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第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 九年级上册
姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________
第二十五章 一元二次方程 · 第 1 节 · 1 课时
前面几年见的方程，最高次数都是一次：一元一次方程、二元一次方程组，去分母、去括号、移项，最后总能把它化成一个一次的样子。这一节要认识的方程不一样，未知数要平方，名字里就带着这件事。
这节课要办三件事：一是会从实际问题里把这类方程列出来；二是把它的三条特征说清楚，拿这三条去认式子；三是记住它的一般形式与各项名称，并弄清二次项系数为什么不能是 0。最后再学一个新说法 —— 某个数是不是它的根。
这类方程的名字不是先给出来再找例子，而是先有三个实际问题，各列出一个式子，式子摆在一起，三条特征自己浮出来，名字才定下来。整节课就走这条线：从实例里请出它 — 在它身上立三条规矩 — 给它一套统一的写法 — 让它派上用场。
学习目标
1. 能说出这类方程是从实际问题里列出来的，会按"先找相等关系、再设未知数、最后列式"的路子，把雕像、方盒、球赛三个情境各列成一个含未知数的等式。
2. 能说出概念：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
3. 会用三条特征去判断一个式子是不是一元二次方程；知道三条要同时成立，缺一条就不是。
4. 知道一元二次方程的一般形式是 a + bx + c = 0 (a ≠ 0)，会指出二次项与二次项系数、一次项与一次项系数、常数项，并知道系数要连同前面的符号一起读。
5. 能说出规定 a ≠ 0 的道理，会举出 b = 0、c = 0 或 b 与 c 同时为 0 的例子，知道它们仍然是一元二次方程。
6. 会按去括号、去分母、移项、合并同类项四步，把一个一元二次方程化成一般形式，并正确写出三项系数。
7. 知道一元二次方程的解也叫作它的根，会把一个数代回方程，看左右两边的值是不是一样，从而判断它是不是方程的根。
学习重点与难点
项目 内容
学习重点 一元二次方程的三条特征与判断；一般形式 a + bx + c = 0 (a ≠ 0) 与各项名称；把方程化成一般形式；根的概念与判断一个数是不是根
学习难点 第一，判断时只看"有没有平方"这一处，漏掉"含未知数的式子都是整式"与"只含一个未知数"这两条；第二，把 (x - 2)(x + 3) = 这类式子看成一元二次方程，不去看化简之后平方项还在不在；第三，写一般形式时不把右边的项移到左边，右边留着别的项；第四，移项忘记变号，把 4 = 81 写成 4 + 81 = 0；第五，读系数只读数字不读符号，把一次项系数 -8 写成 8；第六，缺项时把该项的系数空着不写，不知道要写 0；第七，判断根时凭感觉下结论，不把数代回方程算两边的值
课时与教材页码
课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾
第 1 课时　一元二次方程的概念 P1—P4 由课文 P1 章引言的雕像比例问题列式（课本 P1 章引言）；再由 P2 的方盒与球赛两个实际问题列式（课本 P2 问题1、问题2）；把三个方程摆在一起，从三条特征上说出概念（课本 P2）；写出一般形式 a + bx + c = 0 (a ≠ 0)，认三项名称，议一议 a ≠ 0 的道理（课本 P2）；化一般形式的例题（课本 P3）；根的说法与判断一个数是不是根（课本 P3）；课本 P3 练习两组；完成《习题25.1》 ○
本节正文从课本 P1 的章引言开始，到 P4 的《习题25.1》结束。课本 P1 的雕像比例示意图、P2 的方盒铁皮示意图与排球赛情境图、P3 的判断根示例，都是课本原图，请同学自己翻课本看，本材料不重画。
开场五问
1. 一块长 100 厘米、宽 50 厘米的矩形铁皮，四角各切去一个边长 x 厘米的正方形后折成无盖方盒，盒底的长与宽各是多少厘米？
2. 组织一次单循环排球邀请赛，每两支球队之间赛 1 场。若邀请 x 支球队，总场数是 28，那么总场数用 x 怎么表示？
3. 下列各式中，哪些含有未知数的平方？3x - 1 = 0； - 2x = 0； + 2 = 0； + y = 1。
4. 方程 3 - 7 = 0 里，二次项是哪个？一次项系数是多少？常数项是多少？
5. 把 x = 3 代进 + x - 12，算出来的值是多少？这个数与 0 一样吗？
我写热身答案：
【预习提醒】第 1 题：盒底的长是 (100 - 2x) 厘米，宽是 (50 - 2x) 厘米 —— 四角各切去边长 x 的正方形，长与宽就各少了 2x。第 2 题：总场数是 x(x - 1)；每支球队要与其他 (x - 1) 支各赛 1 场，而每场比赛在两支球队之间进行，所以总数要除以 2。第 3 题： - 2x = 0 与 + y = 1 里含未知数的平方；3x - 1 = 0 里没有平方； + 2 = 0 的分母里含未知数，也不是我们要找的那一类。第 4 题：二次项是 3；这道题里没有一次项，一次项系数是 0；常数项是 -7。第 5 题：把 x = 3 代进去得 + 3 - 12 = 0，与 0 一样大 —— 这样的数就是方程的根。
一、第一步 · 从三个实例里请出它
一个新名字往往不是先起好再去找例子，而是先有几个例子摆在眼前，看着看着，共有的地方浮出来，名字才跟着定下来。这一节要认识的方程就是这样来的：先从三个实际问题里各列一个式子，名字的事放到下一步再说。
这一关练两样：一是把实际问题里的相等关系找出来，设好未知数、列成式子；二是把式子整理干净，看看最后剩下的方程长什么样。三处列式的路子是同一套：先想清"谁和谁相等"，再动手。
1. 三个实例，如图 1：雕像、方盒、球赛。三处各有一个实际问题，要办的事情却是同一件 —— 先找出"谁和谁相等"。
图 1 三个实例：雕像、方盒、球赛
对着图看三格：左边一格是雕像，中间一格是方盒，右边一格是球赛。情境不一样，列式的路子一样：先想清相等关系，再设未知数，式子就跟着出来了。
2. 第一个式子（课本 P1 章引言）：人体雕像全身长 5 米，设腰部以下 BC = x 米，则腰部以上 AC = (5 - x) 米。由"腰部以上 : 腰部以下 = 腰部以下 : 全身"，用内项之积与外项之积的关系列式，得________。
3. 第二个式子（课本 P2 问题1）：一块矩形铁皮长 100 厘米、宽 50 厘米，四角各切去一个边长 x 厘米的正方形后折成无盖方盒。这时盒底长为 (100 - 2x) 厘米、宽为 (50 - 2x) 厘米，由"盒底面积是 3600 平方厘米"列式，得________。
4. 第三个式子（课本 P2 问题2）：组织一次单循环排球邀请赛，每两队之间赛 1 场，赛程共 7 天、每天 4 场，总场数是 7×4 = 28。邀请 x 支球队时总场数为 x(x - 1)，由它等于 28 列式，得________。
5. 三条式子各自化简，写出化简后的三个方程（课本 P2）：① ________；② ________；③ ________。三个方程依次来自雕像、方盒、球赛，这一步里每一个都按同一条路子整理。
我列式子并化简：
【列式提醒】第一个式子：由 AC : BC = BC : AB 得 = 5(5 - x)；去括号、移项、合并同类项得 + 5x - 25 = 0，记作 ①。第二个式子：(100 - 2x)(50 - 2x) = 3600；去括号得 5000 - 300x + 4 = 3600，移项、合并同类项得 4 - 300x + 1400 = 0，两边同除以 4 得 - 75x + 350 = 0，记作 ②。第三个式子：x(x - 1) = 28；两边同乘 2 得 x(x - 1) = 56，去括号、移项得 - x - 56 = 0，记作 ③。三处都留了"两边同除"或"两边同乘"这一步，要的是一个干净的结果，不是把系数撑大。
6. 对照：三条式子各自化简，得到三个方程，如图 2。
图 2 三条式子各自化简，得到三个方程
对着图看左右两栏：左边一栏是刚列出的三条式子，右边一栏是把它们化简之后得到的三个方程。中间的箭头表示"整理一遍"这个动作 —— 去括号、把右边的项移到左边、合并同类项。把两栏逐条对上，看看自己哪一处漏了步骤。
单循环赛的总场数一句话：每两队之间赛 1 场，x 支球队一共要比 x(x - 1) 场 —— 每支球队与其余 (x - 1) 支各赛 1 场，得 x(x - 1)；而每一场比赛都被两队各算了一次，所以要除以 2。要是每两队之间赛 2 场（双循环），总场数才是 x(x - 1)。
7. 想一想：问题2 里那个除以 2 若省掉，会把每一场比赛算成几次？说说这一除为什么不能省。
我写想法：
8. 自主小结：把三个实例、三条式子、三个方程一一对上，各写一遍。
我写小结：
二、第二步 · 在它的身上立三条规矩
三个式子整理完，摆在桌上的是三个长得不一样的方程。它们不一样，可有些地方是一样的。把这些一样的地方挑出来，就是给这一类方程立规矩 —— 以后见到的方程，凡是三处都对得上，就归到这一类里。
这一步要盯住一件事：规矩有三条，不是一条。只看有没有平方，会把好几种不是的当成是；三条一起看，才不会看走眼。
1. 三个方程的相同之处，如图 3。
图 3 三个方程的相同之处：一个未知数、都是整式、最高次数是 2
对着图看上下两部分：上面一格把三个方程摆在一起；下面三格是它们共有的地方 —— 字母只有 x、分母里没有字母、平方那一项在。三格说的都是"三条同时成立，才是这一类方程"。
2. 概念（课本 P2）：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2 的方程，叫做________。
3. 三条特征，一条也不能少：① ________；② ________；③ ________。三条都占，才归到这一类里。
看哪一处 要满足的样子 对不上的样子 打勾
含未知数的式子 都是整式，分母里没有字母 + x = 1 的分母里含未知数 ○
未知数的个数 只含一个未知数 - 2y = 0 里有两个未知数 ○
未知数的最高次数 化简之后是 2 + = 0 的最高次数是 3 ○
我写三条特征：
【规矩提醒】三条依次是：只含有一个未知数；含有未知数的式子都是整式（分母里不含未知数）；未知数的最高次数是 2。三条是"并且"的关系，要同时成立。第一条挡住两个未知数的式子，第二条挡住分母里带字母的式子，第三条挡住次数比 2 高或低的情形。
4. 看着像、其实不是的三种，如图 4。
图 4 看着像、其实不是：分母含字母、两个未知数、最高次数是 3
对着图看三格：左边一格的分母里含未知数，含未知数的式子就不是整式；中间一格有两个未知数；右边一格的最高次数是 3。三格各缺一条，所以都不是。
5. 即时判断（课本 P2 议一议后）：下列各式中，哪些是一元二次方程？(1) 3x - 1 = 0；(2) - 2x = 0；(3) + 2 = 0；(4) + y = 1；(5) 5 - = 0；(6) (x - 2)(x + 3) = 。
我写结果与理由：
【判断提醒】只有 (2) 是一元二次方程。(1) 的未知数最高次数是 1，是一元一次方程；(3) 的分母里含未知数，含未知数的式子不是整式；(4) 里有两个未知数；(5) 的最高次数是 3；(6) 要先化简：(x - 2)(x + 3) = 去括号得 + x - 6 = ，两边的 相消，剩下 x - 6 = 0，是一元一次方程 —— 这一条最容易漏，因为不化简根本看不出平方项已经消掉了。
6. 想一想：(x - 2)(x + 3) = 明明带着平方，为什么它不是一元二次方程？
我写想法：
7. 自主小结：把判断时先看什么、再看什么、最后看什么，按顺序写一遍。
我写小结：
三、第三步 · 给它一套统一的写法
规矩立好，这一类方程算是认出来了。可认出来还不够 —— 三个方程各写各的样子，读系数的时候容易乱。所以第三步要给它一套统一的写法，把所有的这类方程都摆成同一个姿势，再给每一项配上固定的名字。
这一步里有一处最要紧：写着统一姿势的那个"a"，不能取 0。为什么会这样，图上看得清清楚楚；想通了这一处，后面读系数、化一般形式就都顺了。
1. 一般形式与各项名称，如图 5。
图 5 一般形式与各项名称：二次项、一次项、常数项
对着图看上下两部分：上面一格是这一类方程统一的写法，右边标着 a 不为 0；下面三格依次是二次项与二次项系数、一次项与一次项系数、常数项，末一行还点出"系数要连同前面的符号一起读"。
2. 一般形式（课本 P2）：一元二次方程的一般形式是________（其中 a 不为 0）。其中 a 是二次项、a 是二次项系数；bx 是一次项、b 是一次项系数；c 是常数项。读系数时，要把前面的________一起读进去。
3. 四道方程摆在一起，各项与系数对照着看，如下表。
方程 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项
3 - 8x - 10 = 0 3 3 -8x -8 -10
- 75x + 350 = 0 1 -75x -75 350
4 - 81 = 0 4 4 没有这一项 0 -81
3 - 4x = 0 3 3 -4x -4 0
我写各项与系数：
【读系数提醒】四道题里有两道是"缺项"的，最要看清楚。4 - 81 = 0 里没有一次项，一次项系数要写 0，不能空着；3 - 4x = 0 里没有常数项，常数项要写 0。缺项写 0 的道理是：一般形式里三项都得在，缺少的那一项只是系数为 0 而已。另外，像 -8x 这样带负号的项，系数是 -8 而不是 8 —— 读系数先读符号。
4. a 能不能是 0，如图 6。
图 6 a 取 0 时，二次项就没有了
对着图看上下两格：上格写着 a 不为 0 时的样子；下格是 a 取 0 之后的样子，平方那一项整块不见了，只剩下 bx + c = 0。所以 a 取 0 时，方程里不再有二次项，未知数的最高次数也不是 2。
5. 议一议（课本 P2）：若 a = 0，a + bx + c = 0 就变成 bx + c = 0，这时未知数的最高次数不是 2，它就不是一元二次方程了。所以必须规定________。反过来，b 与 c 可以取 0，如 4 - 81 = 0 与 3 - 4x = 0 都还是一元二次方程。
b 与 c 取 0 的三种情形，都还是一元二次方程：b = 0 时，方程变成 a + c = 0，如 4 - 81 = 0；c = 0 时，方程变成 a + bx = 0，如 3 - 4x = 0；b 与 c 同时为 0 时，方程变成 a = 0，如 5 = 0。三种情形的共同点是二次项那一项始终在，二次项系数始终不为 0。
6. 化一般形式的四步，如图 7。
图 7 化一般形式的四步：去括号、去分母、移项、合并同类项
对着图看四格：① 去括号 —— 有括号先去掉；② 去分母 —— 有分母时两边同乘；③ 移项 —— 把右边的项都移到左边，使右边为 0；④ 合并同类项 —— 把同类项并起来，并按未知数降幂排列。四格的顺序不能颠倒。
7. 例题（课本 P3）：将方程 3x(x - 1) = 5(x + 2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
解：去括号，得 3 - 3x = 5x + 10；移项，得 3 - 3x - 5x - 10 = 0；合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3 - 8x - 10 = 0。它的二次项系数是 3，一次项系数是 -8，常数项是 -10。
我写例题解答：
【解题提醒】这道题三处要盯住。第一处是去括号：(x - 1) 与 (x + 2) 都要乘开，得 3 - 3x 与 5x + 10。第二处是移项：右边的 5x 与 10 都要移到左边，移过去要变号，写成 -5x 与 -10，右边留 0。第三处是读系数：一次项系数是 -8 不是 8，常数项是 -10 不是 10 —— 写一般形式时，三项的顺序要按未知数降幂排列。
8. 即时练习（课本 P3 练习 第 1 题）：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) 5 - 1 = 4x；(2) 4 = 81；(3) 4x(x + 2) = 25；(4) (3x - 2)(x + 1) = 5x - 2。
我写练习答案：
【解题提醒】四道小题依次是：(1) 5 - 4x - 1 = 0，二次项系数 5、一次项系数 -4、常数项 -1；(2) 4 - 81 = 0，二次项系数 4、一次项系数 0、常数项 -81；(3) 4 + 8x - 25 = 0，二次项系数 4、一次项系数 8、常数项 -25；(4) (3x - 2)(x + 1) = 5x - 2 先去括号得 3 + x - 2 = 5x - 2，移项、合并同类项得 3 - 4x = 0，二次项系数 3、一次项系数 -4、常数项 0。第 (2) 与第 (4) 都是缺项题，缺的那一项系数写 0。
9. 想一想：4 = 81 化成一般形式时，一次项系数该写什么？为什么不能空着不写？
我写想法：
10. 自主小结：把化一般形式的四步写一遍，再说说移项时最容易漏掉什么。
我写小结：
四、第四步 · 让它派上用场
名字定了，写法也有了，最后一步该让它干点活：给它一个数，看它认不认。这一步在课本 P3 里有一个专门的叫法 —— 这个数如果是方程的根，它就"对得上"这个方程。
判断一个数是不是根，动作只有一个：代进去，两边的值各算一遍，看一样不一样。算的时候要把符号一起带进去，负数的平方也要小心。
1. 根的说法（课本 P3）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个方程的________，也叫作它的根。
2. 一个数是不是它的根，如图 8。
图 8 一个数是不是它的根：左右两边各算一遍
对着图看上下两部分：上面一格是方程 + x - 12 = 0，把要看的那个数代进去；下面两格是把这个数代进去以后，左边算出来的值与右边算出来的值各是多少，中间那一处就是拿两边比较的地方 —— 两边相不相等，得自己把值算出来才知道。两边的值一样，这个数就是它的根；不一样，就不是。
3. 例题·判断根（课本 P3）：判断 x = 3、x = -4、x = 1 是不是方程 + x - 12 = 0 的根。
解：把 x = 3 代入，左边 = + 3 - 12 = 0，与右边的值一样，所以 x = 3 是方程的根；把 x = -4 代入，左边 = + (-4) - 12 = 0，与右边的值一样，所以 x = -4 也是方程的根；把 x = 1 代入，左边 = + 1 - 12 = -10，与右边的值不一样，所以 x = 1 不是方程的根。
我写判断过程：
【解题提醒】这道题里 x = -4 最容易算错： 是 16，不是 -16； + (-4) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0，所以它是根。写的时候要把每一个数都算完整，最后一句点明"与右边的值一样"或"不一样"。三个数代完，方程 + x - 12 = 0 有两个根，分别是 3 与 -4。
4. 即时练习（课本 P3 练习 第 2 题）：根据下列问题列出一元二次方程，并把所列方程化成一般形式：(1) 4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长；(2) 一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长；(3) 把长为 1 米的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长。
我写练习答案：
【解题提醒】三小题依次是：(1) 设边长为 x，由 4 = 25 得 4 - 25 = 0；(2) 设宽为 x，则长为 x + 2，由 x(x + 2) = 100 得 + 2x - 100 = 0 —— 若设长为 x，则宽为 x - 2，由 x(x - 2) = 100 得 - 2x - 100 = 0，两式等价；(3) 设较短一段长 x 米，则较长一段长 (1 - x) 米，由 x × 1 = 得 - 3x + 1 = 0。三小题都要先写出设，再写相等关系，最后才化简。
5. 想一想：要说明一个数"不是"方程的根，只写一句"不是"够不够？该把什么算出来？
我写想法：
6. 自主小结：把"判断一个数是不是根"这个动作写成两句话。
我写小结：
五、四步走完 · 易错清单、自评与作业
四步走完，先把最容易踩的几处集中查一遍。这一节动的都是"细处"：三条特征缺一条、写一般形式不移项、移项不变号、读系数丢负号、缺项空着不写。下面把最常见的七处列成三栏：错法、错在哪里、怎么改。做题时若有一道怎么算都不顺，回来对一对。
查完以后再动手做作业。本节作业分两层：第一层是课本《习题25.1》的复习巩固，人人必做；第二层是综合运用与拓广探索，量力选做。
错法 错在哪里 怎么改
① 只看有没有平方 把 (x - 2)(x + 3) = 当成一元二次方程 先化简，再看平方那一项还在不在；它被消掉了就不是
② 漏掉"整式"这一条 把 + 2 = 0 当成一元二次方程 看分母里有没有未知数；分母里带字母的，含未知数的式子不是整式
③ 漏掉"一个未知数" 把 + y = 1 当成一元二次方程 数一数方程里有几个未知数，只能有一个
④ 写一般形式不移项 由 3 + x - 2 = 5x - 2 直接写 3 + x - 2 = 5x - 2 一般形式的右边必须是 0，右边的项要全部移到左边来
⑤ 移项不变号 由 4 = 81 写成 4 + 81 = 0 移项要变号，81 移到左边要写成 -81
⑥ 读系数丢负号 把一次项系数 -8 读成 8 读系数先读符号，连同前面的负号一起读
⑦ 缺项空着不写 4 = 81 的一次项系数空着不写 缺的那一项系数写 0，一般形式里三项都要在
1. 自查：上面的七条里，本节你做错过的有哪几条？把序号写下来，再各写一句"下一次怎么躲开它"。
我写易错自查：
【自查提醒】七条里，第 ① 条与第 ④ 条最容易反复。第 ① 条是"不化简就下结论"—— 一眼看见平方就认了；纠正的办法是拿笔把括号乘开，看看平方项到哪去了。第 ④ 条是"只算到一半就收笔"—— 去完括号、合并完就不管右边了；纠正的办法是把"右边必须是 0"这五个字写在草稿纸边上，每一步回头对一次。
评价项目 自评
会从实际问题里找出相等关系，设好未知数并列出方程 ○
能说出三条特征，并用它判断一个式子是不是一元二次方程 ○
知道化简后平方项被消掉的式子不是一元二次方程 ○
会写一般形式 a + bx + c = 0 (a ≠ 0) ○
能说出 a 不能取 0 的道理，会举 b 或 c 取 0 的例子 ○
会按去括号、去分母、移项、合并同类项四步化一般形式 ○
会读二次项系数、一次项系数与常数项，缺项要写 0 ○
会把一个数代回方程，判断它是不是方程的根 ○
2. 学习反思：写两句 —— 四步里哪一步你用着最顺？哪一处最容易踩坑，还需要再练几道题？
我写学习反思：
3. 作业安排（课本《习题25.1》在课本 P4，共 5 题）
层次 题目范围 要求 打勾
必做 复习巩固 第 1 题（课本 P4） 四道小题全做，每题先写一般形式，再按"二次项、一次项、常数项"的顺序读系数，系数要带符号 ○
必做 复习巩固 第 2 题（课本 P4） 先写"设"，再写相等关系，然后列方程并化简；三小题都要化成一般形式 ○
必做 复习巩固 第 3 题（课本 P4） 把各数逐个代回方程，写出两边算出来的值，再说明哪些是根、为什么 ○
选做 综合运用 第 4 题、拓广探索 第 5 题（课本 P4） 第 4 题按"直田积 = 阔 × 长"列式；第 5 题先代进去求常数，再找方程的另一个根 ○
4. 《习题25.1》全览（课本 P4，共 5 题）
题号 教材页码 这一题要做什么 打勾
第 1 题 P4 复习巩固：把四道方程化成一般形式，写出二次项系数、一次项系数和常数项 ○
第 2 题 P4 复习巩固：由圆的面积、直角三角形的面积、勾股关系各列一个一元二次方程 ○
第 3 题 P4 复习巩固：在 -4 到 4 这些整数里找出方程 + x - 12 = 0 的根，并说明为什么 ○
第 4 题 P4 综合运用：南宋杨辉《田亩比类乘除捷法》里的直田问题，列方程并化成一般形式 ○
第 5 题 P4 拓广探索：由 2 是方程 - c = 0 的根，求常数 c 是多少，并找出方程的另一个根 ○
5. 分层练习
A 组（必做 · 把四步各练一遍）
(1) 判断：下列各式中，哪些是一元二次方程？3x - 1 = 0； - 2x = 0； + 2 = 0； + y = 1；5 - = 0；(x - 1)(x + 2) = 3。
(2) 把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：(1) 3 - 2x = 5；(2) 2 = 7x；(3) (x + 3)(x - 1) = 6；(4) 5x(x - 1) = 2(x + 3)。
(3) 判断下列各数是不是方程 - 3x - 4 = 0 的根：-1，0，2，4。
(4) 若关于 x 的方程 (m - 2) + 3x - 1 = 0 是一元二次方程，求 m 的取值范围。
(5) 某学校组织篮球赛，采用单循环形式（每两队之间赛 1 场），一共进行了 45 场比赛。设参赛队数为 x，列出 x 满足的一元二次方程，并化成一般形式。
我写 A 组解答：
B 组（选做 · 字母系数与根）
(1) 若 x = -2 是方程 + ax - 6 = 0 的一个根，求 a 的值。
(2) 若关于 x 的方程 (m - 1) + x + - 1 = 0 的一个根是 x = 0，求 m 的值。
(3) 把方程 = 3(x + 2) 化成一般形式，并写出它的各项系数。
(4) 已知关于 x 的方程 - 3x + c = 0 的一个根是 2，求 c 的值及方程的另一个根。
我写 B 组解答：
C 组（挑战 · 先整理再算）
(1) 若关于 x 的方程 ( - 9) + (a - 3)x + 1 = 0 是一元二次方程，求 a 的取值范围。
(2) 已知 a 是方程 - 4x + 2 = 0 的一个根，求 - 4a + 2026 的值。
(3) 用一条长 40 厘米的绳子围成一个面积为 64 平方厘米的长方形，求长方形的长 x 所满足的一元二次方程，并化成一般形式。
我写 C 组解答：
参考答案
（一）前导 · 学习目标与开场五问
（1）第 1 题：盒底的长是 (100 - 2x) 厘米，宽是 (50 - 2x) 厘米 —— 四角各切去边长 x 的正方形，长与宽就各少了 2x。
（2）第 2 题：总场数是 x(x - 1)。每支球队与其余 (x - 1) 支各赛 1 场，得 x(x - 1)；每一场比赛被两队各算了一次，所以还要除以 2。
（3）第 3 题： - 2x = 0 与 + y = 1 里含未知数的平方；3x - 1 = 0 里没有平方； + 2 = 0 的分母里含未知数。
（4）第 4 题：二次项是 3；这道题里没有一次项，一次项系数是 0；常数项是 -7。
（5）第 5 题：把 x = 3 代进去，得 + 3 - 12 = 0，与 0 一样大 —— 这样的数就是方程的根。
（二）第一步 · 从三个实例里请出它
（1）三条式子（课本 P1—P2）：雕像 = 5(5 - x)；方盒 (100 - 2x)(50 - 2x) = 3600；球赛 x(x - 1) = 28。
（2）化简的结果（课本 P2）：① + 5x - 25 = 0；② - 75x + 350 = 0；③ - x - 56 = 0，依次来自雕像、方盒、球赛。
（3）化简过程：① = 5(5 - x) 去括号得 = 25 - 5x，移项、合并同类项得 + 5x - 25 = 0；② (100 - 2x)(50 - 2x) = 3600 去括号得 5000 - 300x + 4 = 3600，移项、合并同类项得 4 - 300x + 1400 = 0，两边同除以 4 得 - 75x + 350 = 0；③ x(x - 1) = 28 两边同乘 2 得 x(x - 1) = 56，去括号、移项得 - x - 56 = 0。
（4）想一想示例：省掉除以 2，每一场比赛会被算两次（甲对乙与乙对甲各算一次），总场数就成了实际场数的两倍。要的是一共有多少场，所以必须除以 2。
（5）小结示例：三个实例与三条式子、三个方程一一对应 —— 雕像对 ①，方盒对 ②，球赛对 ③；三处走的都是"先找相等关系，再设未知数，最后列式并化简"这一条路。
（三）第二步 · 在它的身上立三条规矩
（1）概念（课本 P2）：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。
（2）三条特征：① 只含有一个未知数；② 含有未知数的式子都是整式（分母里不含未知数）；③ 未知数的最高次数是 2。三条是"并且"的关系，要同时成立。
（3）即时判断（课本 P2 议一议后）：只有 (2) - 2x = 0 是一元二次方程。(1) 的未知数最高次数是 1，是一元一次方程；(3) 的分母里含未知数，含未知数的式子不是整式；(4) 里有两个未知数；(5) 的最高次数是 3；(6) 化简得 x - 6 = 0，平方那一项被消掉了。
（4）想一想示例：(x - 2)(x + 3) = 去括号得 + x - 6 = ，两边的 相消，剩下 x - 6 = 0，未知数的最高次数是 1。判断要看化简之后的样子，不能只看括号里有没有平方。
（5）小结示例：先看含未知数的式子是不是整式（分母里有没有字母），再看有几个未知数，最后看化简之后未知数的最高次数是不是 2；三处依次看过去，有一处对不上就不是。
（四）第三步 · 给它一套统一的写法
（1）一般形式（课本 P2）：a + bx + c = 0，其中 a 不为 0。a 是二次项、a 是二次项系数；bx 是一次项、b 是一次项系数；c 是常数项。读系数要把前面的符号一起读进去。
（2）各项与系数对照：3 - 8x - 10 = 0 的二次项是 3、系数 3，一次项是 -8x、系数 -8，常数项是 -10； - 75x + 350 = 0 依次是 、1，-75x、-75，350；4 - 81 = 0 依次是 4、4，没有一次项、系数 0，-81；3 - 4x = 0 依次是 3、3，-4x、-4，没有常数项、系数 0。
（3）议一议（课本 P2）：a 取 0 时，a + bx + c = 0 变成 bx + c = 0，式子里不再有二次项，未知数的最高次数也不是 2，就不是一元二次方程了，所以必须规定 a 不为 0。b 与 c 可以取 0，如 4 - 81 = 0（b = 0）、3 - 4x = 0（c = 0）、5 = 0（b 与 c 同时为 0）都还是一元二次方程。
（4）例题（课本 P3）：3x(x - 1) = 5(x + 2) 去括号得 3 - 3x = 5x + 10；移项得 3 - 3x - 5x - 10 = 0；合并同类项得一般形式 3 - 8x - 10 = 0；二次项系数是 3，一次项系数是 -8，常数项是 -10。
（5）即时练习（课本 P3 练习 第 1 题）：(1) 5 - 4x - 1 = 0，二次项系数 5、一次项系数 -4、常数项 -1；(2) 4 - 81 = 0，二次项系数 4、一次项系数 0、常数项 -81；(3) 4 + 8x - 25 = 0，二次项系数 4、一次项系数 8、常数项 -25；(4) 3 - 4x = 0，二次项系数 3、一次项系数 -4、常数项 0。
（6）想一想示例：4 = 81 里没有一次项，一次项系数要写 0。一般形式的三项是定好的，缺的那一项并不是没有，只是它的系数为 0；空着不写，往下按一般形式读系数时就接不上。
（五）第四步 · 让它派上用场
（1）根（课本 P3）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解，也叫作它的根。
（2）例题·判断根（课本 P3）：把 x = 3 代入 + x - 12，得 + 3 - 12 = 0，与右边的值一样，所以 x = 3 是方程的根；把 x = -4 代入，得 + (-4) - 12 = 0，与右边的值一样，所以 x = -4 也是方程的根；把 x = 1 代入，得 + 1 - 12 = -10，与右边的值不一样，所以 x = 1 不是方程的根。
（3）即时练习（课本 P3 练习 第 2 题）：(1) 设正方形的边长为 x，由 4 = 25 得 4 - 25 = 0；(2) 设矩形的长为 x，则宽为 x - 2，由 x(x - 2) = 100 得 - 2x - 100 = 0；(3) 设较短一段长 x 米，则较长一段长 (1 - x) 米，由 x × 1 = 得 - 3x + 1 = 0。
（4）想一想示例：不够。要说明一个数不是方程的根，得把它代回去，把左边算出来，指出算出来的值与右边的值不一样 —— 有了这个对比，才能下结论。
（5）小结示例：第一句 —— 把要看的数分别代入方程的左右两边，各算出一个值；第二句 —— 两个值一样，这个数就是方程的根，不一样就不是。
（六）四步走完 · 易错清单与自我评价
（1）七条依次是：只看有没有平方；漏掉"整式"这一条；漏掉"一个未知数"这一条；写一般形式不移项；移项不变号；读系数丢负号；缺项空着不写。
（2）最需要防的两条是"不化简就下结论"与"只算到一半就收笔"。前者靠"把括号乘开再看"这个动作，后者靠"右边必须是 0"这句提醒。
（3）自我评价：逐项对照评价表打勾；没有打勾的项目，就回到对应的那一步，把那条规定或那一步重看一遍，再把那一栏的练习重做一遍。
（七）作业 ·《习题25.1》第 1—3 题解答
（1）习题25.1 第 1 题（课本 P4）：(1) 4 + 5x - 81 = 0，二次项系数 4、一次项系数 5、常数项 -81；(2) + x = 0，二次项系数 1、一次项系数 、常数项 0；(3) 2 - 5x + 3 = 0，二次项系数 2、一次项系数 -5、常数项 3；(4) - 2 = 0，二次项系数 1、一次项系数 0、常数项 -2。
（2）习题25.1 第 2 题（课本 P4）：(1) 设圆的半径为 r，由 π = 2π 得 - 2 = 0；(2) 设较长的直角边为 x，则较短的直角边为 x - 3，由 x(x - 3) = 9 得 - 3x - 18 = 0；(3) 设较短的直角边为 x，则另一条直角边为 2x，由 + = 25 得 - 5 = 0。
（3）习题25.1 第 3 题（课本 P4）：把各数逐个代入 + x - 12 —— x = -4 时 + (-4) - 12 = 0，x = 3 时 + 3 - 12 = 0，其余各数代入都不与 0 相等 —— 所以 -4 与 3 是方程的根。能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，这就是"为什么"。
（八）作业 ·《习题25.1》第 4—5 题与分层练习解答
（1）习题25.1 第 4 题（课本 P4）：设阔（宽）为 x 步，则长为 (x + 12) 步，由 x(x + 12) = 864 得 + 12x - 864 = 0。
（2）习题25.1 第 5 题（课本 P4）：(1) 把 x = 2 代入 - c = 0，得 4 - c = 0，所以 c = 4；(2) 方程变为 - 4 = 0，把 x = -2 代入得 - 4 = 0，所以它还有另一个根 x = -2。
（3）A 组：(1) 只有 (2) - 2x = 0 与 (6) (x - 1)(x + 2) = 3 是一元二次方程 —— (6) 去括号得 + x - 2 = 3，移项得 + x - 5 = 0；(1) 是一元一次方程；(3) 的分母里含未知数；(4) 有两个未知数；(5) 的最高次数是 3。(2) (1) 3 - 2x - 5 = 0，(2) 2 - 7x = 0，(3) + 2x - 9 = 0，(4) 5 - 7x - 6 = 0。(3) x = -1 时 1 + 3 - 4 = 0，是根；x = 4 时 16 - 12 - 4 = 0，是根；x = 0 时 -4 与 0 不相等；x = 2 时 4 - 6 - 4 = -6 与 0 不相等。所以 -1 与 4 是方程的根。(4) 由二次项系数不为 0 得 m - 2 ≠ 0，所以 m ≠ 2。(5) 每两队之间赛 1 场，由 x(x - 1) = 45 整理得 - x - 90 = 0。
（4）B 组：(1) 把 x = -2 代入，得 4 - 2a - 6 = 0，即 -2a = 2，所以 a = -1。(2) 把 x = 0 代入，得 - 1 = 0，所以 m = 1 或 m = -1；又二次项系数 m - 1 ≠ 0，即 m ≠ 1，所以 m = -1。(3) = 3(x + 2) 去括号得 4 - 4x + 1 = 3x + 6，移项、合并同类项得 4 - 7x - 5 = 0；二次项系数 4、一次项系数 -7、常数项 -5。(4) 把 x = 2 代入，得 4 - 6 + c = 0，所以 c = 2；方程变为 - 3x + 2 = 0，把 x = 1 代入得 1 - 3 + 2 = 0，所以另一个根是 x = 1。
（5）C 组：(1) 由二次项系数不为 0 得 - 9 ≠ 0，即 ≠ 9，所以 a ≠ 3 且 a ≠ -3。(2) 因为 a 是 - 4x + 2 = 0 的根，所以 - 4a + 2 = 0，即 - 4a = -2，所以 - 4a + 2026 = -2 + 2026 = 2024。(3) 设长方形的长为 x 厘米，则宽为 (20 - x) 厘米，由 x(20 - x) = 64 得一般形式 - 20x + 64 = 0。

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