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25．2.2　公式法
· 预习导学 ·
知识点一　一元二次方程根的判别式
1．式子________可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝________．
2．对于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当Δ>0时，方程有两个________的实数根；当Δ＝0时，方程有两个________的实数根；当Δ<0时，方程________．
练习1　(2024·广东)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝________．
练习2　不解方程，判断下列方程根的情况：
(1)x2＋9＝6x；
(2)x2＋3x＝－1；
(3)3x2＋3＝2x.
知识点二　用公式法解一元二次方程
3．当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为________的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．
练习3　用公式法解下列方程：
(1)x2－2x＋1＝0；
(2)4x2＋4x－1＝－10－8x；
(3)6x2＋4＝2x；
(4)x2－x＝.
易错提醒　(1)运用求根公式解一元二次方程时，一定要把方程化为一般形式，在确定a，b，c的值时，不要出现符号错误．
(2)要先判断b2－4ac的值，再将其代入公式计算．
(3)一元二次方程有两个相等的实数根时，不要误认为只有一个实数根．
· 课时作业 ·
基础巩固
1．用公式法解方程x2－4x－11＝0时，Δ＝(　　).
A.－43　　　　　　 B．－28
C．45 D．60
2．利用求根公式求5x2＋＝6x的根时，其中a，b，c的值分别是(　　).
A．5，，6 B．5，6，
C．5，－6， D．5，－6，－
3．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝，x2＝，下列判断一定正确的是(　　).
A．a＝－1 B．c＝1
C．ac＝－1 D．＝1
4．一元二次方程x2－6x＝9的根的情况是(　　).
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
5．若关于x的一元二次方程ax2－6x＋4＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________________．
6．用公式法解下列方程：
(1)(2x＋1)(2x－1)＝2x；
(2)3x2－(x＋2)2＋2x＝0.
能力达标
7．如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　　).
A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0
C．p2－4q＞0 D．p2－4q＜0
8．已知关于x的一元二次方程2x2－bx＋c＝0，其中b，c在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是(　　).
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
9．若关于x的一元二次方程(k－1)x2－2kx＋k－3＝0有实数根，则k的取值范围为(　　).
A．k≥0 B．k≥0且k≠1
C．k≥ D．k≥且k≠1
10．下面是小明解一元二次方程x2－5x＝－4的过程：
因为a＝1，b＝－5，c＝－4，……………………第一步
所以b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－4)＝41. …………第二步
所以x＝.………………………………………第三步
所以x1＝，x2＝.……………………第四步
小明是从第________步开始出错的．
11．定义新运算：a b＝a2－ab，例如：2 3＝22－2×3＝－2.若关于x的方程x 2－n＝0有两个实数根，则n的取值范围是________．
挑战创新
12．已知关于x的方程x2－(m＋1)x＋＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)当0参考答案
知识点
1.b2－4ac；b2－4ac
2.不相等；相等；无实数根
3.x＝
练习
练习1：1
练习2：(1)方程化为x2－6x＋9＝0.
因为Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0，所以方程有两个相等的实数根．
(2)方程化为x2＋3x＋1＝0.
因为Δ＝b2－4ac＝32－4×1×1＝5＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
(3)方程化为3x2－2x＋3＝0.
因为Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×3＝－12＜0，
所以方程无实数根．
练习3：(1)x1＝＋1，x2＝－1.
(2)x1＝x2＝－.
(3)无实数根．
(4)x1＝，x2＝.
基础巩固
1.D
2.C
3.C
4.A
5.a<且a≠0
6.(1)方程化为4x2－2x－1＝0，
此时a＝4，b＝－2，c＝－1，
所以Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×4×(－1)＝24>0.
方程有两个不相等的实数根
x＝＝＝，
即x1＝，x2＝.
(2)方程化为2x2－2x－4＝0，
即x2－x－2＝0，
此时a＝1，b＝－1，c＝－2，
所以Δ＝b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－2)＝9>0.
方程有两个不相等的实数根
x＝＝＝，
即x1＝2，x2＝－1.
能力达标
7.A
8.A
9.D
10.一
11.n≥－1
挑战创新
12.【证明】(1)Δ＝[－(m＋1)]2－4×1·＝m2＋2m＋1－4m＋1＝m2－2m＋2＝(m－1)2＋1.
因为(m－1)2≥0，所以(m－1)2＋1>0，
即Δ>0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
(2)【解】因为当0所以m＝1，
所以原方程为x2－2x＋＝0，且Δ＝1，
所以此时原方程的解为x＝，
即x1＝，x2＝.
故m的值为1，这两个有理数根为和.

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