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第9课时　力的合成和分解　[双基落实课]
　立足“四层”·夯基础　
　（人教版必修第一册第72页“合力与分力”）如图甲所示，两个小孩分别用F1、F2提着一桶水，水桶静止；如图乙所示，一个大人单独用力F提着同一桶水，让水桶保持静止。
判断下列说法正误：
（1）F1和F2是共点力。（　√　）
（2）F1和F2的共同作用效果与F的作用效果相同。（　√　）
（3）水桶的重力就是F1、F2两个力的合力。（　×　）
（4）在进行力的合成与分解时，要应用平行四边形定则或三角形定则。（　√　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　力的合成　[素养自修类]
　　
1.【合力范围问题】
（多选）一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是（　　）
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动
解析：ABC　两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误。
2.【作图法求合力】
某物体同时受到2个共点力作用，在如图所示的四种情况中（坐标纸中每格的边长均表示1 N大小的力），物体所受合外力最大的是（　　）
解析：C　选项A图中，将F1与F2进行合成，如图甲所示，求得合力的大小为F合＝3 N；选项B图中，将F1与F2进行合成，如图乙所示，求得合力的大小为F合＝ N＝5 N；选项C图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝4 N，如图丙所示；选项D图中，将F1与F2进行合成，求得合力的大小为F合＝3 N，如图丁所示。故C符合题意。
3.【计算法求合力】
（2025·福建高考1题）如图所示，山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，关于F1和F2的大小关系，下列说法正确的是（　　）
A.F2大于F1
B.F1大于F2
C.F1等于F2
D.F1和F2的大小关系与风力大小有关
解析：A　无风时F1＝G，有风时F2＝，故F2＞F1，A正确。
1.合力的大小范围
（1）两个共点力的合力
｜F1－F2｜≤F合≤F1＋F2，两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
（2）三个共点力的合力
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。
2.合力大小的求解方法
作图法 作出两分力的图示，再根据平行四边形定则求出合力的大小
计算法 根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力
考点二　力的分解　[互动共研类]
　　
1.效果分解法
2.正交分解法
（1）建系原则：以少分解力为原则。
（2）分解步骤：把物体受到的力依次分解到x轴、y轴上。
x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋…
y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋…
合力大小：F＝。
合力方向：F与x轴夹角θ的正弦值tan θ＝。
如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑。
（1）求两次的推力之比；
（2）如果斜面不固定，但由于摩擦，斜面不动，求两次地面对斜面的摩擦力之比。
答案：（1）cos θ－μsin θ　（2）cos2θ－μsin θcos θ
解析：（1）物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图1、2所示。
将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得
F1＝mgsin θ＋Ff1，FN1＝mgcos θ，Ff1＝μFN1
F2cos θ＝mgsin θ＋Ff2
FN2＝mgcos θ＋F2sin θ
Ff2＝μFN2
解得F1＝mgsin θ＋μmgcos θ　F2＝
故＝cos θ－μsin θ。
（2）因为物体是匀速上滑，与斜面一样都是平衡状态，可选整体为研究对象，将推力F1沿水平方向分解，其分力为F1cos θ，因此两次地面对斜面的摩擦力之比为＝cos2θ－μsin θcos θ。
1.【力的效果分解法】
如图甲所示是斧子砍进木桩时的情境，其横截面如图乙所示，斧子的剖面可视作顶角为θ的等腰三角形，当施加竖直向下的力F时，则（　　）
A.同一斧子，若施加的力F越小，越容易劈开木桩
B.同一斧子，若施加的力F越大，越不容易劈开木桩
C.施加相同的恒力F，θ越大的斧子，越容易劈开木桩
D.施加相同的恒力F，θ越小的斧子，越容易劈开木桩
解析：D　同一斧子，θ一定，F越大，其分力越大，越容易劈开木桩，故A、B错误；F一定时，θ越小的斧子，其分力越大，越容易劈开木桩，故C错误，D正确。
2.【力的正交分解法】
（2025·重庆高考1题）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为（重力加速度为g）（　　）
A.2mg B.mg
C.mg D.mg
解析：B　以钢管为研究对象，设轻绳的拉力为T，根据对称性可知两边绳子拉力相等，根据平衡条件2Tcos 60°＝mg，可得T＝mg，故选B。
考点三　“活结”“死结”“动杆”“定杆”模型　[方法模型类]
“活结”模型 “死结”模型 “动杆”模型 “定杆”模型
图 例
特 点 “活结”两侧轻绳的张力大小相等 “死结”各侧轻绳的张力大小不一定相等 处于平衡状态时杆的弹力方向一定沿杆 杆的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
　　
一、“活结”与“死结”模型
（2024·浙江1月选考6题）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°（不计摩擦，g取10 m/s2），则细线a、b的拉力分别为（　　）
A.2 N　1 N B.2 N　0.5 N
C.1 N　1 N D.1 N　0.5 N
答案：D
解析：由题意可知细线c对A的拉力和细线d对B的拉力大小相等、方向相反，对A、B整体分析可知细线a的拉力大小为Ta＝（mA＋mB）g＝1 N，设细线b与水平方向夹角为α，对A、B分析分别有Tbsin α＋Tcsin θ＝mAg，Tbcos α＝Tdcos θ，解得Tb＝0.5 N，故选D。
（2025·河北高考4题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　）
A.G B.G
C.G D.G
解析：B　当凹槽底部对小球支持力为零时，拉力F最大，根据平衡条件有2Fmcos 45°＝G，解得Fm＝G，故选B。
二、“动杆”与“定杆”模型
如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A.图甲中BC对滑轮的作用力大小为
B.图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
答案：D
解析：
题图甲中，两段绳的拉力大小都是m1g，互成120°角，因此合力大小是m1g，根据共点力平衡条件，BC杆对滑轮的作用力大小也是m1g（方向与竖直方向成60°角，斜向右上方），故A错误；题图乙中，以G点为研究对象，分析受力情况如图所示，由平衡条件得，FHGtan 30°＝m2g，得FHG＝m2g，即HG杆受到绳的作用力为m2g，故B错误；题图甲中绳AC段的拉力FAC＝m1g，题图乙中由于FEGsin 30°＝m2g，得FEG＝2m2g，解得＝，故C错误，D正确。
如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为电动机。物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动。当物体P静止时（　　）
A.滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向
B.滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力
C.当只将滑轮A向右移动时，A的轴所受压力变大
D.当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大
解析：C　滑轮A的轴所受压力为BA方向的拉力和物体P重力的合力，BA方向的拉力与物体P的重力大小相等，设两力方向的夹角为θ，其变化范围为90°＜θ＜180°，根据力的合成法则可知，滑轮A的轴所受压力不可能沿水平方向，θ的大小不确定，滑轮A的轴所受压力可能大于物体P的重力，也可能小于或等于物体P的重力，故A、B错误；当只将滑轮A向右移动时，θ变小，两绳的合力变大，A的轴所受压力变大，故C正确；当只将滑轮B向上移动时，θ变大，两绳的合力变小，A的轴所受压力变小，故D错误。第9课时　力的合成和分解　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　　
　（人教版必修第一册第72页“合力与分力”）如图甲所示，两个小孩分别用F1、F2
提着一桶水，水桶静止；如图乙所示，一个大人单独用力F提着同一桶水，让水桶保持静止。
判断下列说法正误：
（1）F1和F2是共点力。（　　）
（2）F1和F2的共同作用效果与F的作用效果相同。（　　）
（3）水桶的重力就是F1、F2两个力的合力。（　　）
（4）在进行力的合成与分解时，要应用平行四边形定则或三角形定则。（　　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　力的合成　[素养自修类]
　　
1.【合力范围问题】
（多选）一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是（　　）
A.物体所受静摩擦力可能为2 N
B.物体所受静摩擦力可能为4 N
C.物体可能仍保持静止
D.物体一定被拉动
2.【作图法求合力】
某物体同时受到2个共点力作用，在如图所示的四种情况中（坐标纸中每格的边长均表示1 N大小的力），物体所受合外力最大的是（　　）
3.【计算法求合力】
（2025·福建高考1题）
如图所示，山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，关于F1和F2的大小关系，下列说法正确的是（　　）
A.F2大于F1
B.F1大于F2
C.F1等于F2
D.F1和F2的大小关系与风力大小有关
1.合力的大小范围
（1）两个共点力的合力
｜F1－F2｜≤F合≤F1＋F2，两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小。
（2）三个共点力的合力
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值等于最大的力减去另外两个力。
2.合力大小的求解方法
作图法 作出两分力的图示，再根据平行四边形定则求出合力的大小
计算法 根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力
考点二　力的分解　[互动共研类]
　　
1.效果分解法
2.正交分解法
（1）建系原则：以少分解力为原则。
（2）分解步骤：把物体受到的力依次分解到x轴、y轴上。
x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋…
y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋…
合力大小：F＝。
合力方向：F与x轴夹角θ的正弦值tan θ＝
。
如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑。
（1）求两次的推力之比；
（2）如果斜面不固定，但由于摩擦，斜面不动，求两次地面对斜面的摩擦力之比。
尝试解题
1.【力的效果分解法】
如图甲所示是斧子砍进木桩时的情境，其横截面如图乙所示，斧子的剖面可视作顶角为θ的等腰三角形，当施加竖直向下的力F时，则（　　）
A.同一斧子，若施加的力F越小，越容易劈开木桩
B.同一斧子，若施加的力F越大，越不容易劈开木桩
C.施加相同的恒力F，θ越大的斧子，越容易劈开木桩
D.施加相同的恒力F，θ越小的斧子，越容易劈开木桩
2.【力的正交分解法】
（2025·重庆高考1题）
现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为（重力加速度为g）（　　）
A.2mg B.mg
C.mg D.mg
考点三　“活结”“死结”“动杆”“定杆”模型　[方法模型类]
“活结”模型 “死结”模型 “动杆”模型 “定杆”模型
图 例
特 点 “活结”两侧轻绳的张力大小相等 “死结”各侧轻绳的张力大小不一定相等 处于平衡状态时杆的弹力方向一定沿杆 杆的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
　　
一、“活结”与“死结”模型
（2024·浙江1月选考6题）如图所示，在同一竖直平面内，小球A、B上
系有不可伸长的细线a、b、c和d，其中a的上端悬挂于竖直固定的支架上，d跨过左侧定滑轮、c跨过右侧定滑轮分别与相同配重P、Q相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球A、B和配重P、Q质量均为50 g，细线c、d平行且与水平成θ＝30°（不计摩擦，g取10 m/s2），则细线a、b的拉力分别为（　　）
A.2 N　1 N B.2 N　0.5 N
C.1 N　1 N D.1 N　0.5 N
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2025·河北高考4题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　）
A.G B.G
C.G D.G
二、“动杆”与“定杆”模型
如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A.图甲中BC对滑轮的作用力大小为
B.图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D.细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
如图为一小型起重机，A、B为光滑轻质滑轮，C为电动机。物体P和A、B、C之间用不可伸长的轻质细绳连接，滑轮A的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮B固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动。当物体P静止时（　　）
A.滑轮A的轴所受压力可能沿水平方向
B.滑轮A的轴所受压力一定大于物体P的重力
C.当只将滑轮A向右移动时，A的轴所受压力变大
D.当只将滑轮B向上移动时，A的轴所受压力变大

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