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第五章　万有引力与宇宙航行
第26课时　万有引力和相对论　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　　
　如图所示为太阳系的八大行星图，对于行星的公转运动，判断下列说法的正误：
（1）八大行星的公转轨道都是圆，太阳位于圆的中心。（　×　）
（2）八大行星的公转是太阳的万有引力作用的结果。（　√　）
（3）在同一段时间内，地球与太阳的连线扫过的面积一定等于火星与太阳的连线扫过的面积。（　×　）
（4）对于地球绕太阳的公转和月球绕地球的公转，其轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比是相等的。（　×　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　开普勒定律的理解和应用　[素养自修类]
　　
1.【开普勒第一定律的理解】
（多选）下列说法正确的是（　　）
A.太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B.行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C.行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
D.太阳是静止不动的
解析：AB　太阳系中八大行星绕太阳运动的轨迹都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，故A正确；行星的运动轨迹为椭圆，即行星做曲线运动，速度方向沿轨道的切线方向，故B正确；椭圆上某点的切线并不一定垂直于此点与焦点的连线，故C错误；太阳并非静止，它围绕银河系的中心不断转动，故D错误。
2.【开普勒第三定律的应用】
（2025·云南高考5题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　）
行星 轨道半径R/AU
水星 0.39
金星 0.72
地球 1.0
火星 1.5
木星 5.2
土星 9.5
天王星 19
海王星 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
解析：C　由开普勒第三定律＝得R行＝R地，代入数据解得R行≈3.2 AU，结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。
3.【开普勒第二定律的应用】
如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，则（　　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
解析：A　由于哈雷彗星做的不是圆周运动，在近日点做离心运动，在远日点做近心运动，因此不能通过万有引力充当向心力计算其在近日点和远日点的线速度之比，需通过开普勒第二定律求解，设在极短时间Δt内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，即有v1Δtr1＝v2Δtr2，可得v1∶v2＝r2∶r1，故A正确，B错误；对近日点，根据牛顿第二定律有G＝ma1，对远日点，根据牛顿第二定律有G＝ma2，联立解得a1∶a2＝∶，故C、D错误。
1.开普勒定律具有普遍适用性，既适用于行星绕太阳的运动，也适用于月球、卫星绕地球的运动等。
2.根据开普勒第二定律可知行星在近日点速度最大，远日点速度最小。
3.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能适用于绕同一中心天体运动的星体之间。
考点二　万有引力定律及重力加速度的理解　[互动共研类]
　　
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F产生两个作用效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
2.重力加速度的计算公式
（1）地球赤道上：G＝mg1＋mω2R。
（2）地球两极上：G＝mg0。
（3）地面一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
（4）距离地面高度h处：G＝mg2。
结论：①纬度越高，g值越大；高度越大，g值越小。
②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g。地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的半径为（　　）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：在地球两极，万有引力等于物体的重力，则有＝mg0，在赤道处，万有引力提供重力及物体做圆周运动的向心力，则有－mg＝m，联立解得R＝，故A正确，B、C、D错误。
1.【万有引力定律的理解 】
嫦娥五号探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是（　　）
解析：D　由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。
2.【天体表面的重力加速度】
火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值约为（　　）
A.0.4　　　B.2 C.3　　　D.5
解析：A　根据万有引力定律，在天体表面有mg＝G，解得g＝，故火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值＝·＝0.4，选项A正确。
3.【万有引力定律的应用】
（2025·河南高考3题）2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为（　　）
A.13天 B.27天
C.64天 D.128天
解析：A　由G＝mr得T＝2π，又因为M恒＝M日，rG＝r日地，解得TG≈13天，A正确。
考点三　中心天体质量和密度的计算　[互动共研类]
　　
天体质量、密度的计算
项目 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算 利用运 行天体 r、T G＝mr M＝ 只能得到中心 天体的质量　
r、v G＝m M＝
v、T G＝m， G＝mr M＝
利用天体 表面重力 加速度　 g、R mg＝ M＝ —
密度的计算 利用运 行天体 r、T、R G＝mr， M＝ρ·πR3 ρ＝， 当r＝R时，ρ＝ 利用近地卫星 只需测出其运 行周期
利用天 体表面 重力加 速度　 g、R mg＝， M＝ρ·πR3 ρ＝ —
（多选）（2025·安徽高考9题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　）
A.r＝ B.r＝＋R
C.M＝ D.M＝
答案：BC
解析：根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径，则有2r＝a＋b＋2R，解得r＝，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，C正确，D错误。
【特别提醒】
　（1）利用“借助外援”T、r法计算的质量和密度对应中心天体，而不是环绕天体，因为计算过程中环绕天体的质量被约掉了。
（2）注意区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
（多选）我国火星探测器已成功登陆火星表面。
若探测器到达火星后，在火星表面做了如下实验：将轻绳一端固定在传感器上的O点，另一端系质量为m且可视为质点的小球，如图所示。把小球拉至与圆心O等高的A点由静止释放，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，传感器测出绳子拉力最大值为F。引力常量为G，火星可视为半径为R的均质球体，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（　　）
A．火星表面的重力加速度为
B．火星的平均密度为
C．环绕火星表面运行的卫星的角速度为
D．环绕火星表面运行的卫星的速率为
解析：AC　设绳子的长度为l，从A点运动到最低点由动能定理有mg火l=mv2，在最低点由牛顿第二定律有F－mg火=m，解得g火=，故A正确；在火星表面有=mg火=mω2R=m，ρ=，解得ρ=，ω=，v=，故C正确，B、D错误。
考点四　相对论　[素养自修类]
　　
1.【长度收缩效应】
一艘太空飞船静止时的长度为30 m，它以0.6c（c为光速）的速度沿长度方向飞行越过地球，下列说法正确的是（　　）
A.飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
B.地球上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
C.飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于c
D.地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c
解析：B　飞船上的观测者测得飞船的长度不变，仍为30 m，由l＝l0＜l0可知，地球上的观测者测得该飞船的长度小于30 m，A错误，B正确；由光速不变原理可知C、D错误。
2.【时间延缓效应】
（多选）接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有（　　）
A.飞船上的人观测到飞船上的钟较快
B.飞船上的人观测到飞船上的钟较慢
C.地球上的人观测到地球上的钟较快
D.地球上的人观测到地球上的钟较慢
解析：AC　相对论告诉我们，运动的钟会变慢，由于飞船上的人相对飞船上的钟是静止的，而观测到地球上的钟是高速运动的，因此飞船上的人观测到飞船上的钟相对于地球上的钟快，A正确，B错误；同样，地球上的人观测到飞船上的钟是高速运动的，因此地球上的人观测到地球上的钟比飞船上的钟快，C正确，D错误。
1.两种时空观
（1）经典时空观
空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。
（2）相对论时空观
物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。
2.狭义相对论的三个有用的结论
（1）运动的时钟变慢了。
（2）运动的尺子长度缩短了。
（3）运动的物体质量增大了。
以上三个结论均为相对观察者运动时产生的现象。
6 / 6第26课时　万有引力和相对论　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　　
　如图所示为太阳系的八大行星图，对于行星的公转运动，判断下列说法的正误：
（1）八大行星的公转轨道都是圆，太阳位于圆的中心。（　　）
（2）八大行星的公转是太阳的万有引力作用的结果。（　　）
（3）在同一段时间内，地球与太阳的连线扫过的面积一定等于火星与太阳的连线扫过的面积。（　　）
（4）对于地球绕太阳的公转和月球绕地球的公转，其轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比是相等的。（　　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　开普勒定律的理解和应用　[素养自修类]
　　
1.【开普勒第一定律的理解】
（多选）下列说法正确的是（　　）
A.太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点
B.行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向
C.行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直
D.太阳是静止不动的
2.【开普勒第三定律的应用】
（2025·云南高考5题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　）
行星 轨道半径R/AU
水星 0.39
金星 0.72
地球 1.0
火星 1.5
木星 5.2
土星 9.5
天王星 19
海王星 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
3.【开普勒第二定律的应用】
如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，则（　　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
1.开普勒定律具有普遍适用性，既适用于行星绕太阳的运动，也适用于月球、卫星绕地球的运动等。
2.根据开普勒第二定律可知行星在近日点速度最大，远日点速度最小。
3.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能适用于绕同一中心天体运动的星体之间。
考点二　万有引力定律及重力加速度的理解　[互动共研类]
　　
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F产生两个作用效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
2.重力加速度的计算公式
（1）地球赤道上：G＝mg1＋mω2R。
（2）地球两极上：G＝mg0。
（3）地面一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
（4）距离地面高度h处：G＝mg2。
结论：①纬度越高，g值越大；高度越大，g值越小。
②由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g。地球自转的周期为T，引力常量为G。则地球的半径为（　　）
A. B.
C. D.
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.【万有引力定律的理解 】
嫦娥五号探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是（　　）
2.【天体表面的重力加速度】
火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的比值约为（　　）
A.0.4　　　B.2 C.3　　　D.5
3.【万有引力定律的应用】
（2025·河南高考3题）2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为（　　）
A.13天 B.27天
C.64天 D.128天
考点三　中心天体质量和密度的计算　[互动共研类]
　　
天体质量、密度的计算
项目 使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注
质量的计算 利用运 行天体 r、T G＝ mr M＝ 只能得 到中心 天体的 质量　
r、v G＝ m M＝
v、T G＝ m， G＝ mr M＝
利用天体 表面重力 加速度　 g、R mg＝ M＝ —
密度的计算 利用运 行天体 r、T、R G＝ mr， M＝ρ· πR3 ρ＝ ， 当r＝R 时，ρ＝ 利用近 地卫星 只需测 出其运 行周期
利用天 体表面 重力加 速度　 g、R mg＝， M＝ρ· πR3 ρ＝ —
（多选）（2025·安徽高考9题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　）
A.r＝ B.r＝＋R
C.M＝ D.M＝
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【特别提醒】
　（1）利用“借助外援”T、r法计算的质量和密度对应中心天体，而不是环绕天体，因为计算过程中环绕天体的质量被约掉了。
（2）注意区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。
　（多选）我国火星探测器已成功登陆火星表面。
若探测器到达火星后，在火星表面做了如下实验：将轻绳一端固定在传感器上的O点，另一端系质量为m且可视为质点的小球，如图所示。把小球拉至与圆心O等高的A点由静止释放，小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，传感器测出绳子拉力最大值为F。引力常量为G，火星可视为半径为R的均质球体，不考虑火星的自转。下列说法正确的是（　　）
A．火星表面的重力加速度为
B．火星的平均密度为
C．环绕火星表面运行的卫星的角速度为
D．环绕火星表面运行的卫星的速率为
考点四　相对论　[素养自修类]
　　
1.【长度收缩效应】
一艘太空飞船静止时的长度为30 m，它以0.6c（c为光速）的速度沿长度方向飞行越过地球，下列说法正确的是（　　）
A.飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
B.地球上的观测者测得该飞船的长度小于30 m
C.飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于c
D.地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c
2.【时间延缓效应】
（多选）接近光速飞行的飞船和地球上各有一只相同的铯原子钟，飞船和地球上的人观测这两只钟的快慢，下列说法正确的有（　　）
A.飞船上的人观测到飞船上的钟较快
B.飞船上的人观测到飞船上的钟较慢
C.地球上的人观测到地球上的钟较快
D.地球上的人观测到地球上的钟较慢
1.两种时空观
（1）经典时空观
空间、时间是独立于物体及其运动而存在的。
（2）相对论时空观
物体占有的空间以及物理过程、化学过程，甚至还有生命过程的持续时间，都与它们的运动状态有关。
2.狭义相对论的三个有用的结论
（1）运动的时钟变慢了。
（2）运动的尺子长度缩短了。
（3）运动的物体质量增大了。
以上三个结论均为相对观察者运动时产生的现象。

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