶实验”
中发现：将一桶水绕竖直固定中心转轴OO′以恒定的角速度转动，稳
定时水面呈凹状，水桶截面图如图所示。这一现象可解释为，以桶为
参考系，其中的水除受重力外，还受到一个与转轴垂直的“力”，其方
向背离转轴，大小与到轴的垂直距离成正比。水面上的一个小水滴在该力作用下也具有一个对应的“势能”，在重力和该力的共同作用下，水面上相同质量的小水滴最终将具有相同的总势能。根据以上信息可知，下列说法中正确的是(　　)
解析：根据该“力”的特征分析可知，该“力”对水面上小水滴做功与路径无关，故A错误；由于该“力”与转轴垂直且背离转轴，所以小水滴沿水面向上移动时该力的方向与位移方向夹角小于90°，该“力”做正功，该“势能”减小，故B错误；由题意可知，小水滴具有的重力势能和该“力”对应的势能之和不变，小水滴沿水面向上移动时，重力势能增加，该“势能”减小，且重力势能的增加量等于该“势能”的减少量，故C正确；由题意知，该“力”方向与转轴垂直且背离转轴，大小与到轴的垂直距离成正比，则小水滴沿水面向上移动时，重力与该“力”始终垂直，重力大小不变，该“力”增大，则两力的合力变大，故D错误。
A．该“力”对水面上小水滴做功与路径有关
B．小水滴沿水面向上移动时，该“势能”不变
C．小水滴沿水面向上移动时，重力势能的增加量等于该“势能”的减少量
D．小水滴沿水面向上移动时，受到重力和该“力”的合力大小不变
[名师点拨]　本题中该“势能”相同时的面不是水平面，与重力势能不同，但是该“势能”与该“力”的对应关系与重力势能与重力的对应关系相同。另外解题时应注意结合题给信息。

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