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第30课时　动能和动能定理　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础　　
　人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点。已知货物质量为20 kg，h＝4 m，vQ＝6 m/s，重力加速度g取10 m/s2，判断下列说法正误：
（1）货物的动能越来越大。（　√　）
（2）货物下滑过程中只有重力做功。（　×　）
（3）货物下滑过程中，重力做的功大于克服摩擦阻力所做的功。（　√　）
（4）货物下滑过程，重力以外的其他力做功为－440 J。（　√　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　动能定理的理解　[素养自修类]
1.【动能定理的理解】
（多选）下列说法正确的有（　　）
A.若运动物体所受的合外力为零，则物体的动能一定保持不变
B.若运动物体所受的合外力不为零，则物体的动能一定发生变化
C.若运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力一定为零
D.若运动物体的动能发生变化，则该物体所受合外力一定不为零
解析：AD　若运动物体所受合外力为零，合外力对物体不做功，由动能定理可知，物体动能不变，故A正确；若运动物体所受合外力不为零，物体运动状态一定变化，则该物体一定做变速运动，如果合外力方向与物体速度方向垂直，合外力对物体不做功，物体动能不变，故B错误；若运动物体所受合外力与物体的速度方向垂直，合外力对物体不做功，物体动能不变，如匀速圆周运动，故C错误；若运动物体的动能发生变化，根据动能定理可知，合外力一定做功，即合外力一定不为零，故D正确。
2.【动能定理的表达式】
（多选）如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增大到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是（　　）
A.对物体，动能定理的表达式为W＝m－m，其中W为支持力做的功
B.对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C.对物体，动能定理的表达式为W－mgH＝m－m，其中W为支持力做的功
D.对电梯，其所受的合力做功为M－M
解析：CD　电梯上升的过程中，对物体做功的有重力mg、支持力FN，这两个力的总功（即合力做的功）才等于物体动能的变化，即W合＝W－mgH＝m－m，其中W为支持力做的功，故A、B错误，C正确；对电梯做功的有重力Mg、压力FN'和拉力F，合力做功为W合'＝M－M，故D正确。
1.动能和动能变化的区别
（1）动能与动能的变化是两个不同的概念，动能是状态量，动能的变化是过程量。
（2）动能没有负值，而动能变化量有正负之分。ΔEk＞0表示物体的动能增加，ΔEk＜0表示物体的动能减少。
2.对动能定理的理解
（1）做功的过程就是能量转化的过程。
（2）动能定理叙述中所说的“力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力。
考点二　动能定理的应用　[互动共研类]
1.应用流程
2.注意事项
（1）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
（2）应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。
（3）当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理。
（4）列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。
如图所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内， O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量m＝1 kg的小物块在9 N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知xAB＝5 m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.1，当小物块运动到B点时撤去力F，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）小物块到达B点时速度的大小；
（2）小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小。
答案：（1）4 m/s　（2）150 N
解析：（1）从A到B过程，根据动能定理可得
（F－μmg）xAB＝m
解得小物块到达B点时速度的大小为
vB＝4 m/s。
（2）从B到D过程，根据动能定理得
－mg·2R＝m－m
在D点，对小物块由牛顿第二定律可得
FN＋mg＝m
联立解得小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小为FN＝150 N。
1.【动能定理的简单应用】
（2025·云南高考2题）如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近（　　）
A.4×105 J B.4×104 J
C.4×103 J D.4×102 J
解析：B　由单位制可知144 km/h＝40 m/s，高中生的质量约为m＝50 kg，则当列车加速到v＝40 m/s时高中生的动能约为Ek＝mv2＝40 000 J，对高中生，由动能定理得W＝Ek－0，解得列车对高中生所做的功约为W＝4×104 J，B正确。
2.【应用动能定理求解变力做功】
（2025·福建高考15题）如图甲，水平地面上有并排放置的A、B两个物块，两物块质量均为0.2 kg，A与地面间动摩擦因数为μ＝0.25，B与地面间无摩擦，两物块在外力F的作用下向右前进，F随位移x的变化图像如图乙所示，P为圆弧轨道最低点，M为圆弧轨道最高点，圆弧轨道与水平地面平滑连接，初始时水平地面上A、B与P点间的长度大于4 m。求：
（1）0～1 m内F做的功；
（2）x＝1 m时，A与B之间的弹力大小；
（3）要保证B能到达M点，圆弧半径满足的条件。
答案：（1）1.5 J　（2）0.5 N　（3）r≤0.2 m
解析：（1）F-x图像与坐标轴所围的面积表示F所做的功的大小
由题图乙可知0～1 m内F所做的功W＝1.5×1 J＝1.5 J。
（2）由题图乙可知，x＝1 m时外力F的大小刚开始变化，可知此时A、B有相同的加速度
A与地面间的摩擦力f＝μmg
对A、B整体，由牛顿第二定律得F－f＝2ma
由于B与地面间无摩擦，对B，由牛顿第二定律得FAB＝ma
联立解得A、B间的弹力大小FAB＝ma＝0.5 N。
（3）当FAB＝0时A、B分离，由（2）中分析可知F＝f＝μmg＝0.5 N时A、B开始分离，由题图乙可知，此时x＝3 m
初始时水平地面上A、B与P点的长度大于4 m，对A、B从开始运动到开始分离过程，由动能定理得WF－μmgx＝·2mv2
结合（1）中分析由题图乙可得WF＝W＋×2 J＝3.5 J
假设B可以运动到圆弧轨道最高点M，对B从两者开始分离点到运动到M点的过程，由动能定理得－mg·2r＝m－mv2
要保证B能到达M点，则到达M点的速度满足vM≥
联立解得r≤0.2 m。
考点三　动能定理与图像结合的问题　[互动共研类]
1.常与动能定理相结合的五类图像
2.动能定理与图像综合问题的求解步骤
如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为 4 m。有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F的作用。力F只在水平面上按图乙所示的规律变化。滑块与OA间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，试求：
（1）滑块运动到A处的速度大小；
（2）不计滑块在A处的速率变化，滑块在斜面AB上运动的长度是多少。
思路点拨
（1）力F只作用在OA段，AB段斜面光滑。
（2）F-x图线与x轴所围面积表示力F对滑块做的功。
答案：（1）5 m/s　（2）5 m
解析：（1）由题图乙知，
在前2 m内，F1＝2mg，做正功；
在第3 m内，F2＝－0.5mg，做负功；
在第4 m内，F3＝0，不做功。
滑动摩擦力Ff＝－μmg＝－0.25mg，始终做负功。
对OA过程（前4 m过程），由动能定理得
F1x1＋F2x2＋Ffx＝m－0
解得vA＝5 m/s。
（2）滑块在斜面上运动的过程，由动能定理得
－mgLsin 30°＝0－m，解得L＝5 m，
则滑块在斜面AB上运动的长度为5 m。
1.【动能定理与v2-x图像的综合】
（多选）（2025·温州模拟）如图甲所示，某质量为1 kg的滑块从斜面上A点由静止开始下滑，其v2-t图像如图乙所示。其中斜面上AB段光滑，BC段粗糙且动摩擦因数与位置有关，地面CD段光滑，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。判断以下说法正确的是（　　）
A.斜面倾角为37°
B.该斜面的总长度大于83 m
C.BC段上离B越远的位置，动摩擦因数越大
D.由动能定理可计算出B到C过程摩擦产生的热量为32 J
解析：ABC　由题图乙易知0～1 s在AB段，1～11 s在BC段，根据v＝at并结合题图乙中t＝1 s时对应坐标，代入解得a＝6 m/s2，根据a＝gsin θ解得斜面倾角为37°，A正确；在BC段，根据Δv＝aΔt，所以Δv2＝aΔt×Δt，根据题图乙可知，a·Δt为定值，所以随着时间增大，加速度在减小，阻力变大，正压力不变，则BC段上离B越远的位置，动摩擦因数越大，C正确；匀加速位移x＝vt，解得x＝3 m，之后做加速度减小的加速直线运动，则运动的位移大于对应匀变速的位移，如果是匀变速直线运动，BC段位移x'＝×（＋）×10 m＝80 m ，所以该斜面的总长度大于x＋x'＝3 m＋80 m＝83 m，B正确；由动能定理可计算出B到C过程合外力做功W＝m－m ，解得W＝32 J＝WG＋Wf，其中重力做正功WG＞mgx'sin 37°＝10×80×0.6 J＝480 J，所以克服摩擦力做功即产热大于32 J，D错误。
2.【动能定理与a-t图像的综合】
用传感器研究质量为2 kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6 s内物体的加速度随时间变化的关系如图所示。下列说法正确的是（　　）
A.0～6 s内物体先向正方向运动，后向负方向运动
B.0～6 s内物体在4 s时的速度最大
C.物体在2～4 s内速度不变
D.0～4 s内合外力对物体做的功等于0～6 s内合外力对物体做的功
解析：D　a-t图线与坐标轴围成的“面积”等于速度的变化量，由题给图像可知，0～6 s内速度变化量为正，物体速度方向不变，物体在0～5 s内一直加速，5 s时速度最大，A、B错误；2～4 s内物体的加速度不变，做匀加速直线运动，C错误；由题图可知，t＝4 s时和t＝6 s时物体速度大小相等，由动能定理可知，物体在0～4 s内和0～6 s内动能变化量相等，合外力对物体做功也相等，D正确。
6 / 6第30课时　动能和动能定理　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　　
　人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点。已知货物质量为20 kg，h＝4 m，vQ＝6 m/s，重力加速度g取10 m/s2，判断下列说法正误：
（1）货物的动能越来越大。（　　）
（2）货物下滑过程中只有重力做功。（　　）
（3）货物下滑过程中，重力做的功大于克服摩擦阻力所做的功。（　　）
（4）货物下滑过程，重力以外的其他力做功为－440 J。（　　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　动能定理的理解　[素养自修类]
　　
1.【动能定理的理解】
（多选）下列说法正确的有（　　）
A.若运动物体所受的合外力为零，则物体的动能一定保持不变
B.若运动物体所受的合外力不为零，则物体的动能一定发生变化
C.若运动物体的动能保持不变，则该物体所受合外力一定为零
D.若运动物体的动能发生变化，则该物体所受合外力一定不为零
2.【动能定理的表达式】
（多选）如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增大到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法正确的是（　　）
A.对物体，动能定理的表达式为W＝m－m，其中W为支持力做的功
B.对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功
C.对物体，动能定理的表达式为W－mgH＝m－m，其中W为支持力做的功
D.对电梯，其所受的合力做功为M－M
1.动能和动能变化的区别
（1）动能与动能的变化是两个不同的概念，动能是状态量，动能的变化是过程量。
（2）动能没有负值，而动能变化量有正负之分。ΔEk＞0表示物体的动能增加，ΔEk＜0表示物体的动能减少。
2.对动能定理的理解
（1）做功的过程就是能量转化的过程。
（2）动能定理叙述中所说的“力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力。
考点二　动能定理的应用　[互动共研类]
　　
1.应用流程
2.注意事项
（1）动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。
（2）应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系。
（3）当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理。
（4）列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验。
如图所示，粗糙水平地面AB与半径R＝0.4 m的光滑半圆轨道BCD相连接，且在同一竖直平面内， O是BCD的圆心，BOD在同一竖直线上。质量m＝1 kg的小物块在9 N的水平恒力F的作用下，从A点由静止开始做匀加速直线运动。已知xAB＝5 m，小物块与水平地面间的动摩擦因数为μ＝0.1，当小物块运动到B点时撤去力F，取重力加速度g＝10 m/s2，求：
（1）小物块到达B点时速度的大小；
（2）小物块运动到D点时，轨道对小物块作用力的大小。
尝试解题
1.【动能定理的简单应用】
（2025·云南高考2题）
如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近（　　）
A.4×105 J B.4×104 J
C.4×103 J D.4×102 J
2.【应用动能定理求解变力做功】
（2025·福建高考15题）如图甲，水平地面上有并排放置的A、B两个物块，两物块质量均为0.2 kg，A与地面间动摩擦因数为μ＝0.25，B与地面间无摩擦，两物块在外力F的作用下向右前进，F随位移x的变化图像如图乙所示，P为圆弧轨道最低点，M为圆弧轨道最高点，圆弧轨道与水平地面平滑连接，初始时水平地面上A、B与P点间的长度大于4 m。求：
（1）0～1 m内F做的功；
（2）x＝1 m时，A与B之间的弹力大小；
（3）要保证B能到达M点，圆弧半径满足的条件。
考点三　动能定理与图像结合的问题　[互动共研类]
　　
1.常与动能定理相结合的五类图像
2.动能定理与图像综合问题的求解步骤
如图甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB的A处连接一粗糙水平面OA，OA长为 4 m。有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F的作用。力F只在水平面上按图乙所示的规律变化。滑块与OA间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，试求：
（1）滑块运动到A处的速度大小；
（2）不计滑块在A处的速率变化，滑块在斜面AB上运动的长度是多少。
思路点拨
（1）力F只作用在OA段，AB段斜面光滑。
（2）F-x图线与x轴所围面积表示力F对滑块做的功。
尝试解题
1.【动能定理与v2-x图像的综合】
（多选）（2025·温州模拟）如图甲所示，某质量为1 kg的滑块从斜面上A点由静止开始下滑，其v2-t图像如图乙所示。其中斜面上AB段光滑，BC段粗糙且动摩擦因数与位置有关，地面CD段光滑，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。判断以下说法正确的是（　　）
A.斜面倾角为37°
B.该斜面的总长度大于83 m
C.BC段上离B越远的位置，动摩擦因数越大
D.由动能定理可计算出B到C过程摩擦产生的热量为32 J
2.【动能定理与a-t图像的综合】
用传感器研究质量为2 kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6 s内物体的加速度随时间变化的关系如图所示。下列说法正确的是（　　）
A.0～6 s内物体先向正方向运动，后向负方向运动
B.0～6 s内物体在4 s时的速度最大
C.物体在2～4 s内速度不变
D.0～4 s内合外力对物体做的功等于0～6 s内合外力对物体做的功

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