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第28课时　卫星变轨问题　双星模型　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　卫星的变轨问题
　　
1.两类变轨情况的分析
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 飞行器加速 飞行器减速
受力特点 G＜m G＞m
变轨结果 变为椭圆轨道或在更高圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在更低圆轨道上运动
能量变化 机械能增加（高轨动能减小，势能增加） 机械能减小（低轨动能增加，势能减小）
2.宇宙飞船与空间站的对接问题
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，必须让宇宙飞船在较低轨道上逐渐加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
（2025·杭州联考）2024年3月20日，长征八号火箭成功发射，将鹊桥二号直接送入预定地月转移轨道。如图所示，鹊桥二号在进入近月点P、远月点A的月球捕获椭圆轨道，开始绕月球飞行。经过多次轨道控制，鹊桥二号最终进入近月点P和远月点B、周期为24小时的环月椭圆轨道。关于鹊桥二号的说法正确的是（　　）
A.离开火箭时的速度大于地球的第二宇宙速度
B.在捕获轨道上运行的周期大于24小时
C.在捕获轨道上经过P点时，需要点火加速，才可能进入环月轨道
D.在捕获轨道上经过P点的加速度比在环月轨道上经过P点时的大
答案：B
解析：鹊桥二号离开火箭时的速度要大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，才能进入环月轨道，A错误；由开普勒第三定律＝k，鹊桥二号在捕获轨道上运行的周期大于在环月轨道上运行的周期，B正确；在P点要由捕获轨道变轨到环月轨道，需要做近心运动，必须降低速度，经过P点时，需要点火减速，C错误；根据万有引力提供向心力知G＝ma，解得a＝，则两个轨道经过P点的加速度一样大，D错误。
【变轨问题】
1.（2025·北京高考7题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　）
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
解析：A　在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确；探测器仅受到万有引力作用，由G＝ma，解得a＝G，在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
2.（2025·温州质检）如图为嫦娥三号登月轨迹示意图。图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点。a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是（　　）
A.嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度一定大于11.2 km/s
B.嫦娥三号的发射速度必须大于11.2 km/s
C.设嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1＞a2
D.嫦娥三号从椭圆轨道b进入圆轨道a时，必须在N点减速
解析：D　地球的第二宇宙速度是11.2 km/s，达到此值时，卫星将脱离地球的束缚，绕太阳运动，嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度和发射速度都不可能大于11.2 km/s，A、B错误；嫦娥三号从椭圆轨道b进入圆轨道 a时，做近心运动，必须在N点减速，D正确；根据G＝ma有a＝，由此可知a1＝a2，C错误。
题型二　双星及多星模型 　　
模型一　双星模型
模型图例
受力特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动所需的向心力
运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等
解题规律 ＝m1ω2r1，＝m2ω2r2
解题关键 r1＋r2＝L
天文学家发现了一对被称为“灾难变星”的罕见双星系统，约每51分钟彼此绕行一圈，通过天文观测的数据，模拟该双星系统的运动，推测在接下来的7 000万年里，这对双星彼此绕行的周期逐渐减小至18分钟。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。不考虑其他天体的影响，两颗星球的质量不变，在彼此绕行的周期逐渐减小的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A.每颗星球的角速度都在逐渐变小
B.两颗星球的距离在逐渐地变大
C.两颗星球的轨道半径之比保持不变
D.每颗星球的加速度都在变小
答案：C
解析：由于在彼此绕行的周期逐渐减小，根据公式ω＝可知，每颗星球的角速度都在逐渐变大，设双星转动的角速度为ω，双星间距离为L，星球的质量分别为m1、m2，由万有引力提供向心力有＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得ω＝，可知距离L逐渐的变小，故A、B错误；由万有引力提供向心力有＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得＝，由于星球质量不变，则两颗星球的轨道半径之比保持不变，故C正确；由万有引力公式提供向心力有＝m1a1＝m2a2，可知由于距离L逐渐变小，每颗星球的加速度都在变大，故D错误。
模型二　三星模型
模型图例
受力特点 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动所需的向心力
运动特点 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
解题规律 图甲中＋＝man， 图乙中×cos 30°×2＝man
解题关键 图甲中r＝，图乙中r＝
（2025·湖州质检）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统模型如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A.每颗星做圆周运动的角速度为
B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
答案：C
解析：任意两星间的万有引力F1＝，每颗星所受的万有引力合力F＝2F1cos 30°＝，根据几何关系得，每颗星做圆周运动的半径r＝＝L，根据万有引力合力提供向心力有＝mrω2，解得角速度ω＝，A错误；根据＝ma得，每颗星做圆周运动的加速度大小a＝，与三星的质量有关，B错误；每颗星的周期T＝＝2π，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，可知周期变为原来的2倍，C正确；每颗星的线速度v＝rω＝，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，可知线速度大小不变，D错误。
4 / 4第28课时　卫星变轨问题　双星模型　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　卫星的变轨问题
　　
1.两类变轨情况的分析
两类变轨 离心运动 近心运动
变轨起因 飞行器加速 飞行器减速
受力特点 G＜m G＞m
变轨结果 变为椭圆轨道或在更高圆轨道上运动 变为椭圆轨道运动或在更低圆轨道上运动
能量变化 机械能增加（高轨动能减小，势能增加） 机械能减小（低轨动能增加，势能减小）
2.宇宙飞船与空间站的对接问题
宇宙飞船与空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追赶问题，本质仍然是卫星的变轨问题，要使宇宙飞船与空间站成功“对接”，必须让宇宙飞船在较低轨道上逐渐加速，通过做离心运动升高轨道，从而完成宇宙飞船与空间站的成功对接。
　　
（2025·杭州联考）2024年3月20日，长征八号火箭成功发射，
将鹊桥二号直接送入预定地月转移轨道。如图所示，鹊桥二号在进入近月点P、远月点A的月球捕获椭圆轨道，开始绕月球飞行。经过多次轨道控制，鹊桥二号最终进入近月点P和远月点B、周期为24小时的环月椭圆轨道。关于鹊桥二号的说法正确的是（　　）
A.离开火箭时的速度大于地球的第二宇宙速度
B.在捕获轨道上运行的周期大于24小时
C.在捕获轨道上经过P点时，需要点火加速，才可能进入环月轨道
D.在捕获轨道上经过P点的加速度比在环月轨道上经过P点时的大
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【变轨问题】
1.（2025·北京高考7题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。
如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　）
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
2.（2025·温州质检）如图为嫦娥三号登月轨迹示意图。图中M点为环地球运行的近地点，N点为环月球运行的近月点。a为环月球运行的圆轨道，b为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是（　　）
A.嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度一定大于11.2 km/s
B.嫦娥三号的发射速度必须大于11.2 km/s
C.设嫦娥三号在圆轨道a上经过N点时的加速度为a1，在椭圆轨道b上经过N点时的加速度为a2，则a1＞a2
D.嫦娥三号从椭圆轨道b进入圆轨道a时，必须在N点减速
题型二　双星及多星模型
　　
模型一　双星模型
模型图例
受力特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动所需的向心力
运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等
解题规律 ＝m1ω2r1，＝m2ω2r2
解题关键 r1＋r2＝L
天文学家发现了一对被称为“灾难变星”的罕见双星系统，约每51分钟彼此绕行一圈，通过天文观测的数据，模拟该双星系统的运动，推测在接下来的7 000万年里，这对双星彼此绕行的周期逐渐减小至18分钟。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型，如图所示，两星球在万有引力作用下，绕O点做匀速圆周运动。不考虑其他天体的影响，两颗星球的质量不变，在彼此绕行的周期逐渐减小的过程中，下列说法中正确的是（　　）
A.每颗星球的角速度都在逐渐变小
B.两颗星球的距离在逐渐地变大
C.两颗星球的轨道半径之比保持不变
D.每颗星球的加速度都在变小
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模型二　三星模型
模型图例
受力特点 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动所需的向心力
运动特点 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
解题规律 图甲中＋＝man， 图乙中×cos 30°×2＝man
解题关键 图甲中r＝，图乙中r＝
（2025·湖州质检）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统模型如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A.每颗星做圆周运动的角速度为
B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度变为原来的4倍
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