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第31课时　动能定理在多过程运动中的应用　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　动能定理在单向多过程运动中的应用
　　
思路1.分阶段应用动能定理
（1）若题目需要求解某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。
（2）物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。
思路2.全过程应用动能定理
（1）当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算。
（2）全过程列式时要注意
①重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。
②大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。
如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D点的速度大小；
（2）B和D两点间的高度差；
（3）小物块在A点的初速度大小。
规范答题模板
解析：（1）由题意知，小物块恰好能到达轨道的最高点D（指明位置，研究对象），
则在D点有m＝mg，
解得vD＝。
（2）由题意知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧（要有必要的文字说明），
则在C点有cos 60°＝，
小物块从C到D的过程中，根据动能定理（指明选用的规律）有
－mg（R＋Rcos 60°）＝m－m，
则小物块从B到D的过程中，根据动能定理（指明选用的规律）有
mgHBD＝m－m，
联立解得vB＝，HBD＝0。
（3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有－μmgs＝m－m，s＝π·2R（列式要规范，分开列式，不写变形后公式）
解得vA＝。
答案：（1）　（2）0　（3）
　（2025·舟山模拟）汽车在平直的公路上以额定功率行驶，
行驶一段距离后关闭发动机，测出了汽车动能Ek与位移x的关系图像如图所示。已知汽车的质量为1×103 kg，汽车运动过程中所受地面的阻力恒定，空气的阻力不计。则下列说法正确的是（　　）
A.汽车受到地面的阻力大小为200 N
B.汽车加速运动的时间为15.25 s
C.汽车加速过程中牵引力做的功为3×105 J
D.汽车的额定功率为80 000 W
题型二　动能定理在往复运动中的应用
　　
1.往复运动：即物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运动的有关物理量多数是变化的，而往复的次数有的可能是有限的，而有的可能最终达到某一稳定情境下的无限往复运动。
2.解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式将非常烦琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化。
如图甲所示，在水平面上固定一倾角θ＝37°、底端带有挡板的足够长的斜面，斜面体底端静止一质量m＝1 kg的物块（可视为质点），从某时刻起，物块受到一个沿斜面向上的拉力F作用，拉力F随物块从初始位置第一次沿斜面向上的位移x变化的关系如图乙所示，随后不再施加外力作用，物块与固定挡板碰撞前后速率不变，不计空气阻力，已知物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）物块在上滑过程中的最大速度的大小；（计算结果可保留根式）
（2）物块沿斜面上滑的最大位移的大小和物块在斜面上运动的总路程。
尝试解题
如图所示，质量m＝0.1 kg的可视为质点的小球从距地面高H＝5 m处由静止开始自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽的右端切入，半圆形槽半径R＝0.4 m。小球到达槽最低点时速率为10 m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘竖直向上飞出……，如此反复，设小球在槽壁运动时受到的摩擦力大小恒定不变，不计空气阻力及小球与槽壁口接触时的能量损失（取g＝10 m/s2）。求：
（1）小球第一次飞离槽后上升的高度H1；
（2）小球最多能飞出槽外的次数。第31课时　动能定理在多过程运动中的应用　[重难突破课]
着眼“四翼”·探考点
题型一　动能定理在单向多过程运动中的应用 　　
思路1.分阶段应用动能定理
（1）若题目需要求解某一中间物理量，应分阶段应用动能定理。
（2）物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破。
思路2.全过程应用动能定理
（1）当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个运动过程看作一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算。
（2）全过程列式时要注意
①重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关。
②大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积。
如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D点的速度大小；
（2）B和D两点间的高度差；
（3）小物块在A点的初速度大小。
规范答题模板
解析：（1）由题意知，小物块恰好能到达轨道的最高点D（指明位置，研究对象），
则在D点有m＝mg，
解得vD＝。
（2）由题意知，　小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧　（要有必要的文字说明），
则在C点有cos 60°＝，
小物块从C到D的过程中，根据动能定理（指明选用的规律）有
－mg（R＋Rcos 60°）＝m－m，
则小物块从B到D的过程中，根据动能定理（指明选用的规律）有
mgHBD＝m－m，
联立解得vB＝，HBD＝0。
（3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有　－μmgs＝m－m，s＝π·2R　（列式要规范，分开列式，不写变形后公式）
解得vA＝。
答案：（1）　（2）0　（3）
　（2025·舟山模拟）汽车在平直的公路上以额定功率行驶，行驶一段距离后关闭发动机，测出了汽车动能Ek与位移x的关系图像如图所示。已知汽车的质量为1×103 kg，汽车运动过程中所受地面的阻力恒定，空气的阻力不计。则下列说法正确的是（　　）
A.汽车受到地面的阻力大小为200 N
B.汽车加速运动的时间为15.25 s
C.汽车加速过程中牵引力做的功为3×105 J
D.汽车的额定功率为80 000 W
解析：D　关闭发动机后根据动能定理得－fx＝0－Ek，解得f＝＝ N＝2×103 N，A错误；设汽车匀速运动的速度为v，则有Ek＝mv2 ，匀速运动时牵引力与阻力大小相等，则汽车的额定功率为P＝fv，联立解得P＝80 kW，D正确；对于加速运动过程，已知Ek2＝8×105 J，Ek1＝5×105 J，根据动能定理得Pt－fs＝Ek2－Ek1，代入数据得t＝16.25 s，B错误；汽车牵引力做的功应大于汽车的动能增加量，C错误。
题型二　动能定理在往复运动中的应用
1.往复运动：即物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运动的有关物理量多数是变化的，而往复的次数有的可能是有限的，而有的可能最终达到某一稳定情境下的无限往复运动。
2.解题策略：此类问题多涉及滑动摩擦力或其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式将非常烦琐，甚至无法解出，由于动能定理只涉及物体的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可使解题过程简化。
如图甲所示，在水平面上固定一倾角θ＝37°、底端带有挡板的足够长的斜面，斜面体底端静止一质量m＝1 kg的物块（可视为质点），从某时刻起，物块受到一个沿斜面向上的拉力F作用，拉力F随物块从初始位置第一次沿斜面向上的位移x变化的关系如图乙所示，随后不再施加外力作用，物块与固定挡板碰撞前后速率不变，不计空气阻力，已知物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）物块在上滑过程中的最大速度的大小；（计算结果可保留根式）
（2）物块沿斜面上滑的最大位移的大小和物块在斜面上运动的总路程。
答案：（1） m/s　（2）2 m　5m
解析：（1）物块上滑过程中受拉力、摩擦力、重力、支持力的作用，先做加速运动后做减速运动，则有FN＝mgcos 37°，f＝μFN
F－f－mgsin 37°＝ma
当加速度为零时，速度最大，此时
F＝f＋mgsin 37°＝10 N
由图乙可得出F＝20－10x
则F＝10 N时，可得x＝1 m
由动能定理可得WF＋Wf＋WG＝m－0
即×1 J－0.5×1×10×1×0.8 J－1×10×1×0.6 J＝m－0，可得vm＝ m/s。
（2）由动能定理可得WF'＋Wf'＋WG'＝0
又WF'＝×2 J＝20 J
则xm＝＝2 m
撤去F后，因为mgsin 37°＞μmgcos 37°，所以物块最后停在斜面的底端，则有
WF'－μmgscos 37°＝0
解得s＝5 m。
　如图所示，质量m＝0.1 kg的可视为质点的小球从距地面高H＝5 m处由静止开始自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽的右端切入，半圆形槽半径R＝0.4 m。小球到达槽最低点时速率为10 m/s，并继续沿槽壁运动直到从槽左端边缘竖直向上飞出……，如此反复，设小球在槽壁运动时受到的摩擦力大小恒定不变，不计空气阻力及小球与槽壁口接触时的能量损失（取g＝10 m/s2）。求：
（1）小球第一次飞离槽后上升的高度H1；
（2）小球最多能飞出槽外的次数。
答案：（1）4.2 m　（2）6次
解析：（1）由于小球在槽壁运动时受到的摩擦力大小恒定不变，由对称性可知，小球在槽右半部分与左半部分运动时克服摩擦力做的功相等，设为Wf。小球从开始下落至到达槽最低点的过程中，由动能定理得mg（H＋R）－Wf＝mv2，解得Wf＝0.4 J
小球由槽最低点到第一次上升到最大高度的过程，由动能定理得－mg（H1＋R）－Wf＝0－mv2，
解得H1＝4.2 m。
（2）设小球能飞出槽外n次，对整个过程，由动能定理得mgH－n×2Wf＝0
解得n＝6.25，n只能取整数，故小球最多能飞出槽外6次。
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