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第33课时　功能关系和能量守恒定律　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　功能关系的理解和应用
　　
1.对功能关系的理解
功是能量转化的量度，一方面体现在不同的力做功对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，另一方面做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.力学中几种常见的功能关系
（2024·浙江1月选考3题）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（　　）
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.【功能关系的理解】
（2025·江西高考2题）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　）
A.速率增大，机械能增大
B.速率减小，机械能减小
C.速率增大，机械能不变
D.速率减小，机械能不变
2.【功能关系与图像的结合】
（多选）一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则（　　）
A.物块下滑过程中机械能不守恒
B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C.物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D.当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
题型二　能量守恒定律的理解和应用
　　
1.对能量守恒定律的两点理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2.运用能量守恒定律解题的基本思路
如图，在倾角为θ的光滑斜坡上有20个均匀分布的减速带，减速带之间的距离均为d，每个减速带的宽度远小于d。质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止下滑。小车通过减速带所损失的机械能与到达减速带时的速度有关。某同学观察发现，小车通过第17个减速带后，在相邻减速带间的平均速度不再增加。小车通过最后一个减速带后立刻进入与斜面平滑连接的水平地面继续滑行距离s后停下，小车与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）小车进入水平地面时速度v的大小；
（2）小车通过20个减速带共损失的机械能ΔE总；
（3）小车通过第17个减速带后，每经过一个减速带损失的机械能ΔE。
尝试解题
　潮汐电站是利用潮汐，将海洋潮汐能转换成电能的装置。浙江省温岭县的江厦潮汐电站，是世界上已建成的较大的双向（涨潮、落潮时都能发电）潮汐电站之一，如图所示，该电站拦潮坝全长670 m，水库有效库容270万立方米，平均潮差5.0 m。每天有两次涨潮，假设每次到高潮位时开闸发电，直至将水库灌满。等到低潮位时再次开闸发电，直至将水库清空。通过水的重力做功转化为电能，效率为20％，该电站平均一天能发出的电为（　　）
A.0.5×104度 B.1.5×104度
C.2.5×104度 D.2.0×104度
题型三　摩擦力做功与能量转化
　　
两种摩擦力做功的比较
静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
互为作用力和反作用力的一对静摩擦力所做功的代数和一定为零，即两个力做功要么一正一负且数值相等，要么都不做功 互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力所做功的代数和为负值，即两个力中至少有一个力做负功，且代数和的绝对值为摩擦生热
只发生机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能的转化 （1）一部分机械能从一个物体转移到另一个物体； （2）一部分机械能转化为内能，即摩擦生热等于系统机械能的损失
两种摩擦力都可以对物体做正功或者负功，还可以不做功
模型一　传送带模型
1.两个分析角度
（1）动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
（2）能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2.三个功能分析
（1）传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传。
（2）系统产生的内能：Q＝Ffx相对。
（3）功能关系的分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
（多选）（2025·温州二模）如图甲所示为温州轨道交通S1线的行李安检机，其简化原理图如图乙所示，水平传送带长为2.5 m，传送带始终以恒定速率0.30 m/s运行。一质量为0.60 kg的小包（可视为质点）无初速度地轻放上传送带左端，最终到达传送带右端。若小包与该传送带间的动摩擦因数为0.50，g取10 m/s2，下列说法正确的是（　　）
A.经过0.12 s小包相对传送带静止
B.小包相对传送带的位移0.018 m
C.由于传送小包，电动机多做的功为0.054 J
D.由于摩擦产生的热量为0.027 J
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模型二　滑块—木板模型
滑块和木板的运动如图所示，要注意区分三个位移：
（1）求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x滑；
（2）求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x板；
（3）求摩擦生热时用相对位移Δx或相对滑行路程。
（2025·杭州质检）如图所示，地面上方固定一长度为L1＝3 m的水平传送带AB，传送带以v0＝2.4 m/s的速度顺时针转动，其右侧固定有一圆心角θ＝53°，R＝2.5 m的光滑圆弧轨道CD，轨道最低点D右侧等高处紧挨着放置一个足够长、质量M＝1 kg的木板EF，其上表面粗糙，下表面光滑，木板的右端足够远处固定有一弹性竖直挡板G。现将一个质量m＝1 kg的物块（可看成质点）轻放在传送带左端A点，它从传送带右端B点水平抛出后恰好从C点沿着圆弧切线方向进入轨道CD，经最低点D后滑上木板EF。已知物块与传送带和木板之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.12和μ2＝0.5，木板与挡板G碰后会立刻原速率反弹，cos 53°＝0.6，求：
（1）物块运动到C点的速度大小以及到D点时受到的支持力大小；
（2）从物块滑上木板到它们第一次相对静止时，两者因摩擦产生的热量；
（3）木板与挡板第一次碰撞后，给木板施加一个方向水平向右的恒力F＝5 N，木板与挡板第二次碰前瞬间物块离木板左端E的距离。
尝试解题第33课时　功能关系和能量守恒定律　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　功能关系的理解和应用
1.对功能关系的理解
功是能量转化的量度，一方面体现在不同的力做功对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，另一方面做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2.力学中几种常见的功能关系
（2024·浙江1月选考3题）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（　　）
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
答案：B
解析：由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，则从1到2动能减少量大于mgh，A错误，B正确；从2到3由于空气阻力作用，则机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加小于mgh，C、D错误。
1.【功能关系的理解】
（2025·江西高考2题）如图所示，Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变轨轨道，Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道，P、Q为变轨点。不计阻力，飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，下列选项正确的是（　　）
A.速率增大，机械能增大
B.速率减小，机械能减小
C.速率增大，机械能不变
D.速率减小，机械能不变
解析：D　飞船在轨道Ⅱ上从P点到Q点运动过程中，只有万有引力做负功，则机械能不变，动能减小，即速率减小，A、B、C错误，D正确。
2.【功能关系与图像的结合】
（多选）一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2。则（　　）
A.物块下滑过程中机械能不守恒
B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C.物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D.当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
解析：AB　由重力势能和动能随下滑距离s变化的图像可知，重力势能和动能之和随下滑距离s的增大而减小，可知物块下滑过程中机械能不守恒，A正确；在斜面顶端，重力势能Ep＝mgh＝30 J，解得物块质量m＝1 kg，由重力势能随下滑距离s变化图像可知，重力势能可以表示为Ep＝（30－6s）J，由动能随下滑距离s变化图像可知，动能可以表示为Ek＝2s J，设斜面倾角为θ，则有sin θ＝＝，cos θ＝，由功能关系有－μmgcos θ·s＝Ep＋Ek－30 J＝（30－6s＋2s－30）J＝－4s J，可得μ＝0.5，B正确；由Ek＝2s J，Ek＝可得，v2＝4s m2/s2，对比匀变速直线运动公式v2＝2as，可得a＝2 m/s2，即物块下滑时加速度的大小为2.0 m/s2，C错误；由重力势能和动能随下滑距离s变化图像可知，当物块下滑2.0 m时机械能E＝18 J＋4 J＝22 J，机械能损失量ΔE＝30 J－22 J＝8 J，D错误。
题型二　能量守恒定律的理解和应用
1.对能量守恒定律的两点理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
2.运用能量守恒定律解题的基本思路
如图，在倾角为θ的光滑斜坡上有20个均匀分布的减速带，减速带之间的距离均为d，每个减速带的宽度远小于d。质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一个减速带L处由静止下滑。小车通过减速带所损失的机械能与到达减速带时的速度有关。某同学观察发现，小车通过第17个减速带后，在相邻减速带间的平均速度不再增加。小车通过最后一个减速带后立刻进入与斜面平滑连接的水平地面继续滑行距离s后停下，小车与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）小车进入水平地面时速度v的大小；
（2）小车通过20个减速带共损失的机械能ΔE总；
（3）小车通过第17个减速带后，每经过一个减速带损失的机械能ΔE。
答案：（1）　（2）mg（L＋19d）sin θ－μmgs
（3）mgdsin θ
解析：（1）在水平地面上，小车水平方向受到的摩擦力即合外力，根据牛顿第二定律有
f＝ma，f＝μN＝μmg
可得a＝μg
由公式0－v2＝－2as
可得v＝。
（2）以水平地面为零势能面，开始下滑处小车的机械能为
E1＝mg（L＋19d）sin θ
通过20个减速带时小车的机械能为E2＝mv2＝μmgs
小车通过20个减速带共损失的机械能为ΔE总＝mg（L＋19d）sin θ－μmgs。
（3）通过相邻减速带间的平均速度不再增加的大致v-t图像（图像不做要求）
或
通过第17个及之后的减速带时小车的平均速度相同，即达到减速带时小车的瞬时速度相同。小车通过第17个减速带后，根据功能关系，每经过一个减速带损失的机械能ΔE＝ΔEp＝mgdsin θ。
　潮汐电站是利用潮汐，将海洋潮汐能转换成电能的装置。浙江省温岭县的江厦潮汐电站，是世界上已建成的较大的双向（涨潮、落潮时都能发电）潮汐电站之一，如图所示，该电站拦潮坝全长670 m，水库有效库容270万立方米，平均潮差5.0 m。每天有两次涨潮，假设每次到高潮位时开闸发电，直至将水库灌满。等到低潮位时再次开闸发电，直至将水库清空。通过水的重力做功转化为电能，效率为20％，该电站平均一天能发出的电为（　　）
A.0.5×104度 B.1.5×104度
C.2.5×104度 D.2.0×104度
解析：B　一次涨潮水增加的重力G＝mg＝ρVg＝1.0×103 kg/m3×2.7×106 m3×10 N/kg＝2.7×1010 N，一天产生的水的势能W＝4G·H＝4×2.7×1010 N××5 m＝2.7×1011 J，水的势能变为电能W电＝ηW＝20％×2.7×1011 J＝5.4×1010 J＝1.5×104 kW·h＝1.5×104度，故选B。
题型三　摩擦力做功与能量转化
两种摩擦力做功的比较
静摩擦力做功 滑动摩擦力做功
互为作用力和反作用力的一对静摩擦力所做功的代数和一定为零，即两个力做功要么一正一负且数值相等，要么都不做功 互为作用力和反作用力的一对滑动摩擦力所做功的代数和为负值，即两个力中至少有一个力做负功，且代数和的绝对值为摩擦生热
只发生机械能从一个物体转移到另一个物体，而没有机械能的转化 （1）一部分机械能从一个物体转移到另一个物体； （2）一部分机械能转化为内能，即摩擦生热等于系统机械能的损失
两种摩擦力都可以对物体做正功或者负功，还可以不做功
模型一　传送带模型
1.两个分析角度
（1）动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系。
（2）能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解。
2.三个功能分析
（1）传送带克服摩擦力做的功：W＝Ffx传。
（2）系统产生的内能：Q＝Ffx相对。
（3）功能关系的分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q。
（多选）（2025·温州二模）如图甲所示为温州轨道交通S1线的行李安检机，其简化原理图如图乙所示，水平传送带长为2.5 m，传送带始终以恒定速率0.30 m/s运行。一质量为0.60 kg的小包（可视为质点）无初速度地轻放上传送带左端，最终到达传送带右端。若小包与该传送带间的动摩擦因数为0.50，g取10 m/s2，下列说法正确的是（　　）
A.经过0.12 s小包相对传送带静止
B.小包相对传送带的位移0.018 m
C.由于传送小包，电动机多做的功为0.054 J
D.由于摩擦产生的热量为0.027 J
答案：CD
解析：电动机多做的功包括两部分，一部分转化为小包的动能，W1＝mv2＝×0.6 kg×（0.3 m/s）2＝0.027 J；另一部分为克服摩擦力产生的热量，小包从静止加速到与传送带共速的时间t1＝＝＝＝0.06 s，相对位移Δx＝vt1－t1＝ m＝0.009 m，热量Q＝Ff·Δx＝μmg·Δx＝0.50×0.6 kg×10 m/s2×0.009 m＝0.027 J，因此，电动机多做的总功W1＋Q＝0.027 J＋0.027 J＝0.054 J，C、D正确，A、B错误。
模型二　滑块—木板模型
滑块和木板的运动如图所示，要注意区分三个位移：
（1）求摩擦力对滑块做功时用滑块对地的位移x滑；
（2）求摩擦力对木板做功时用木板对地的位移x板；
（3）求摩擦生热时用相对位移Δx或相对滑行路程。
（2025·杭州质检）如图所示，地面上方固定一长度为L1＝3 m的水平传送带AB，传送带以v0＝2.4 m/s的速度顺时针转动，其右侧固定有一圆心角θ＝53°，R＝2.5 m的光滑圆弧轨道CD，轨道最低点D右侧等高处紧挨着放置一个足够长、质量M＝1 kg的木板EF，其上表面粗糙，下表面光滑，木板的右端足够远处固定有一弹性竖直挡板G。现将一个质量m＝1 kg的物块（可看成质点）轻放在传送带左端A点，它从传送带右端B点水平抛出后恰好从C点沿着圆弧切线方向进入轨道CD，经最低点D后滑上木板EF。已知物块与传送带和木板之间的动摩擦因数分别为μ1＝0.12和μ2＝0.5，木板与挡板G碰后会立刻原速率反弹，cos 53°＝0.6，求：
（1）物块运动到C点的速度大小以及到D点时受到的支持力大小；
（2）从物块滑上木板到它们第一次相对静止时，两者因摩擦产生的热量；
（3）木板与挡板第一次碰撞后，给木板施加一个方向水平向右的恒力F＝5 N，木板与挡板第二次碰前瞬间物块离木板左端E的距离。
答案：（1）6 m/s　24.4 N　（2）9 J　（3）3.6 m
解析：（1）根据牛顿第二定律，物块在传送带上的加速度
a1＝＝μ1g＝0.12×10 m/s2＝1.2 m/s2
若物块一直加速到右端，末速度v满足v2＝2a1L1
代入L1＝3 m得
v＝ m/s＝ m/s≈2.68 m/s
但传送带速度v0＝2.4 m/s＜2.68 m/s，说明物块先匀加速到v0，后匀速运动，因此物块运动到B点的速度vB＝v0＝2.4 m/s
平抛过程水平速度不变vB＝vCcos θ
解得vC＝4 m/s
C到D过程，根据动能定理有
mgR（1－cos 53°）＝m－m
解得vD＝6 m/s
D点FN－mg＝m
解得FN＝24.4 N。
（2）取向右为正方向，木板与挡板第一次碰撞前
a2＝－μ2g＝－0.5×10 m/s2＝－5 m/s2，
a3＝＝ m/s2＝5 m/s2
两者达到共速v1
vD＋a2t1＝a3t1
解得t1＝0.6 s
v1＝a3t1＝5×0.6 m/s＝3 m/s
x物块＝，x木板＝
代入数据得 x物块＝2.7 m，x木板＝0.9 m
相对滑行位移
x0＝x物块－x木板＝2.7 m－0.9 m＝1.8 m
由功能关系得Q＝μ2mgx0
代入数据得Q＝9 J。
（3）取向右为正方向，木板与挡板第一次碰撞后
对物块：a4＝－μ2g，对木板：a5＝
代入数据得a4＝－5 m/s2，a5＝10 m/s2
两者再次达到共速v2
v1＋a4t2＝－v1＋a5t2
解得t2＝0.4 s
v2＝v1＋a4t2＝3 m/s－5×0.4 m/s＝1 m/s
x物块'＝，x木板'＝
代入数据得
x物块'＝0.8 m，x木板'＝－0.4 m
相对滑行位移
x1＝x物块'－x木板'＝0.8 m－（－0.4 m）＝1.2 m
木板与挡板第二次碰前瞬间物块离木板左端E的距离为
x＝x0＋x1＝1.8 m＋1.2 m＝3.0 m。
　
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