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物理　必修 第二册 RJ
专题提升十　动能定理的综合应用
提升1　利用动能定理求变力做功
在某些问题中，由于力F的大小、方向发生变化，不能用W＝Flcosα求变力做功。在前面的内容中，已经讲解过利用W＝Pt、微元累积法、图像法、平均值法、转化法五种方法求变力做功，此外还可以根据动能定理间接求解。
基本思路是：一个变力和若干个恒力都对物体做功时，可以先求出恒力做的功，然后用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W恒＝ΔEk。
在温州市科技馆中，有个用来模拟天体运动的装置，其内部是一个类似锥形的漏斗容器，如图甲所示。现在该装置的上方固定一个四分之一光滑管道AB，光滑管道下端刚好贴着锥形漏斗容器的边缘，如图乙所示。将一个质量为m的小球从管道的A点静止释放，小球从管道B端射出后刚好贴着锥形容器壁运动，由于摩擦阻力的作用，运动的高度越来越低，最后从容器底部的孔C掉下(轨迹大致如图乙虚线所示)，已知小球离开C孔的速度为v，A到C的高度为H，重力加速度为g。求小球在锥形漏斗表面运动的过程中克服摩擦阻力所做的功。
小球沿锥形漏斗表面下滑时，摩擦力做的功能直接求解吗？
提示：不能。
[解析]　设小球在锥形漏斗表面运动过程中克服摩擦阻力做的功为Wf，小球在从A端运动到C孔的过程中，根据动能定理得
mgH－Wf＝mv2－0
解得Wf＝mgH－mv2。
[答案]　mgH－mv2
[跟进训练]　有一种地下铁道，车站的路轨建得高些，车辆进站时要上坡，出站时要下坡，如图所示。已知坡高为h，斜坡轨道与水平轨道平滑连接，车辆的质量为m，重力加速度为g，进站车辆到达坡下A处时的速度为v0，此时切断电动机的电源，车辆冲上坡顶到达站台B处的速度恰好为0。车辆从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功是(　　)
A.mv B．mgh
C．mgh－mv D.mv－mgh
答案：D
解析：对车辆从A运动到B的过程运用动能定理得－mgh－Wf＝0－mv，解得Wf＝mv－mgh，故选D。
提升2　动能定理在图像问题中的应用
用动能定理求解图像问题的分析步骤
(1)看清楚图像的种类(如v t图像、F x图像、Ek x图像、P t图像等)。
(2)结合题意和图像，分析物理过程。
(3)挖掘图像中的隐含条件，如斜率、截距、面积等所代表的物理量，结合物理过程列出所需的表达式。
(4)分析有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应物理量。
(多选)在某次帆船运动比赛中，质量为500 kg的帆船，在风力和水的阻力共同作用下做直线运动的v t图像如图所示。下列表述正确的是(　　)
A．在0～1 s内，风力对帆船做功1000 J
B．在0～1 s内，合力对帆船做功1000 J
C．在1～2 s内，合力对帆船做功750 J
D．在0～3 s内，合力对帆船做的总功为0
[解析]　在0～1 s内，根据动能定理得合力对帆船做功W合＝ΔEk＝mv－0＝×500×4 J＝1000 J，而W合＝W风＋W水，其中水的阻力对帆船做负功，即W水<0，故风力对帆船做的功
大于1000 J，故A错误，B正确；在1～2 s内，根据动能定理得合力对帆船做功W合′＝ΔEk′＝mv－mv＝×500×1 J－×500×4 J＝－750 J，故C错误；在0～3 s内，根据动能定理得合力对帆船做功W合″＝ΔEk″＝0，故D正确。
[答案]　BD
质量为1 kg的物体以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用，其动能随位移变化的图线如图所示，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是(　　)
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5
B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
C．物体滑行的总时间为4 s
D．物体滑行的总时间为2.5 s
[解析]　根据动能定理有Ek2－Ek1＝－Ffl，可得Ff＝＝ N＝2.5 N，所以μ＝＝0.25，故A、B错误；根据牛顿第二定律可得a＝＝2.5 m/s2，由运动学公式得物体滑行的总时间t＝＝ s＝4 s，故C正确，D错误。
[答案]　C
提升3　动能定理在多过程问题中的应用
1．应用动能定理求解多过程问题的两种方法
物体的运动过程可分为几个运动性质不同的阶段(如加速、减速的阶段)时，可以分段分析应用动能定理，也可以对全过程整体分析应用动能定理，但当题目不涉及中间量时，选择全过程整体分析应用动能定理会更简单、更方便。
2．全过程应用动能定理时的注意事项
当物体的运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。
物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面后又进入沙坑h深度停止(如图所示)。求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？
[解析]　解法一(分段法)：
选物体为研究对象，先研究自由落体运动过程，只有重力做功，设物体质量为m，落到沙坑表面时速度为v，根据动能定理，有
mgH＝mv2－0①
再研究物体在沙坑中的运动过程，此过程重力做正功，阻力F做负功，根据动能定理有
mgh－Fh＝0－mv2②
由①②两式解得＝
可见物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的倍。
解法二(全程法)：
研究物体运动的全过程，重力所做的功为mg(H＋h)，阻力做的功为－Fh，初末状态物体的动能都是零，根据动能定理，有
mg(H＋h)－Fh＝0－0
解得＝
可见物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的倍。
[答案]　
某游乐场的滑梯可以简化为如图所示竖直面内的ABCD轨道，AB为长L＝6 m、倾角α＝37°的斜轨道，BC为水平轨道，CD为半径R＝15 m、圆心角β＝37°的圆弧轨道，轨道AB段粗糙，其余各段均光滑。一小孩(可视为质点)从A点以初速度v0＝2 m/s下滑，沿轨道运动到D点时的速度恰好为零(不计经过B点时的能量损失)。已知该小孩的质量m＝30 kg，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)该小孩第一次经过圆弧轨道C点时，对圆弧轨道的压力；
(2)该小孩与AB段间的动摩擦因数；
(3)该小孩在轨道AB上运动的总路程s。
[解析]　(1)由C到D速度减为0，由动能定理可得：－mg(R－Rcosβ)＝0－mv
解得：vC＝2 m/s
小孩在C点时，由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m
解得：FN＝420 N
根据牛顿第三定律，小孩第一次经过圆弧轨道C点时，对圆弧轨道的压力为420 N，方向向下。
(2)小孩从A运动到D的过程中，由动能定理得：
mgLsinα－μmgLcosα－mgR(1－cosβ)＝0－mv
解得：μ＝0.25。
(3)在AB斜轨道上，μmgcosα解得：s＝21 m。
[答案]　(1)420 N，方向向下　(2)0.25　(3)21 m
课后课时作业
题型一　利用动能定理求变力做功
1.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一水平轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧接触后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从物体开始接触弹簧到弹簧被压缩至最短(弹簧始终在弹性限度内)的过程中，物体克服弹簧弹力所做的功为(　　)
A.mv－μmg(s＋x) B.mv－μmgx
C．μmgs D．μmg(s＋x)
答案：A
解析：设物体克服弹簧弹力所做的功为W，在该运动过程中，由动能定理得－W－μmg(s＋x)＝0－mv，则W＝mv－μmg(s＋x)，故A正确，B、C、D错误。
2.一名运动员的某次训练过程中，转盘滑雪机绕垂直于盘面的固定转轴以角速度ω＝0.5 rad/s顺时针匀速转动，质量为60 kg的运动员(含滑雪板)在盘面上离转轴10 m的半径上滑行，滑行方向与转盘转动方向相反，在最低点的速度大小为10 m/s，滑行半周到最高点的速度大小为8 m/s，该过程中，运动员对自身所做的功为6500 J，已知盘面与水平面夹角为18°，g取10 m/s2，sin18°＝0.31，cos18°＝0.95，则该过程中运动员克服摩擦阻力做的功为(　　)
A．4240 J B．3740 J
C．3860 J D．2300 J
答案：C
解析：运动员在最低点的对地速度为10 m/s，在最高点的对地速度为8 m/s，根据动能定理可得W－mg·2rsin18°－W克＝mv2－mv，又W＝6500 J，解得W克＝3860 J，故选C。
题型二　动能定理在运动图像问题中的应用
3．(多选)一滑块从固定光滑斜面顶点由静止释放，沿斜面下滑的过程中，滑块的动能Ek与运动时间t、t2、下滑高度h、运动位移x之间的关系图像正确的是(　　)
答案：BC
解析：设斜面的倾角为θ，滑块沿斜面下滑的过程中，由牛顿第二定律可得滑块的加速度大小a＝gsinθ，v＝at，滑块的动能Ek＝mv2，联立解得Ek＝t2，则Ek与t2成正比，故A错误，B正确；由动能定理有Ek＝mgh＝mgsinθ·x，则Ek与h成正比，Ek与x成正比，故C正确，D错误。
4.(多选)一质量为1 kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A．在x＝1 m时，拉力F1＝4.5 N
B．在x＝4 m时，拉力F2＝3 N
C．从x＝0运动到x＝2 m的过程中，物体克服摩擦力做的功为8 J
D．从x＝0运动到x＝4 m的过程中，物体的速度最大为vm＝2 m/s
答案：BCD
解析：由于拉力沿水平方向，且物体只受拉力与摩擦力作用，由静止开始运动，则拉力做的功为W＝Fx，可看出W x图像的斜率代表拉力F，则由题图知0～2 m过程中，拉力F1＝ N＝6 N，2～4 m过程中，拉力F2＝ N＝3 N，A错误，B正确；从x＝0运动到x＝2 m的过程中，物体克服摩擦力做的功Wf＝μmgx0＝8 J，C正确；物体所受摩擦力f＝μmg＝4 N，可得F2题型三　动能定理在多过程问题中的应用
5.如图所示，小球以初速度v0从A点出发，沿不光滑的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，小球经过轨道连接处前后速率不变，则小球再次经过A点的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：设小球在由A到B的过程中摩擦阻力做的功为W，由A到B的过程中由动能定理得－mgh＋W＝0－mv，当小球由B返回到A的过程中，摩擦阻力做的功依旧为W，由动能定理得mgh＋W＝mv－0，联立可得小球再次经过A点的速度大小vA＝，D正确。
6．如图所示，斜面粗糙，水平面和圆弧轨道光滑，三者平滑连接，物块在连接处无能量损失，圆弧轨道半径为R，质量为m的物块在斜面上由A点静止下滑，物块恰好运动到D点，已知C点为圆弧轨道最低点，E点为圆弧轨道最高点，A点与E点等高，D点与圆弧轨道圆心等高，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．刚进入圆弧轨道C点时，物块对轨道的压力为2mg
B．物块在斜面上运动时，摩擦力做功为mgR
C．如果物块在A点释放时速度为，物块可以运动到E点
D．如果物块在A点释放时速度为2，物块可以运动到E点
答案：D
解析：设在C点物块的速度大小为vC，轨道对物块的支持力为FC，对物块从C点到D点的过程，由动能定理得－mgR＝0－mv，刚进入圆弧轨道C点时，对物块由牛顿第二定律得FC－mg＝m，由牛顿第三定律得，物块对轨道的压力大小为FC′＝FC＝3mg，故A错误；物块在由A点运动至D点的过程，由动能定理得mgR＋Wf＝0－0，解得摩擦力做功为Wf＝－mgR，故B错误；假设物块恰好可以运动到E点，由重力提供向心力，有mg＝m，此时物块在A点释放的速度最小，设为v0，物块从A点运动到E点，由动能定理得Wf＝mv－mv，解得v0＝，即物块在A点释放的速度v≥时，物块才可以运动到E点，故C错误，D正确。
7．从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k(k<1)倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：
(1)小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？
(2)小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
答案：(1)H　(2)
解析：(1)设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h，则由动能定理得
mg(H－h)－kmg(H＋h)＝0
解得h＝H。
(2)设小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是s，对全过程由动能定理得
mgH－kmgs＝0
解得s＝。
8．(多选)从地面竖直向上抛出一物体，其动能Ek随它离开地面的高度h的变化如图所示，重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得(　　)
A．物体的质量为2 kg
B．物体的质量为1 kg
C．物体受到空气阻力的大小为4 N
D．物体受到空气阻力的大小为6 N
答案：BD
解析：物体上升高度Δh的过程，由动能定理有－(mg＋Ff)Δh＝ΔEk，物体下降高度Δh′的过程，由动能定理有(mg－Ff)Δh′＝ΔEk′，可知Ek h图像斜率的绝对值表示物体所受合力的大小，由以上两式对照Ek h图像有mg＋Ff＝ N＝16 N，mg－Ff＝ N＝4 N，联立两式解得m＝1 kg，Ff＝6 N，A、C错误，B、D正确。
9.(多选)两质量均为1 kg的小球1、2(均视为质点)用长为1 m的水平轻质杆相连，置于光滑水平面上，且小球1恰好与光滑竖直墙壁接触，如图所示。现用斜向上的力F拉动小球1，使小球1贴着竖直墙壁上升，小球2沿水平面向左运动，直到杆与水平面的夹角θ＝53°，此时小球2的速度大小为 m/s。取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列分析正确的是(　　)
A．此时小球1的速度大小为1 m/s
B．该过程中杆对小球1做的功为－ J
C．该过程中力F对小球1做的功约为10.2 J
D．该过程中小球1受到的合力的功约为8.8 J
答案：BC
解析：两球沿杆方向上的分速度相等，则有v1cos37°＝v2cos53°，代入数据解得v1＝ m/s，故A错误；对小球2，根据动能定理得杆对小球2做的功W2＝mv＝×1× J＝ J，杆对小球2做的功与对小球1做的功的代数和为0，所以该过程中杆对小球1做的功为W杆＝－ J，故B正确；对小球1，该过程中利用动能定理有WF＋W杆＋WG＝mv－0，又因为WG＝－mgh1，其中h1＝Lsin53°，联立并代入数据解得WF＝10.2 J，故C正确；根据动能定理，可知该过程中小球1受到的合力的功为W合＝mv≈0.78 J，故D错误。
10．(多选)测试某款质量为m的氢能源汽车性能时的v t图像如图所示。已知汽车在平直公路上以额定功率P启动，整个运行过程中汽车功率及所受阻力均恒定，t1时刻起以最大速度vm匀速行驶。则在0～t1时间内，下列说法正确的是(　　)
A．牵引力逐渐增大
B．阻力大小为
C．牵引力对汽车做的功为mv
D．汽车行驶的距离为
答案：BD
解析：由题意可知，在0～t1时间内，牵引力的功率不变，而汽车的速度逐渐增大，由P＝Fv可得，牵引力逐渐减小，故A错误；当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则P＝Fv＝fvm，可得汽车所受的阻力大小为f＝，故B正确；在0～t1时间内，由动能定理有Pt1－fx＝mv－0，解得汽车行驶的距离为x＝，牵引力对汽车做的功W牵＝Pt1＝mv＋fx，故C错误，D正确。
11．如图甲所示，长为4 m的水平轨道AB与半径为R＝0.5 m的竖直半圆弧轨道BC在B处相连接，有一质量为1 kg的滑块(大小不计)，从A处由静止开始受水平向右的力F作用，F的大小随位移x变化的关系如图乙所示，滑块与轨道AB间的动摩擦因数为μ＝0.25，取g＝10 m/s2。求：
(1)滑块到达B处时的速度大小；
(2)滑块刚滑上圆弧轨道时，对圆弧轨道的压力；
(3)若到达B点时撤去力F，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点C，则滑块在半圆弧轨道上摩擦力所做的功是多少？
答案：(1)2 m/s　(2)90 N，方向竖直向下 (3)－7.5 J
解析：(1)F x图像中，图线与x轴所围面积表示F所做的功，则滑块从A运动到B的过程中，F做的功
WF＝20×2 J－10×(4－3) J＝30 J
对滑块，在从A运动到B的过程中，由动能定理得WF－μmgx＝mv－0
代入数据解得滑块到达B处时的速度大小
vB＝2 m/s。
(2)设滑块刚滑上圆弧轨道时，圆弧轨道对滑块的支持力为FN，根据牛顿第二定律得
FN－mg＝
解得FN＝90 N
由牛顿第三定律知，滑块对圆弧轨道的压力大小为FN′＝FN＝90 N，方向竖直向下。
(3)设滑块在半圆弧轨道上摩擦力所做的功为Wf，当滑块恰好能到达最高点C时，由牛顿第二定律有mg＝m
对滑块，在从B运动到C的过程中，由动能定理得Wf－mg·2R＝mv－mv
代入数据解得Wf＝－7.5 J。
11(共39张PPT)
第八章　机械能守恒定律
专题提升十　动能定理的综合应用
目录
1
课后课时作业
提升
２
提升
提升1　利用动能定理求变力做功
在某些问题中，由于力F的大小、方向发生变化，不能用W＝Flcosα求变力做功。在前面的内容中，已经讲解过利用W＝Pt、微元累积法、图像法、平均值法、转化法五种方法求变力做功，此外还可以根据动能定理间接求解。
基本思路是：一个变力和若干个恒力都对物体做功时，可以先求出恒力做的功，然后用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W恒＝ΔEk。
在温州市科技馆中，有个用来模拟天体运动的装置，其内部是一个类似锥形的漏斗容器，如图甲所示。现在该装置的上方固定一个四分之一光滑管道AB，光滑管道下端刚好贴着锥形漏斗容器的边缘，如图乙所示。将一个质量为m的小球从管道的A点静止释放，小球从管道B端射出后刚好贴着锥形容器壁运动，由于摩擦阻力的作用，运动的高度越来越低，最后从容器底部的孔C掉下(轨迹大致如图乙虚线所示)，已知小球离开C孔的速度为v，
A到C的高度为H，重力加速度为g。求小球在锥形漏
斗表面运动的过程中克服摩擦阻力所做的功。
小球沿锥形漏斗表面下滑时，摩擦力做的功能直接求解吗？
提示：不能。
提升2　动能定理在图像问题中的应用
用动能定理求解图像问题的分析步骤
(1)看清楚图像的种类(如v t图像、F x图像、Ek x图像、P t图像等)。
(2)结合题意和图像，分析物理过程。
(3)挖掘图像中的隐含条件，如斜率、截距、面积等所代表的物理量，结合物理过程列出所需的表达式。
(4)分析有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应物理量。
(多选)在某次帆船运动比赛中，质量为500 kg的帆船，在风力和水的阻力共同作用下做直线运动的v t图像如图所示。下列表述正确的是(　　)
A．在0～1 s内，风力对帆船做功1000 J
B．在0～1 s内，合力对帆船做功1000 J
C．在1～2 s内，合力对帆船做功750 J
D．在0～3 s内，合力对帆船做的总功为0
质量为1 kg的物体以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用，其动能随位移变化的图线如图所示，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是(　　)
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5
B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
C．物体滑行的总时间为4 s
D．物体滑行的总时间为2.5 s
提升3　动能定理在多过程问题中的应用
1．应用动能定理求解多过程问题的两种方法
物体的运动过程可分为几个运动性质不同的阶段(如加速、减速的阶段)时，可以分段分析应用动能定理，也可以对全过程整体分析应用动能定理，但当题目不涉及中间量时，选择全过程整体分析应用动能定理会更简单、更方便。
2．全过程应用动能定理时的注意事项
当物体的运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和。
物体从高出地面H处由静止自由落下，不考虑空气阻力，落至沙坑表面后又进入沙坑h深度停止(如图所示)。求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？
答案　(1)420 N，方向向下　(2)0.25　(3)21 m
课后课时作业
2.一名运动员的某次训练过程中，转盘滑雪机绕垂直于盘面的固定转轴以角速度ω＝0.5 rad/s顺时针匀速转动，质量为60 kg的运动员(含滑雪板)在盘面上离转轴10 m的半径上滑行，滑行方向与转盘转动方向相反，在最低点的速度大小为10 m/s，滑行半周到最高点的速度大小为8 m/s，该过程中，运动员对自身所做的功为6500 J，已知盘面与水平面夹角为18°，g取10 m/s2，sin18°＝0.31，cos18°＝0.95，则该过程中运动员克服摩擦阻力做的功为(　　)
A．4240 J B．3740 J
C．3860 J D．2300 J
题型二　动能定理在运动图像问题中的应用
3．(多选)一滑块从固定光滑斜面顶点由静止释放，沿斜面下滑的过程中，滑块的动能Ek与运动时间t、t2、下滑高度h、运动位移x之间的关系图像正确的是( 　)
7．从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k(k<1)倍，而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：
(1)小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？
(2)小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
8．(多选)从地面竖直向上抛出一物体，其动能Ek随它离开地面的高度h的变化如图所示，重力加速度取10 m/s2。由图中数据可得(　　)
A．物体的质量为2 kg
B．物体的质量为1 kg
C．物体受到空气阻力的大小为4 N
D．物体受到空气阻力的大小为6 N
11．如图甲所示，长为4 m的水平轨道AB与半径为R＝0.5 m的竖直半圆弧轨道BC在B处相连接，有一质量为1 kg的滑块(大小不计)，从A处由静止开始受水平向右的力F作用，F的大小随位移x变化的关系如图乙所示，滑块与轨道AB间的动摩擦因数为μ＝0.25，取g＝10 m/s2。求：
(1)滑块到达B处时的速度大小；
(2)滑块刚滑上圆弧轨道时，对圆弧
轨道的压力；
(3)若到达B点时撤去力F，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点C，则滑块在半圆弧轨道上摩擦力所做的功是多少？

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