资源简介

由递推式如何求数列的通项公式
贵州石阡民族中学 杨华章 电话 13385565259 邮编：555100
数列中由递推公式求通项是一类常见又较复杂的问题，是一个难点，近几年来高考数学卷中多有涉及，特别是2007年、2008年高考，全国数学卷Ⅱ中的数列问题就涉及典型的由递推公式求通项的问题，因此这个问题是高考宠儿，变成了近几年的高考热点，也是重点，同学们要加以注意！
本问题可归结为“已知”.这类问题本身很难，教材中没有专门作出讨论，但高考命题却“遵照大纲而不拘泥于大纲，遵循教材而又要超越教材”，而本问题对考察学生思维的灵活性是很好的题材，故成为了高考的热点.这里我们要强调的是，不是所有的递推公式都可以求出通项，但我们注意到在千变万化的递推关系中，有一部分还是有章可循的.本文拟对这类问题作一些概括、归纳和探讨，以使学生对这类问题不再感到棘手，消除得分障碍.
公式法
形如型的，可直接用等差、等比数列的通项公式求解.
已知.
解 由已知故是以1为首项，3为公差的等差数列，
所以
例2 已知
解 由已知得，数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以
二、叠加法
形如的问题可用此法求解
已知.
解 ∵.∴
∴
上述各式相加，得
所以 .
累积法
形如的问题，可先求出，再将上述各式相乘即得.
例4 已知.
解 由已知，.再将上述各式相乘，得
所以
四、迭代法
形如），可将代入，代入，…，依此类推.
例5 已知
解
五、构造新数列法
对于非等差、等比的数列，我们可以根据给出的递推关系的特点，构造一个新数列，使其成为等差或等比数列，进而求解.
如例5的另两种解法如下：
解1 ∵，∴
两式相减得
∴ 为首项，以为公比的等比数列，故，又
∴ ，得出.
解2 ∵， ∴.
∴
故为首项，为公比的等比数列
∴
例6 已知
解 ∵，∴.
可见是以为首项，2为公差的等差数列.
∴∴.
六、数学归纳法
此法是解决这类问题的通法，即先由递推关系计算出若干项，据此猜出的一般形式，再用数学归纳法证明之.
例7 已知
解 由已知
由此猜想
下面用数学归纳法证明.
当时，显然成立.
假设当时成立，即，那么当+1时，可见，当时命题也成立.
综合（1）（2）知，对于一切自然数命题均成立.
所以 .
七、待定系数法
形如 （其中的为常数）可考虑用待定系数法。
例8 已知数列满足求.
解 可设与比较系数得，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列.故有
所以
例9 已知数列由递推关系给出，求.
解 可设将它展开整理得
比较可得因而，数列
是以为首项，3为公比的等比数列，
所以 故.
八、特征根法
形如可考虑用特征根法。
例10 已知数列求数列的通项.
解 其特征根方程为
令
由 得
所以.
二0一0年九月十八日

展开更多......

收起↑