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物理　必修 第二册 RJ
3．动能和动能定理
1．能用牛顿第二定律、运动学公式及功的公式导出动能的表达式，知道动能的单位，会根据动能的表达式计算物体的动能。2.能用牛顿第二定律、运动学公式、功的公式及动能的表达式导出动能定理，理解动能定理的含义。3.能应用动能定理解决相关问题。
任务1　动能
初中我们已经定性地学习了动能，物体的动能跟物体的质量和速度都有关系。物体的质量越大，速度越大，它的动能就越大。大量实例说明，物体动能的变化和力对该物体做的功密切相关。如图所示，质量为m的某物体在光滑水平面上运动，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，尝试使用含有m、v的表达式表示F做的功。
提示：在这个过程中，恒力F做的功W＝Fl，根据牛顿第二定律，有F＝ma，再根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有l＝，把F、l的表达式代入W＝Fl中，可得F做的功W＝mv－mv。
1．动能的表达式：Ek＝mv2。
2．动能是标量，单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，1 J＝1__kg(m/s)2。
想一想
人造卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星的运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？
提示：速度变化，动能不变。卫星做匀速圆周运动时，其速度方向不断变化，由于速度是矢量，所以速度是变化的；运动时其速度大小不变，由Ek＝mv2可知，其动能大小不变，由于动能是标量，所以动能是不变的。
对动能的理解
(1)动能是状态量：与物体某一时刻或在某位置的运动状态(v)相对应。
(2)动能是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值；速度方向改变不影响动能大小，例如物体做匀速圆周运动过程中，动能始终不变。
(3)动能具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度大小可能不同，动能也可能不同。在通常的计算中，没有特别说明，都是以地面为参考系。
(多选)关于动能，下列说法中正确的是(　　)
A．凡是运动的物体都有动能
B．公式Ek＝mv2中，速度v是物体相对地面的速度，且动能总是正值
C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D．动能不变的物体，一定处于平衡状态
[解析]　动能是物体由于运动而具有的能量，所有运动的物体都有动能，A正确；Ek＝mv2 中的速度v与参考系的选取有关，虽然一般选地面为参考系，但也有特殊情况，B错误；速度是矢量，当其只有方向发生变化时，动能不变化，此时物体并不处于平衡状态，而一定质量的物体，动能变化时，速度大小一定改变，故速度一定变化，C正确，D错误。
[答案]　AC
物体的动能与速度的关系 (1)物体的质量一定时，速度越大，动能越大。动能和速度均为状态量，具有瞬时对应关系。 (2)动能是标量，速度是矢量。对于质量一定的物体，当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化；当速度发生变化时，可能仅是方向变化，大小不变，物体的动能不变。
[跟进训练]　质量为0.5 kg的足球以1 m/s的速度水平撞击墙壁，又以－1 m/s的速度弹回。若以足球的初速度方向为正方向，则在碰撞过程中足球的速度变化量以及动能的变化量分别为(　　)
A．0，0.5 J B．－2 m/s，0
C．2 m/s，0 D．－2 m/s，0.5 J
答案：B
解析：碰撞过程中足球的速度变化量Δv＝v2－v1＝－1 m/s－1 m/s＝－2 m/s，动能的变化量ΔEk＝mv－mv＝0，A、C、D错误，B正确。
任务2　动能定理
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
2．表达式：W＝Ek2－Ek1。
3．如果物体受到几个力的共同作用，动能定理中的力对物体做的功W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。
思考：从本质上讲，动能定理说的是什么？
提示：合力做的功与动能变化的关系。
判一判
(1)合力为零，物体的动能一定不会变化。(　　)
(2)合力不为零，物体的动能一定会变化。(　　)
(3)物体动能增加，则它所受的合力一定做正功。(　　)
提示：(1)√　合力为零，则合力做的功为零，根据动能定理，物体的动能一定不会变化。
(2)×　合力不为零，合力做功可能为零，此时物体的动能不会变化，例如做匀速圆周运动的物体。
(3)√　根据动能定理可知，物体动能增加，它所受的合力一定做正功。
1．动能定理的理解
(1)实质：指出合力做功是引起物体动能变化的原因，同时给出了合力对物体做的总功与物体动能变化的定量关系。
(2)当合力对物体做正功时，动能增加；合力对物体做负功时，动能减少。
(3)适用条件：适用于任何情况，即不论是恒力做功还是变力做功，不论是直线运动还是曲线运动，均适用。
证明：物体受变力作用，或做曲线运动时，我们可以把整个过程分成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的是恒力，运动的轨迹是直线，如图所示，对每段过程均可应用动能定理，有Wi＝Eki′－Eki，其中Wi＝FiΔlicosθi，把这些小段中合力做的功相加，有W1＋W2＋W3＋…＋Wn＝(Ek1′－Ek1)＋(Ek2′－Ek2)＋(Ek3′－Ek3)＋…＋(Ekn′－Ekn)，又总功W＝W1＋W2＋…＋Wn，Ek2＝Ek1′，Ek3＝Ek2′，…，Ekn＝Ek(n－1)′，初动能Ek＝Ek1，末动能Ek′＝Ekn′，可得W＝Ek′－Ek。即物体受变力作用，或做曲线运动时，合力做的功也等于动能的变化量，所以物体受变力作用，或做曲线运动时，动能定理同样适用。
2．应用动能定理解题的一般步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体，或相对静止物体组成的系统)，明确它的运动过程。
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出各力做功的代数和W。
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
易错警示：①动能定理表达式是一个标量式，不能在某一方向上应用动能定理。
②动能Ek≥0，但动能的变化ΔEk可能大于0，也可能等于0，还可能小于0。
(多选)跳伞运动非常惊险，被世人誉为“勇敢者的运动”。假设质量为m的跳伞运动员由静止开始下落，在打开伞之前受恒定的阻力作用，下落的加速度为a，重力加速度为g，则在运动员匀加速下落h的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．合力对运动员做的功为mah
B．运动员的动能增加了mgh
C．合力对运动员做的功为m(g－a)h
D．运动员的动能增加了mah
[解析]　由牛顿第二定律知，运动员打开伞之前受到的合力大小为F合＝ma，则合力对运动员做的功为W合＝F合h＝mah，故A正确，C错误；根据动能定理可知，合力对运动员做的功等于运动员动能的变化量，所以运动员的动能增加了mah，故B错误，D正确。
[答案]　AD
1．应用动能定理解题的常见情况 (1)根据合力做的功分析、计算动能的变化或初(末)动能。 (2)根据动能的变化分析、计算合力做的功或其中一个力做的功。 2．动能定理和牛顿运动定律的比较 动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法。 (1)若问题涉及时间、加速度或过程的细节，要用牛顿运动定律解决。 (2)若问题不涉及时间、加速度或过程的细节，用动能定理求解更方便。特别是对于不涉及时间、加速度或过程细节的曲线运动、变力作用或多过程问题等，有时只能应用动能定理解决。
[跟进训练1]　一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在这段时间内，水平力所做的功为(　　)
A.mv2 B．－mv2
C.mv2 D．－mv2
答案：A
解析：由动能定理得：WF＝m·(－2v)2－mv2＝mv2，A正确。
[跟进训练2]　人手持质量为1 kg的石块站在10 m高处(身高不计)，将石块以10 m/s的速度水平向右抛出。不计空气阻力，取g＝10 m/s2。用动能定理求石块落地时竖直方向分速度的大小。
答案：10 m/s
解析：设石块抛出时速度为v0，落地时竖直方向分速度大小为vy
则抛出时动能为Ek初＝mv
落地时动能为Ek末＝m(v＋v)
石块脱手后到落地过程，只有重力对石块做功，根据动能定理得mgh＝Ek末－Ek初
联立并代入数据解得vy＝10 m/s。
[名师点拨]　本题中，在竖直方向根据运动学规律很容易列出关系式v－0＝2gh，但我们如果将其变形式mgh＝mv－0作为动能定理关系式，就是错误的，这是因为动能是标量，不能只在竖直方向上应用动能定理。
[跟进训练3]　如图所示，一个小球质量为m，静止在光滑的轨道上。现以水平力击打小球，使小球能够通过半径为R的竖直光滑轨道的最高点C，重力加速度为g，则水平力对小球所做的功至少为(　　)
A．mgR B．2mgR
C．2.5mgR D．3mgR
答案：C
解析：小球恰好通过竖直光滑轨道的最高点C时，在C点由重力提供向心力，有mg＝m，这种情况下水平力做功最少，设为Wmin，对小球，由动能定理得Wmin－2mgR＝mv2－0，联立解得Wmin＝2.5mgR，即水平力对小球所做的功至少为2.5mgR，C正确。
演绎推理
本节在“动能定理”的推导过程中，其出发点是将牛顿第二定律作为已知的知识来考虑，然后经历一系列数学推导，从而得到新的结论——动能定理。这种思维方法称为演绎推理。演绎推理是从一般性结论推出个别性结论的方法，即从已知的某些一般原理、定理、法则、公理或科学概念出发，推出新结论的一种思维活动。演绎推理是学习和科研中很常见的一种思维方式，数学中从公理推导出各种定理就用到这种方法。
在高中物理学习中，演绎推理法也比较常见。例如，第六章第3节拓展学习中，向心加速度的方向及公式，就是根据基本的运动学规律用演绎推理的方法(同时用到微元法)严格推导出来的，从理论上证明了第六章第2节基于实验的向心力公式。另外，弹簧弹性势能的表达式可从胡克定律及功能关系出发，用演绎推理的方法(及微元累积法)导出。
演绎推理在物理理论研究中也有着重要的作用。第七章学习的狭义相对论的时间延缓效应公式及长度收缩效应公式，就是爱因斯坦基于两条基本假设用演绎推理的方法得出的，其中用到的数学知识只涉及高中范围。根据狭义相对论基本公式及动能定理，用微积分还可以得出另一个重要结论：物质的质量随速度的增大而增大，数学表达式为m＝。同时得出物质的能量与质量有关，即E＝mc2，这就是众所周知的爱因斯坦质能方程。后续课程学习核能时，就会用到爱因斯坦质能方程。
课后课时作业
知识点一　动能
1．下列关于动能的说法正确的是(　　)
A．两个物体中，速度大的动能也大
B．某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C．做匀速圆周运动的物体动能保持不变
D．物体质量一定，物体的动能保持不变，则速度一定不变
答案：C
解析：动能的表达式为Ek＝mv2，即物体的动能大小由质量和速度大小共同决定，速度大的物体的动能不一定大，故A错误；若物体质量不变，速度加倍，则该物体的动能变为原来的4倍，故B错误；物体质量一定，速度只要大小保持不变，动能就不变，故C正确，D错误。
2．(多选)如图所示，利用无人机运送货物，以向上为正方向，在t1时刻，无人机的速度为v，在t2时刻，无人机的速度为－3v，已知货物质量为m，则下列说法正确的是(　　)
A．在t1时刻，货物的动能为mv2
B．在t2时刻，货物的动能为－mv2
C．在t1时刻货物的动能大于在t2时刻货物的动能
D．在t1时刻货物的动能小于在t2时刻货物的动能
答案：AD
解析：根据动能的表达式，可知在t1时刻，货物的动能为Ek1＝mv2，在t2时刻，货物的动能为Ek2＝m·(－3v)2＝mv2，则Ek1知识点二　动能定理
3．一物体做变速运动时，下列说法中正确的是(　　)
A．合力一定对物体做功，使物体动能改变
B．物体所受合力一定不为零
C．合力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D．物体的加速度可能为零
答案：B
解析：物体做变速运动，可能是物体的速度方向变化，而大小不变，如匀速圆周运动，此时物体的动能不变，并且合力对物体不做功，故A、C错误；物体做变速运动，一定具有加速度，物体所受合力一定不为零，故B正确，D错误。
4．一物体被水平抛出后，重力做功50 J，同时克服阻力做功20 J，则下列说法正确的是(　　)
A．物体重力势能增加了50 J
B．物体动能增加了30 J
C．物体重力势能减少了20 J
D．物体动能减少了20 J
答案：B
解析：重力做功WG＝50 J，根据WG＝－ΔEp，可知ΔEp＝－50 J，即物体重力势能减少了50 J，A、C错误；根据动能定理有WG＋Wf＝ΔEk，由题知阻力做功Wf＝－20 J，可得ΔEk＝30 J，即物体动能增加了30 J，B正确，D错误。
5.球从地面由静止开始射门，在高度为h处射入球门，足球飞入球门的速度为v，足球质量为m，则球员将足球踢出时对足球做的功W为(不计空气阻力，足球可视为质点)(　　)
A.mv2 B．mgh
C.mv2＋mgh D.mv2－mgh
答案：C
解析：足球从地面由静止到射入球门，根据动能定理可得W－mgh＝mv2－0，解得W＝mv2＋mgh，故选C。
6．跳伞运动员低空跳伞时从悬停的直升机上由静止落下，到离地高度为h的位置时，速度为v，此时打开降落伞，此后伞和运动员下降过程受到的阻力大小恒定，一直减速下降到地面时的速度大小为，伞和运动员的总质量为m，重力加速度为g，则减速下降过程中，伞和运动员受到的阻力大小为(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
答案：A
解析：从离地高度为h的位置下降的过程中，设伞和运动员受到的阻力大小为f，根据动能定理有mgh－fh＝m·()2－mv2，解得f＝mg，故A正确。
7.如图所示，有一根长为L、质量为M的均匀链条AB静止在光滑水平桌面上，其长度的悬于桌边外，如果在链条的A端施加一个拉力使链条AB以0.4g(g为重力加速度)的加速度运动，直到把悬着的部分拉回桌面。设拉动过程中链条与桌边始终保持接触，则拉力需做功(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：设悬于桌边外的部分链条拉回桌面时，链条的速度大小为v，根据题意，由运动学公式可得v2－0＝2a·L，设拉动过程中拉力需做功W，由动能定理有W－Mg×L＝Mv2－0，联立解得W＝，故选C。
8．质量为15 g的子弹，以800 m/s的速度射入厚度为10 cm的固定木板，射穿后的速度是700 m/s。若子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力不变，则该子弹还能射穿几块同样的木板(　　)
A．2块 B．3块
C．4块 D．5块
答案：B
解析：设子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力为f，木板的厚度为d，射穿的木板数为n，根据动能定理有－fd＝mv－mv，－fnd＝0－mv，联立并代入数据解得n≈4.3，可知该子弹一共能射穿4块相同的木板，因题目所给子弹已经射穿一块木板，则该子弹还能射穿3块同样的木板，B正确。
9．(多选)动能相等、质量不等的两个物体A、B，mA＞mB，A、B均在动摩擦因数相同的水平地面上滑行，分别滑行sA、sB后停下，则(　　)
A．sA＞sB
B．B滑行时间短
C．sA＜sB
D．它们克服摩擦力做功一样多
答案：CD
解析：根据动能定理可得－μmgs＝0－Ek，解得s＝，因为EkA＝EkB，mA＞mB，μ相同，所以sA＜sB，故A错误，C正确；根据牛顿第二定律可知，物体在水平地面上匀减速滑行时的加速度大小为a＝μg，根据运动学公式可知，物体滑行时间为t＝＝，因为sA＜sB，所以tA＜tB，即B滑行时间长，故B错误；根据动能定理可知，两物体克服摩擦力做功一样多，都等于初动能，故D正确。
10．如图，质量m＝1 kg的物块(可视为质点)，以速度大小v0＝4 m/s水平向右滑上正在逆时针转动的水平传送带，传送带AB的长度L＝6 m，传送带的速度大小v＝2 m/s，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度大小g＝10 m/s2，物块滑离传送带时传送带对物块做的功为(　　)
A．4 J B．2 J
C．6 J D．－6 J
答案：D
解析：物块向右减速运动时，根据牛顿第二定律可得，加速度大小为a＝＝2 m/s2，设物块向右减速到速度为0时通过的位移大小为x1，则有0－v＝－2ax1，解得x1＝4 mv，由运动的对称性可知，物块将在从左端滑离传递带之前与传送带达到共速，根据动能定理可知，传送带对物块做的功为W＝mv2－mv＝－6 J，故选D。
11.如图所示，在固定水平圆盘上，一质量为0.01 kg的小球用长为1 m的细绳系着，绳子另一端套在中轴O上。小球从P点开始绕O点做圆周运动，转过半周到达Q点时速度大小为10 m/s，从P点到Q点小球的动能减少2π J(π为圆周率)，设小球所受阻力大小恒定，则小球在Q点时受到的合力大小为(　　)
A．1 N B. N
C. N D．3 N
答案：C
解析：小球在Q点时受到的向心力大小为Fn＝m＝1 N，小球从P点到Q点过程中，根据动能定理有－F阻πr＝ΔEk，代入数据解得小球受到的阻力大小F阻＝2 N，可得小球在Q点时受到的合力大小为F＝＝ N，故选C。
12．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进的深度为d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，则第二次敲钉子时钉子进入木板的深度是(　　)
A．(－1)d B．(－1)d
C.d D.d
答案：B
解析：在将钉子钉入木板的过程中，木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，这属于变力做功问题，可求出对应某段位移的力的平均值，将变力做功转化为恒力做功来处理。设第一次与第二次敲钉子时铁锤对钉子做的功均为W，第一次钉子克服阻力做功为W1，第二次钉子克服阻力做功为W2，由动能定理得W－W1＝0－0，W－W2＝0－0，由题意可知钉子所受阻力F＝kx，则W1＝1d＝d，W2＝2d′＝d′，且d′>0，联立解得第二次敲钉子时钉子进入木板的深度d′＝(－1)d，B正确。
13．如图所示，斜面倾角为θ＝37°，物体1放在斜面紧靠挡板处，物体1和斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，一根不可伸长的柔质轻绳跨过光滑轻质的小定滑轮，绳一端固定在物体1上，另一端固定在物体2上，斜面上方的轻绳与斜面平行，物体2下端固定一长度为h的轻绳，轻绳下端拴在小物体3上，物体1、2、3的质量之比为4∶1∶5，开始时用手托住小物体3，小物体3到地面的高度也为h，此时各段轻绳刚好拉紧。已知物体3触地后或物体2接触物体3后立即停止运动，不再反弹，重力加速度为g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。物体3从静止突然放手后，物体1沿斜面上滑的最大距离为(　　)
A．3h B.h
C．2h D.h
答案：D
解析：设物体1、2、3的质量分别为4m、m、5m，对物体1，开始向上滑动时，重力沿斜面方向的分力与摩擦力的合力为F＝4mgsin37°＋4μmgcos37°，方向沿斜面向下，设物体3触地时刻的速度为v1，从开始放手到物体3触地的过程，对物体1、2、3组成的系统应用动能定理有6mgh－Fh＝×10mv－0，物体3触地以后立刻停止，假设物体2接触物体3之前物体1减速到0，且在物体3触地以后运动的距离为s，从物体3触地到物体1、2减速到0的过程，对物体1、2组成的系统应用动能定理得mgs－Fs＝0－×5mv，解得s＝h[名师点拨]　本题中三个物体和轻绳组成的系统内力做功之和等于零，这样在列动能定理方程时，可以以系统为研究对象，系统所受外力做功的代数和就等于系统动能的变化。
11(共45张PPT)
第八章　机械能守恒定律
3．动能和动能定理
1．能用牛顿第二定律、运动学公式及功的公式导出动能的表达式，知道动能的单位，会根据动能的表达式计算物体的动能。2.能用牛顿第二定律、运动学公式、功的公式及动能的表达式导出动能定理，理解动能定理的含义。3.能应用动能定理解决相关问题。
目录
1
2
课后课时作业
任务
科学思维
3
任务
初中我们已经定性地学习了动能，物体的动能跟物体的质量和速度都有关系。物体的质量越大，速度越大，它的动能就越大。大量实例说明，物体动能的变化和力对该物体做的功密切相关。如图所示，质
量为m的某物体在光滑水平面上运动，在与运动方
向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1
增加到v2，尝试使用含有m、v的表达式表示F做的功。
任务1　动能
1．动能的表达式：Ek＝ 。
2．动能是 量，单位与功的单位相同，在国际单位制中都是 ，1 J＝ 。
标
焦耳
1 kg(m/s)2
想一想
人造卫星绕地球做匀速圆周运动，在卫星的运动过程中，其速度是否变化？其动能是否变化？
对动能的理解
(1)动能是状态量：与物体某一时刻或在某位置的运动状态(v)相对应。
(2)动能是标量：只有大小，没有方向；只有正值，没有负值；速度方向改变不影响动能大小，例如物体做匀速圆周运动过程中，动能始终不变。
(3)动能具有相对性：选取不同的参考系，物体的速度大小可能不同，动能也可能不同。在通常的计算中，没有特别说明，都是以地面为参考系。
物体的动能与速度的关系
(1)物体的质量一定时，速度越大，动能越大。动能和速度均为状态量，具有瞬时对应关系。
(2)动能是标量，速度是矢量。对于质量一定的物体，当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化；当速度发生变化时，可能仅是方向变化，大小不变，物体的动能不变。
[跟进训练]　质量为0.5 kg的足球以1 m/s的速度水平撞击墙壁，又以－1 m/s的速度弹回。若以足球的初速度方向为正方向，则在碰撞过程中足球的速度变化量以及动能的变化量分别为(　　)
A．0，0.5 J B．－2 m/s，0
C．2 m/s，0 D．－2 m/s，0.5 J
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中__________。
2．表达式：W＝ 。
3．如果物体受到几个力的共同作用，动能定理中的力对物体做的功W即为______做的功，它等于 。
思考：从本质上讲，动能定理说的是什么？
提示：合力做的功与动能变化的关系。
任务2　动能定理
动能的变化
合力
各个力做功的代数和
判一判
(1)合力为零，物体的动能一定不会变化。(　　)
(2)合力不为零，物体的动能一定会变化。(　　)
(3)物体动能增加，则它所受的合力一定做正功。(　　)
提示： (1)√　合力为零，则合力做的功为零，根据动能定理，物体的动能一定不会变化。
(2)×　合力不为零，合力做功可能为零，此时物体的动能不会变化，例如做匀速圆周运动的物体。
(3)√　根据动能定理可知，物体动能增加，它所受的合力一定做正功。
1．动能定理的理解
(1)实质：指出合力做功是引起物体动能变化的原因，同时给出了合力对物体做的总功与物体动能变化的定量关系。
(2)当合力对物体做正功时，动能增加；合力对物体做负功时，动能减少。
(3)适用条件：适用于任何情况，即不论是恒力做功还是变力做功，不论是直线运动还是曲线运动，均适用。
证明：物体受变力作用，或做曲线运动时，我们可以把整个过程分成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的是恒力，运动的轨迹是直线，如图所示，对每段过程均可应用动能定理，有Wi＝Eki′－Eki，其中Wi＝FiΔlicosθi，把这些小段中合力做的功相加，有W1＋W2＋W3＋…＋Wn＝(Ek1′－Ek1)＋(Ek2′－Ek2)＋(Ek3′－Ek3)＋…＋(Ekn′－Ekn)，又总功W＝W1＋W2＋…＋Wn，Ek2＝Ek1′，Ek3＝Ek2′，…，Ekn＝Ek(n－1)′，初动能Ek＝Ek1，末动能Ek′＝Ekn′，可得W＝Ek′－Ek。即物体受变力作用，或做曲线运动时，合力做的功也等于动能的变化量，所以物体受变力作用，或做曲线运动时，动能定理同样适用。
2．应用动能定理解题的一般步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体，或相对静止物体组成的系统)，明确它的运动过程。
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出各力做功的代数和W。
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
易错警示：①动能定理表达式是一个标量式，不能在某一方向上应用动能
定理。
②动能Ek≥0，但动能的变化ΔEk可能大于0，也可能等于0，还可能小于0。
(多选)跳伞运动非常惊险，被世人誉为“勇敢者的运动”。假设质量为m的跳伞运动员由静止开始下落，在打开伞之前受恒定的阻力作用，下落的加速度为a，重力加速度为g，则在运动员匀加速下落h的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．合力对运动员做的功为mah B．运动员的动能增加了mgh
C．合力对运动员做的功为m(g－a)h D．运动员的动能增加了mah
解析 由牛顿第二定律知，运动员打开伞之前受到的合力大小为F合＝ma，则合力对运动员做的功为W合＝F合h＝mah，故A正确，C错误；根据动能定理可知，合力对运动员做的功等于运动员动能的变化量，所以运动员的动能增加了mah，故B错误，D正确。
1．应用动能定理解题的常见情况
(1)根据合力做的功分析、计算动能的变化或初(末)动能。
(2)根据动能的变化分析、计算合力做的功或其中一个力做的功。
2．动能定理和牛顿运动定律的比较
动能定理与牛顿运动定律是解决力学问题的两种重要方法。
(1)若问题涉及时间、加速度或过程的细节，要用牛顿运动定律解决。
(2)若问题不涉及时间、加速度或过程的细节，用动能定理求解更方便。特别是对于不涉及时间、加速度或过程细节的曲线运动、变力作用或多过程问题等，有时只能应用动能定理解决。
[跟进训练2]　人手持质量为1 kg的石块站在10 m高处(身高不计)，将石块以10 m/s的速度水平向右抛出。不计空气阻力，取g＝10 m/s2。用动能定理求石块落地时竖直方向分速度的大小。
[跟进训练3]　如图所示，一个小球质量为m，静止在光滑的轨道上。现以水平力击打小球，使小球能够通过半径为R的竖直光滑轨道的最高点C，重力加速度为g，则水平力对小球所做的功至少为(　　)
A．mgR B．2mgR
C．2.5mgR D．3mgR
科学思维　演绎推理
本节在“动能定理”的推导过程中，其出发点是将牛顿第二定律作为已知的知识来考虑，然后经历一系列数学推导，从而得到新的结论——动能定理。这种思维方法称为演绎推理。演绎推理是从一般性结论推出个别性结论的方法，即从已知的某些一般原理、定理、法则、公理或科学概念出发，推出新结论的一种思维活动。演绎推理是学习和科研中很常见的一种思维方式，数学中从公理推导出各种定理就用到这种方法。
在高中物理学习中，演绎推理法也比较常见。例如，第六章第3节拓展学习中，向心加速度的方向及公式，就是根据基本的运动学规律用演绎推理的方法(同时用到微元法)严格推导出来的，从理论上证明了第六章第2节基于实验的向心力公式。另外，弹簧弹性势能的表达式可从胡克定律及功能关系出发，用演绎推理的方法(及微元累积法)导出。
课后课时作业
知识点一　动能
1．下列关于动能的说法正确的是(　　)
A．两个物体中，速度大的动能也大
B．某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C．做匀速圆周运动的物体动能保持不变
D．物体质量一定，物体的动能保持不变，则速度一定不变
知识点二　动能定理
3．一物体做变速运动时，下列说法中正确的是(　　)
A．合力一定对物体做功，使物体动能改变
B．物体所受合力一定不为零
C．合力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D．物体的加速度可能为零
解析：物体做变速运动，可能是物体的速度方向变化，而大小不变，如匀速圆周运动，此时物体的动能不变，并且合力对物体不做功，故A、C错误；物体做变速运动，一定具有加速度，物体所受合力一定不为零，故B正确，D错误。
4．一物体被水平抛出后，重力做功50 J，同时克服阻力做功20 J，则下列说法正确的是(　　)
A．物体重力势能增加了50 J B．物体动能增加了30 J
C．物体重力势能减少了20 J D．物体动能减少了20 J
解析：重力做功WG＝50 J，根据WG＝－ΔEp，可知ΔEp＝－50 J，即物体重力势能减少了50 J，A、C错误；根据动能定理有WG＋Wf＝ΔEk，由题知阻力做功Wf＝－20 J，可得ΔEk＝30 J，即物体动能增加了30 J，B正确，D错误。
8．质量为15 g的子弹，以800 m/s的速度射入厚度为10 cm的固定木板，射穿后的速度是700 m/s。若子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力不变，则该子弹还能射穿几块同样的木板(　　)
A．2块 B．3块 C．4块 D．5块
9．(多选)动能相等、质量不等的两个物体A、B，mA＞mB，A、B均在动摩擦因数相同的水平地面上滑行，分别滑行sA、sB后停下，则(　　)
A．sA＞sB B．B滑行时间短
C．sA＜sB D．它们克服摩擦力做功一样多
10．如图，质量m＝1 kg的物块(可视为质点)，以速度大小v0＝4 m/s水平向右滑上正在逆时针转动的水平传送带，传送带AB的长度L＝6 m，传送带的速度大小v＝2 m/s，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度大小g＝10 m/s2，物块滑离传送带时传送带对物块做的功为(　　)
A．4 J B．2 J
C．6 J D．－6 J
[名师点拨]　本题中三个物体和轻绳组成的系统内力做功之和等于零，这样在列动能定理方程时，可以以系统为研究对象，系统所受外力做功的代数和就等于系统动能的变化。

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