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第21课时　抛体运动的综合问题　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　与斜面相关联的抛体运动
　　
模型
方法 分解速度，构建速度矢量三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形 分解位移，构建位移矢量三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
基本规律 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 方向： tan θ＝ 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 方向： tan θ＝ 水平：x＝v0t 竖直： y＝gt2 合位移： s＝ 方向： tan θ＝
如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球分别落在斜面上的A、B点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是（　　）
A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
B.甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ∶1
C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tan θ∶1
D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1
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1.【顺着斜面的抛体运动】
如图，在倾角为α的斜面顶端，将小球
以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x，忽略空气阻力，则下列图像正确的是（　　）
2.【对着斜面的抛体运动】
如图所示，斜面倾角为
θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球（可视为质点）自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t1，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t2，不计空气阻力，则为（　　）
A. B.
C. D.
题型二　与曲面相关联的抛体运动
　　
运动情景 物理量分析
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动， R＋＝v0t→t＝
小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等
（多选）
如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内，在圆边缘A点将一小球以速度v1水平抛出，小球落到C点，运动时间为t1，第二次从A点以速度v2水平抛出，小球落到D点，运动时间为t2，不计空气阻力，则（　　）
A.v1＜v2
B.t1＜t2
C.小球落到D点时，速度方向可能垂直于圆弧
D.小球落到C点时，速度与水平方向的夹角一定大于45°
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如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（　　）
A. B.
C. D.
题型三　抛体运动中的临界极值问题
　　
1.常见的“临界术语”
（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在临界点。
（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。
2.抛体运动临界、极值问题的分析方法
（1）确定研究对象的运动性质；
（2）根据题意确定临界状态；
（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
（4）应用抛体运动的规律结合临界条件列方程求解。
如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球。台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，
C是水平踏脚板的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L。某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h'，调整v0为v0'，下列判断正确的是（　　）
A.h'的最大值为2h　　B.h'的最小值为2h
C.v0'的最大值为v0 D.v0'的最小值为v0
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1.【抛体运动的临界问题】
如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2。则可以实现上述要求的速度大小是（　　）
A.2 m/s B.4 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
2.【抛体运动的极值问题】
（多选）（2025·福州模拟）如图甲，一同学练习投篮。以篮球（视为质点）抛出时刻为计时起点，篮球的水平初速度为vx，竖直分位移为y，-t图像如图乙所示（图中b，t1均已知）。不计空气阻力，则篮球（　　）
A.在t1时刻运动到最高点
B.在竖直方向的加速度大小为
C.抛出时的初速度大小为
D.上升的最大高度等于图乙中图线与坐标轴围成的面积第21课时　抛体运动的综合问题　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　与斜面相关联的抛体运动
　　
模型
方法 分解速度，构建速度矢量三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系 分解速度，构建速度的矢量三角形 分解位移，构建位移矢量三角形，隐含条件：斜面倾角θ等于位移与水平方向的夹角
基本规律 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 方向：tan θ＝ 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 方向：tan θ＝ 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：s＝ 方向：tan θ＝
如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球分别落在斜面上的A、B点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直。忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是（　　）
A.甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2θ∶1
B.甲、乙两球下落的高度之比为2tan2θ∶1
C.甲、乙两球的水平位移大小之比为tan θ∶1
D.甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1
答案：D
解析：对于小球甲的运动有tan θ＝＝＝，解得t＝，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α甲＝＝，则tan α甲＝2tan θ，对于小球乙的运动有tan θ＝＝，解得t'＝，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α乙＝＝，甲、乙两球在空中运动的时间之比为t∶t'＝2tan2θ∶1，A错误；由h＝gt2可知甲、乙两球下落的高度之比为h∶h'＝t2∶t'2＝4tan4θ∶1，B错误；由x＝v0t可知甲、乙两球的水平位移大小之比为x∶x'＝t∶t'＝2tan2θ∶1，C错误；甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1，D正确。
1.【顺着斜面的抛体运动】
如图，在倾角为α的斜面顶端，将小球以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x，忽略空气阻力，则下列图像正确的是（　　）
解析：D　小球落在斜面上时，小球位移方向与水平方向夹角为α，则有tan α＝＝，则水平位移x＝v0t＝∝，小球落在水平面上时，小球飞行时间恒定，水平位移正比于v0，故D正确，A、B、C错误。
2.【对着斜面的抛体运动】
如图所示，斜面倾角为θ＝30°，在斜面上方某点处，先让小球（可视为质点）自由下落，从释放到落到斜面上所用时间为t1，再让小球在该点水平抛出，小球刚好能垂直打在斜面上，运动的时间为t2，不计空气阻力，则为（　　）
A. B.
C. D.
解析：D　设小球水平抛出的初速度为v0，则打到斜面上时，沿竖直方向的分速度vy＝＝gt2，水平位移x＝v0t2，抛出点到斜面的竖直高度h＝＋xtan θ＝＋＝，又h＝g，解得t2＝，t1＝，则＝，D正确。
题型二　与曲面相关联的抛体运动
　　
运动情景 物理量分析
tan θ＝＝→t＝
在半圆内的平抛运动，R＋＝v0t→t＝
小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等
（多选）如图所示为一半圆形的坑，其中坑边缘两点A、B与圆心O等高且在同一竖直平面内，在圆边缘A点将一小球以速度v1水平抛出，小球落到C点，运动时间为t1，第二次从A点以速度v2水平抛出，小球落到D点，运动时间为t2，不计空气阻力，则（　　）
A.v1＜v2
B.t1＜t2
C.小球落到D点时，速度方向可能垂直于圆弧
D.小球落到C点时，速度与水平方向的夹角一定大于45°
答案：AD
解析：连接AC和AD，如图甲所示，设AC和AD在竖直方向上的长度分别为hAC和hAD，根据图像可知hAC＞hAD且有hAC＝g，hAD＝g，可得t1＞t2，设AC和AD在水平方向上的长度分别为xAC和xAD，则有xAC＜xAD，xAC＝v1t1，xAD＝v2t2，可得v1＜v2，A正确，B错误；连接OD，如图乙所示，
设∠DOB＝θ，则有Rsin θ＝g，R＋Rcos θ＝v2t2，可得＝，若速度方向垂直于圆弧，则速度方向与水平方向的夹角也为θ，则有tan θ＝，则有tan θ＝＝2，整理得cos θ＝1，即θ＝0，这说明小球从A点抛出后速度方向不变，显然这是不可能的，所以小球落到D点时，速度方向不可能垂直于圆弧，C错误；小球落到C点时，设小球的位移偏转角为α，即AC与水平方向的夹角为α，则有tan α＝＝＝1，可得α＝45°，根据平抛运动规律，设小球的速度偏转角为β，即小球落到C点时速度方向与水平方向的夹角为β，满足tan β＝2tan α＝2，说明β一定大于45°，则速度与水平方向的夹角一定大于45°，D正确。
如图所示，B为竖直圆轨道的左端点，它和圆心O的连线与竖直方向的夹角为α。一小球在圆轨道左侧的A点以速度v0平抛，恰好沿B点的切线方向进入圆轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，则A、B之间的水平距离为（　　）
A. B.
C. D.
解析：A　由小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道可知，小球在B点时的速度方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝，x＝v0t，联立解得A、B之间的水平距离为x＝，选项A正确。
题型三　抛体运动中的临界极值问题
　　
1.常见的“临界术语”
（1）题目中有“刚好”“恰好”“正好”“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在临界点。
（2）题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值。
2.抛体运动临界、极值问题的分析方法
（1）确定研究对象的运动性质；
（2）根据题意确定临界状态；
（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
（4）应用抛体运动的规律结合临界条件列方程求解。
如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球。台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L。某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h'，调整v0为v0'，下列判断正确的是（　　）
A.h'的最大值为2h
B.h'的最小值为2h
C.v0'的最大值为v0
D.v0'的最小值为v0
答案：C
解析：小球做平抛运动有y＝gt2，x＝v0t，可得v0＝x，y＝∝x2，调整前＝，即h＝H，调整后考虑临界情况，小球恰好没有擦到A而击中C，则＝，即 h'＝H，所以h'＝h，从越高处抛出而击中C点，抛物线越陡，越不容易擦到A点，所以h'＝h是满足条件的最小值，故A、B错误；由v0＝x，且两次平抛从抛出到运动至A点过程，x都为L，所以＝＝，即v0'＝v0，由v0＝x，知v0'＝v0是满足条件的最大值，故C正确，D错误。
1.【抛体运动的临界问题】
如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，竖直墙的厚度d ＝0.4 m，某人在距离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 处的 P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10 m/s2。则可以实现上述要求的速度大小是（　　）
A.2 m/s B.4 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
解析：B　小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大。此时有L＝vmaxt1，h＝g，代入数据解得vmax＝7 m/s，小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint2，H＋h＝g，代入数据解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正确，A、C、D错误。
2.【抛体运动的极值问题】
（多选）（2025·福州模拟）如图甲，一同学练习投篮。以篮球（视为质点）抛出时刻为计时起点，篮球的水平初速度为vx，竖直分位移为y，-t图像如图乙所示（图中b，t1均已知）。不计空气阻力，则篮球（　　）
A.在t1时刻运动到最高点
B.在竖直方向的加速度大小为
C.抛出时的初速度大小为
D.上升的最大高度等于图乙中图线与坐标轴围成的面积
解析：BC　不计空气阻力，竖直方向上，篮球做竖直上抛运动，则有y＝vyt－gt2，可得＝vy－gt，由题图乙可知vy＝b，g＝，可得篮球在竖直方向的加速度大小为g＝，篮球抛出时的初速度大小为v0＝＝，B、C正确；篮球运动最高点的时刻为t＝＝＝，A错误；上升的最大高度为hm＝t＝·＝，题图乙中图线与坐标轴围成的面积为S＝bt1，D错误。
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