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第11课时　动态平衡和平衡中的临界极值问题　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　动态平衡问题
　　
方法一　解析法
如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，找函数关系，根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
（2025·舟山一模）图甲是迷宫尺子，质量为M的尺子外壳内有一颗质量为m的小钢珠，通过倾斜尺子，可以让小钢珠走出迷宫。小齐保持尺面竖直，小钢珠位于如图乙所示相互垂直的A、B挡板之间，缓慢逆时针转动尺子，直至B水平。将A与水平面的夹角记为θ，下列说法正确的是（　　）
A.A对小钢珠的作用力先增大后减小
B.B对小钢珠的支持力大小为mgsin θ
C.小齐对尺子的作用力大小始终为Mg
D.小钢珠对尺子的作用力和小齐对尺子的作用力是平衡力
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方法二　图解法
物体受三个力作用而处于平衡状态，一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。一般按照以下流程解题。
受力
分析画不同状态
下的平衡图确定力
的变化　
（2025·金华模拟）生活上，我们常用支架与底板垂直的两轮手推车搬运货物。如图甲所示，将质量为m的货物平放在手推车底板上，此时底板水平。现缓慢下压把手，直至底板与水平面间的夹角为60°，不计货物与支架及底板间的摩擦，重力加速度为g，则（　　）
A.当底板与水平面间的夹角为60°时，支架对货物的支持力为mg
B.当底板与水平面间的夹角为60°时，底板对货物的支持力为mg
C.缓慢下压把手的过程中，货物所受的合外力一直增大
D.缓慢下压把手的过程中，底板对货物的支持力一直减小
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方法三　相似三角形法
物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时用此法。
（多选）（2025·丽水模拟）如图所示，质量为m的物体由两根轻绳吊起悬在空中处于静止状态，右侧绳子的另一端固定在高墙处的A点且与竖直方向的夹角为α，左侧绳子由人拉着且与竖直方向的夹角为β，现人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，对于在物体接触墙前的过程，下列说法正确的是（　　）
A.两根绳子对物体拉力的合力变大
B.两绳子的拉力都变大
C.地面对人的摩擦力变小
D.地面对人的支持力变大
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题型二　平衡中的临界极值问题
　　
1.临界问题：处于平衡状态的物体，当某物理量变化时会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力；②绳子恰好绷紧，拉力FT＝0；③刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2.极值问题：在力的变化过程中出现的最大值和最小值问题。
3.解答平衡中的临界极值问题的三种方法
图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
函数法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）
极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
（2025·绍兴三模）如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑定滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则（　　）
A.若A做匀速运动，则B也做匀速运动
B.若B做匀速运动，则A做加速运动
C.若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F有最小值
D.若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F一直在增大
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1.【图解法】
如图所示，一个重力为5 N的砝码，用细线悬挂在O点，现在用力F拉砝码，使细线偏离竖直方向30°处于静止状态，此时所用拉力F的最小值为（　　）
A.5.0 N　 B.2.5 N C.8.65 N　 D.4.3 N
2.【极限法】
小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（　　）
A.　　B.R　　C.R　　D.R
3.【函数法】
如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。
（1）当α为多大时，F有最小值，求此时α的大小及F的最小值；
（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？第11课时　动态平衡和平衡中的临界极值问题　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　动态平衡问题
　　
方法一　解析法
如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，找函数关系，根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
（2025·舟山一模）图甲是迷宫尺子，质量为M的尺子外壳内有一颗质量为m的小钢珠，通过倾斜尺子，可以让小钢珠走出迷宫。小齐保持尺面竖直，小钢珠位于如图乙所示相互垂直的A、B挡板之间，缓慢逆时针转动尺子，直至B水平。将A与水平面的夹角记为θ，下列说法正确的是（　　）
A.A对小钢珠的作用力先增大后减小
B.B对小钢珠的支持力大小为mgsin θ
C.小齐对尺子的作用力大小始终为Mg
D.小钢珠对尺子的作用力和小齐对尺子的作用力是平衡力
答案：B
解析：
对小钢珠受力分析如图所示，由共点力的平衡条件可得A对小球的支持力FA＝mgcos θ，B对小球的支持力FB＝mgsin θ，缓慢逆时针转动尺子，直至B水平，可知θ角逐渐增大到90°，则挡板A对小钢珠的支持力逐渐减小到零，由牛顿第三定律可知，A对小钢珠的作用力一直减小到零，A错误，B正确；在受力平衡时，可知小齐对尺子的作用力大小始终等于二者重力的和，为Mg＋mg，C错误；小钢珠对尺子的作用力大小是mg，小齐对尺子的作用力大小是Mg＋mg，两个力不是平衡力，D错误。
方法二　图解法
物体受三个力作用而处于平衡状态，一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。一般按照以下流程解题。
受力
分析画不同状态
下的平衡图确定力
的变化　
（2025·金华模拟）生活上，我们常用支架与底板垂直的两轮手推车搬运货物。如图甲所示，将质量为m的货物平放在手推车底板上，此时底板水平。现缓慢下压把手，直至底板与水平面间的夹角为60°，不计货物与支架及底板间的摩擦，重力加速度为g，则（　　）
A.当底板与水平面间的夹角为60°时，支架对货物的支持力为mg
B.当底板与水平面间的夹角为60°时，底板对货物的支持力为mg
C.缓慢下压把手的过程中，货物所受的合外力一直增大
D.缓慢下压把手的过程中，底板对货物的支持力一直减小
答案：D
解析：对货物受力分析，当底板与水平面间的夹角为60°时，两个支持力的合力与重力等大反向，如图1所示，
两个支持力FN1与FN2垂直，由平衡条件可得支架对货物的支持力FN1＝mgsin 60°＝mg，底板对货物的支持力FN2＝mgcos 60°＝mg，A、B错误；下压把手的过程中，两个支持力的夹角始终是90°，货物的受力情况如图2所示，货物所受的合外力一直不变，始终等于货物的重力，支架对货物的支持力FN1一直增大，底板对货物的支持力FN2一直减小，C错误，D正确。
方法三　相似三角形法
物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”总相似时用此法。
（多选）（2025·丽水模拟）如图所示，质量为m的物体由两根轻绳吊起悬在空中处于静止状态，右侧绳子的另一端固定在高墙处的A点且与竖直方向的夹角为α，左侧绳子由人拉着且与竖直方向的夹角为β，现人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，对于在物体接触墙前的过程，下列说法正确的是（　　）
A.两根绳子对物体拉力的合力变大
B.两绳子的拉力都变大
C.地面对人的摩擦力变小
D.地面对人的支持力变大
答案：CD
解析：两根绳子对物体的合力与物体的重力等大反向，保持不变，A错误；对物体受力分析，如图所示，由相似三角形得＝＝，当人不动而缓慢释放绳子，则AC增大，AO不变，OC减小，可知FT减小，F减小，B错误；对整体有FTsin α＝Ff，FT减小，α减小，则Ff减小，C正确；对人，由平衡条件得 Fcos β＋FN＝Mg，F减小，β增大，则FN增大，D正确。
题型二　平衡中的临界极值问题
　　
1.临界问题：处于平衡状态的物体，当某物理量变化时会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力；②绳子恰好绷紧，拉力FT＝0；③刚好离开接触面，支持力FN＝0。
2.极值问题：在力的变化过程中出现的最大值和最小值问题。
3.解答平衡中的临界极值问题的三种方法
图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值和最小值
函数法 通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）
极限法 正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理量推向极大或极小
（2025·绍兴三模）如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑定滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则（　　）
A.若A做匀速运动，则B也做匀速运动
B.若B做匀速运动，则A做加速运动
C.若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F有最小值
D.若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F一直在增大
答案：D
解析：两物体速度关系如图1所示
设vA与vB夹角为θ，由几何关系有vB＝vAcos θ，
若A做匀速运动，θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，则B的速度逐渐增大，若B做匀速运动，θ逐渐减小，
cos θ逐渐增大，则A的速度逐渐减小，A、B错误；对滑块B有T＝2mg，对滑块A进行受力分析，如图2所示，
由于滑块A从题图示（最初是竖直）位置开始缓慢向右移动至θ＝30°，过程30°≤θ≤90°，可知Tsin θ＝2mgsin θ≥mg，则在竖直方向上有Tsin θ＝mg＋N，则在水平方向有F＝μN＋Tcos θ，联立解得F＝2mgcos θ＋2μmgsin θ－μmg＝2mg－μmg，假设sin α＝，代入数据解得sin α＝，cos α＝，代入数据解得cos α＝，联立上式可得α＝60°，则可求得F＝2mgsin （60°＋θ）－μmg，滑块A从图示位置开始缓慢向右移动过程中，θ减小，可知F逐渐增大，当θ＝30°时，代入数据解得F的最大值为Fmax＝mg，C错误，D正确。
1.【图解法】
如图所示，一个重力为5 N的砝码，用细线悬挂在O点，现在用力F拉砝码，使细线偏离竖直方向30°处于静止状态，此时所用拉力F的最小值为（　　）
A.5.0 N 　 B.2.5 N C.8.65 N　 D.4.3 N
解析：B　以砝码为研究对象，分析受力情况，其受重力G、细线的拉力FT和力F，由图看出，当F与细线垂直时F最小，由数学知识得F的最小值为F＝Gsin 30°＝2.5 N，故选项B正确。
2.【极限法】
小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（　　）
A.　　B.R　　C.R　　D.R
解析：C　以整体为研究对象进行分析，设一个方形积木的质量为m，地面对其的支持力为N，根据平衡条件可得2N＝4mg，则N＝2mg，当两方形积木的距离最远时，设OA和OB之间的夹角为2θ，此时方形积木与地面间的摩擦力达到最大，对球形积木受力分析，根据平衡条件可得2Fcos θ＝2mg，对其中一个方形积木受力分析，根据平衡条件可得Fsin θ＝μN，联立解得tan θ＝1，则θ＝45°，根据几何关系可得AB之间的距离为x＝R，故C正确，A、B、D错误。
3.【函数法】
如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。
（1）当α为多大时，F有最小值，求此时α的大小及F的最小值；
（2）当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
答案：（1）θ　mgsin 2θ　（2）mgsin 4θ
解析：（1）木块在木楔斜面上匀速下滑时，
有mgsin θ＝μmgcos θ，解得μ＝tan θ。
木块在F作用下沿斜面向上匀速运动，有
Fcos α＝mgsin θ＋Ff，Fsin α＋FN＝mgcos θ，
又Ff＝μFN，
解得F＝＝＝，　
则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin＝mgsin 2θ。
（2）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即Ff'＝Fcos（α＋θ），
当α＝θ，即F取最小值mgsin 2θ时，
Ff'＝Fmincos 2θ＝mgsin 2θcos 2θ＝mgsin 4θ。

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