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第23课时　圆周运动的临界极值问题　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　水平面内圆周运动的临界极值问题
　　
常见 情境 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零
解题 思路 （1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。 （2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。 （3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解
如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r和3r，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与ω2的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（　　）
A.2＝3 B.＝2
C.2＝5 D.＝3
答案：D
解析：由题意可知，因为物体A和B分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r和3r，两个物体都没滑动之前，都受静摩擦力的作用，与ω2成正比，由于B物体到圆心的距离大，故B物体与转台间的摩擦力先达到最大静摩擦力，此后，摩擦力大小不变，此时根据牛顿第二定律得μmg＝m·3r，角速度达到ω1后绳子出现拉力，在角速度为ω2时，设绳子拉力为T，对B有T＋μmg＝m·3r，对A有T＝m·2r，解得＝3，故选D。
1.【发生相对滑动时的临界问题】
（多选）如图1所示为短道速滑比赛场地的示意图（由直道和半圆形轨道构成），比赛场地周长约为111.12 m，其中直道长度为28.85 m，弯道内径为8 m。如图2所示为运动员转弯瞬间的一幕。假设该比赛场地的冰面水平，运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，转弯时冰刀与冰面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员的质量为50 kg，运动员可看作质点，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A.运动员由直道进入弯道前要减速
B.图2中的运动员在转弯时，冰面的支持力和重力的合力提供其做圆周运动所需的向心力
C.运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为2 m/s
D.运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为2 m/s
解析：AC　为了防止侧滑，运动员由直道进入弯道前要减速，故A正确；图2中的运动员在转弯时，由于该比赛场地的冰面水平，冰面的摩擦力提供其做圆周运动所需的向心力，故B错误；由最大静摩擦力提供向心力得μmg＝m，解得运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为v＝＝ m/s＝2 m/s，故C正确，D错误。
2.【物体间恰好分离的临界问题】
（多选）如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则（　　）
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω0＝ rad/s时，小球对圆锥体的压力刚好为零
D.当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
解析：BC　向心力是效果力，不是小球实际受到的力；对小球受力分析，小球受重力、细线的拉力，小球可能受圆锥体的支持力，也可能不受圆锥体的支持力；转速较小时， 小球紧贴圆锥面，则FTcos θ＋FNsin θ＝mg，FTsin θ－FNcos θ＝mω2lsin θ，随着转速的增加，FT增大，FN减小，当转速达到ω0时支持力为零，支持力恰好为零时有mgtan θ＝mlsin θ，解得ω0＝ rad/s，A错误，B、C正确；因 2 rad/s＞ rad/s，所以，当ω＝2 rad/s时，小球已经离开斜面，小球只受重力、拉力的作用，D错误。
3.【绳的弹力恰好有无的临界问题】
如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，AC绳长L＝2 m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（g＝10 m/s2）（　　）
A.2 rad/s B.2.5 rad/s
C.3.5 rad/s D.4 rad/s
解析：B　当上绳绷紧、下绳恰好伸直但无张力时，小球受力如图甲所示，由牛顿第二定律得mgtan 30°＝mr，又有r＝Lsin 30°，解得ω1＝ rad/s≈2.4 rad/s，当下绳绷紧、上绳恰好伸直无张力时，小球受力如图乙所示，
　　　　
由牛顿第二定律得mgtan 45°＝mr，解得ω2＝ rad/s≈3.2 rad/s，故当2.4 rad/s＜ω＜3.2 rad/s 时，两绳始终有张力，故B正确，A、C、D错误。
题型二　竖直面内圆周运动的临界极值问题
　　
1.两类模型
轻“绳”模型 轻“杆”模型
情境 图示
弹力 特征 弹力只能向下或为0 弹力可能向下，可能向上，也可能为0
力学 方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界 特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即FN＝0， 此时FN＝mg
2.解题思路
考向1　轻“绳”模型问题
如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C.人在最低点时对座位的压力等于mg
D.人在最低点时对座位的压力大于mg
答案：D
解析：过山车在最高点时人处于倒坐状态，向心力是靠重力与座椅的支持力提供，速度越大支持力越大，所以没有保险带，人也不会掉下来，A错误；人在最高点时，由牛顿第二定律可得mg＋N＝m，当速度为v＝时，支持力为mg，由牛顿第三定律可得，人在最高点时对座位可以产生大小为mg的压力，B错误；人在最低点时，由牛顿第二定律可得N－mg＝m，则人在最低点时对座位的压力大于mg，C错误，D正确。
考向2　轻“杆”模型
如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为（取g＝10 m/s2）（　　）
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
答案：B
解析：对A球，合外力提供向心力，设管对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有FA－mAg＝mA，代入数据解得FA＝28 N，由牛顿第三定律可得，A球对管的力竖直向下为28 N，设B球对管的力为FB'，由管的受力平衡可得FB'＋28 N＋m管g＝0，解得FB'＝－44 N，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，管对B球的力FB为44 N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有FB＋mBg＝mB，解得vB＝4 m/s，故选B。
题型三　斜面上圆周运动的临界极值问题
　　
1.题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
2.解题关键——重力的分解和视图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是（　　）
A. rad/s B. rad/s
C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s
答案：C
解析：由题意知临界条件为物体在圆盘最低点受到的摩擦力为最大静摩擦力，根据牛顿第二定律有，μmgcos 30°－mgsin 30 °＝mrω2，解得ω＝1.0 rad/s，C正确，A、B、D错误。
如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m 的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动。g取10 m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是（　　）
A.4 m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
解析：A　小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由动能定理得2mgLsin α＝m，可得vB＝4 m/s，A正确。
5 / 5第23课时　圆周运动的临界极值问题　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　水平面内圆周运动的临界极值问题
　　
常见 情境 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件：物体与转盘之间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 （2）绳的拉力出现临界条件：绳恰好拉直（此时绳上无弹力）或绳上拉力恰好为最大承受力等。 （3）物体间恰好分离的临界条件：物体间的弹力恰好为零
续表
解题 思路 （1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。 （2）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。 （3）当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解
如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为2r和3r，两物体与盘间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与ω2的大小关系图像如图乙所示，下列关系式正确的是（　　）
A.2＝3 B.＝2
C.2＝5 D.＝3
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.【发生相对滑动时的临界问题】
（多选）如图1所示为短道速滑比赛场地的示意图（由直道和半圆形轨道构成），比赛场地周长约为111.12 m，其中直道长度为28.85 m，弯道内径为8 m。如图2所示为运动员转弯瞬间的一幕。假设该比赛场地的冰面水平，运动员在弯道紧邻黑色标志块做匀速圆周运动，转弯时冰刀与冰面间的动摩擦因数为0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，运动员的质量为50 kg，运动员可看作质点，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A.运动员由直道进入弯道前要减速
B.图2中的运动员在转弯时，冰面的支持力和重力的合力提供其做圆周运动所需的向心力
C.运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为2 m/s
D.运动员紧邻黑色标志块转弯时的最大速度为2 m/s
2.【物体间恰好分离的临界问题】
（多选）如图所示，三角形为一光滑圆锥体的正视图，锥面与竖直方向的夹角为θ＝37°。一根长为l＝1 m的细线一端系在圆锥体顶端，另一端系着一可视为质点的小球，小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力，则（　　）
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω0＝ rad/s时，小球对圆锥体的压力刚好为零
D.当ω＝2 rad/s时，小球受重力、支持力和拉力作用
3.【绳的弹力恰好有无的临界问题】
如图所示，AC、BC两绳系一质量为m＝0.1 kg的小球，AC绳长L＝2 m，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时，若两绳中始终有张力，小球的角速度可能是（g＝10 m/s2）（　　）
A.2 rad/s B.2.5 rad/s
C.3.5 rad/s D.4 rad/s
题型二　竖直面内圆周运动的临界极值问题
　　
1.两类模型
轻“绳”模型 轻“杆”模型
情境 图示
弹力 特征 弹力只能向下或为0 弹力可能向下，可能向上，也可能为0
力学 方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m
临界 特征 FT＝0，即mg＝m，得v＝ v＝0，即FN＝0， 此时FN＝mg
2.解题思路
考向1　轻“绳”模型问题
如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A.过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B.人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C.人在最低点时对座位的压力等于mg
D.人在最低点时对座位的压力大于mg
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考向2　轻“杆”模型
如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B（均可视为质点）的直径略小于细圆管的内径（内径远小于细圆管半径）。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度大小vB为（取g＝10 m/s2）（　　）
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
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题型三　斜面上圆周运动的临界极值问题
　　
1.题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
2.解题关键——重力的分解和视图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2。则ω的最大值是（　　）
A. rad/s B. rad/s
C.1.0 rad/s D.0.5 rad/s
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如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m 的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动。g取10 m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是（　　）
A.4 m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s

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