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第32课时　机械能守恒定律　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　（粤教版必修第二册第104页“资料活页”）地铁线路节能设计——优化线路节能坡。对于地铁的运动，判断下列说法正误（分析问题时，忽略摩擦和空气阻力）：
（1）列车关闭发动机上坡进站过程中，动能转化为重力势能。（　√　）
（2）列车关闭发动机，从上坡开始直到完全进站过程中，机械能增加mgh。（　×　）
（3）若列车刚要上坡时的初速度为v0，列车质量为m，则列车的机械能一定为m。（　×　）
（4）列车的机械能大小与零势能参考平面的选取有关。（　√　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　机械能守恒的判断　[素养自修类] 　　
1.【单个物体机械能守恒的判断】
在下列实例中，若空气阻力忽略不计，机械能守恒的是（　　）
A.手提石块匀速上升过程
B.电梯加速上升的过程
C.抛出的铅球在空中运动的过程
D.木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程
解析：C　手提石块匀速上升过程外力做正功，其机械能增加；电梯加速上升过程中电梯的动能和重力势能均增加，机械能增大；木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程中，动能不变，重力势能减少，机械能减少；抛出的铅球只受重力作用，其机械能守恒。所以C正确。
2.【多个物体机械能守恒的判断】
（多选）如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁（不与槽粘连）。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是（　　）
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
解析：BC　当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统只有重力做功，则该系统机械能守恒，C正确。
1.对机械能守恒条件的理解
（1）只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
（3）除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是系统的机械能守恒。
2.机械能是否守恒的三种判断方法
定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒
做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
考点二　机械能守恒定律的应用　[互动共研类] 　　
1.机械能守恒定律的三种表达式
守恒观点 E1＝E2 要选零势能参考平面
转化观点 ΔEk＝－ΔEp 不用选零势能参考平面
转移观点 ΔEA＝－ΔEB
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
（2025·黑吉辽蒙高考13题）如图，一雪块从倾角θ＝37°的屋顶上的O点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离x＝2.5 m，A点距地面的高度h＝1.95 m，雪块与屋顶的动摩擦因数μ＝0.125。不计空气阻力，雪块质量不变，取sin 37°＝0.6，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
（1）雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0；
（2）雪块落地时的速度大小v1，及其速度方向与水平方向的夹角α。
答案：（1）5 m/s　（2）8 m/s　60°
解析：（1）雪块从屋顶上的O点由静止开始下滑到A点的过程中，由动能定理有
mgxsin θ－μmgcos θ·x＝m－0
解得v0＝5 m/s。
（2）雪块从A点到落地的过程中，由机械能守恒定律有
mgh＋m＝m－m
解得v1＝8 m/s
雪块离开A点的水平速度大小为
vx＝v0cos θ
则雪块落地时的速度方向与水平方向的夹角满足
cos α＝
解得α＝60°。
1.【单物体的机械能守恒】如图所示，从a点以初速度v0＝6 m/s水平抛出一质量m＝0.5 kg的小球（视为质点），小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，经过最低点c，最后从d点飞出圆弧轨道。已知圆弧轨道半径R＝1.2 m，bc段圆弧所对的圆心角α＝60°，O为圆心，Od为水平半径，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。则下列分析错误的是（　　）
A.a、b两点间的高度差为5.4 m
B.小球在c点时对圆弧轨道的压力大小为70 N
C.小球在d点时对圆弧轨道的压力大小为55 N
D.小球从d点离开后还能上升的高度为4.8 m
解析：D　小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，则有＝tan 60°，＝2gh，解得h＝5.4 m，故A正确，不符合题意；规定c点为零势能面，根据机械能守恒定律可得mgh＋mg（1－cos 60°）R＋m＝m，在c点由牛顿第二定律得FN－mg＝m，解得FN＝70 N，根据牛顿第三定律知小球对圆弧轨道的压力FN'＝70 N，故B正确，不符合题意；由牛顿第二定律和机械能守恒定律得Fd＝m，m＋mgR＝m，解得Fd＝55 N，根据牛顿第三定律知小球对圆弧轨道的压力Fd'＝55 N，故C正确，不符合题意；由公式可得＝2gh1，解得h1＝6.6 m，故D错误，符合题意。
2.【非质点类物体的机械能守恒】
一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图（a）所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条左端和右端，如图（b）、图（c）所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度va、vb、vc的大小关系，下列判断中正确的是（　　）
A.va＝vb＝vc B.va＜vb＜vc
C.vc＞va＞vb D.vb＞vc＞va
解析：C　图（a）中根据机械能守恒定律有mg＝m，解得va＝，图（b）中根据机械能守恒定律有mg＝×2m，解得vb＝，图（c）中根据机械能守恒定律有mg＋mg·＝×2m，解得vc＝，则有vc＞va＞vb，故选C。
考点三　多物体系统的机械能守恒　[多维探究类] 　　
考法一　轻绳连接的物体系统
常见 图例
解题 关键 （1）明确两物体的速度大小相等、还是沿绳方向的分速度大小相等。 （2）用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。 （3）对于单个物体，一般绳上的力会做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒
（多选）如图所示，竖直固定的光滑细杆上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为m的物块A相连，用手将物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为θ，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做往复运动，小球最高能到达M点。已知定滑轮到细杆的距离为d，Q点和定滑轮的高度相同，OM⊥OP，sin θ＝0.6，重力加速度大小为g，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是（　　）
A.当小球经过Q点时，A物块的加速度为零
B.小球的质量为
C.小球经过Q点时的加速度大小为g
D.A和B组成的系统机械能不守恒
答案：BC
解析：小球从P到Q，物块A从静止运动到最低点，此时速度为零，所以物块A先加速后减速，物块A受到的拉力先小于重力后大于重力，当小球经过Q点时，A物块处于最低点，此时A物块的加速度不为零，故A错误；小球经过Q点时水平方向受力平衡，在竖直方向仅受到重力作用，则加速度大小为g，故C正确；A和B组成的系统，整个系统只有重力做功，所以系统机械能守恒，则有mBg＝mg，解得mB＝，故B正确，D错误。
考法二　轻杆连接的物体系统
常见 图例
解题 关键 （1）平动时两物体的线速度相等，转动时两物体的角速度相等。 （2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （3）对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒
一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则（　　）
A.A球的最大速度为2
B.A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C.OA杆第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为
D.A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
答案：B
解析：根据题意知无论何时两球的角速度均相同，线速度大小之比均为vA∶vB＝（ω·2l）∶（ω·l）＝2∶1，D错误；对于A、B两球组成的系统，由机械能守恒定律可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，B正确；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒定律得mg·2lcos θ－2mg·l（1－sin θ）＝m＋×2m，解得 ＝gl（sin θ＋cos θ）－gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为vA＝，A、C错误。　　
考法三　轻弹簧连接的物体系统
题型 特点 轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
解题 关键 （1）对同一弹簧，其弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。 （2）物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关
（多选）如图，倾角为θ＝30°的光滑斜面固定在水平桌面上，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的挡板C相连，另一端与物体A相连。A上端连接一轻质细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连，滑轮左侧细线始终与斜面平行。开始时托住B，A静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，B始终未与地面接触。从释放B到B第一次下落至最低点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.刚释放物体B时，物体A受到细线的拉力大小为
B.物体B下落至最低点时，A和弹簧组成的系统机械能最大
C.物体A的速度最大时弹簧的形变量为
D.物体A的最大速度为
答案：ABD
解析：设释放B前弹簧的压缩量为x0，对A有kx0＝mgsin θ＝mg，刚释放B瞬间，对A、B组成的系统有mg＋kx0－mgsin θ＝2ma，解得a＝g，此时对B有mg－FT＝ma，解得FT＝mg，故A正确；对于A和弹簧组成的系统，细线拉力对A做的功等于该系统机械能的改变量，从被释放到B下落至最低点，细线拉力对A做的正功最多，所以此时A和弹簧组成系统的机械能最大，故B正确；由前面方程可解得x0＝，A上升过程中，当A和B整体的加速度为0时速度达到最大值vm，设此时弹簧的拉伸量为x，对A、B整体有mg－kx－mgsin θ＝0，解得x＝＝x0，所以此时弹簧的弹性势能与初始位置时相同，对A、B和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律有mg（x0＋x）－mg（x0＋x）sin θ＝×2m，解得vm＝，故C错误，D正确。
6 / 6第32课时　机械能守恒定律　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　（粤教版必修第二册第104页“资料活页”）地铁线路节能设计——优化线路节能坡。对于地铁的运动，判断下列说法正误（分析问题时，忽略摩擦和空气阻力）：
（1）列车关闭发动机上坡进站过程中，动能转化为重力势能。（　　）
（2）列车关闭发动机，从上坡开始直到完全进站过程中，机械能增加mgh。（　　）
（3）若列车刚要上坡时的初速度为v0，列车质量为m，则列车的机械能一定为m。（　　）
（4）列车的机械能大小与零势能参考平面的选取有关。（　　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　机械能守恒的判断　[素养自修类]
　　
1.【单个物体机械能守恒的判断】
在下列实例中，若空气阻力忽略不计，机械能守恒的是（　　）
A.手提石块匀速上升过程
B.电梯加速上升的过程
C.抛出的铅球在空中运动的过程
D.木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程
2.【多个物体机械能守恒的判断】
（多选）如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁（不与槽粘连）。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是（　　）
A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒
D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
1.对机械能守恒条件的理解
（1）只受重力作用，例如做平抛运动的物体机械能守恒。
（2）除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零。
（3）除重力外，只有系统内的弹力做功，那么系统的机械能守恒。注意：并非系统内某个物体的机械能守恒，而是系统的机械能守恒。
2.机械能是否守恒的三种判断方法
定义法 利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否变化，若不变，则机械能守恒
做功法 若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒
转化法 若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
考点二　机械能守恒定律的应用　[互动共研类]
　　
1.机械能守恒定律的三种表达式
守恒观点 E1＝E2 要选零势能参考平面
转化观点 ΔEk＝－ΔEp 不用选零势能参考平面
转移观点 ΔEA＝－ΔEB
2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
（2025·黑吉辽蒙高考13题）如图，一雪块从倾角θ＝37°的屋顶上
的O点由静止开始下滑，滑到A点后离开屋顶。O、A间距离x＝2.5 m，A点距地面的高度h＝1.95 m，雪块与屋顶的动摩擦因数μ＝0.125。不计空气阻力，雪块质量不变，取sin 37°＝0.6，重力加速度大小g＝10 m/s2。求：
（1）雪块从A点离开屋顶时的速度大小v0；
（2）雪块落地时的速度大小v1，及其速度方向与水平方向的夹角α。
尝试解题
1.【单物体的机械能守恒】
如图所示，从a点以初速度v0＝6 m/s水平抛出一质量m＝0.5 kg的小球（视为质点），小球恰好从竖直放置的光滑圆弧轨道的b点沿切线进入圆弧轨道，经过最低点c，最后从d点飞出圆弧轨道。已知圆弧轨道半径R＝1.2 m，bc段圆弧所对的圆心角α＝60°，O为圆心，Od为水平半径，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。则下列分析错误的是（　　）
A.a、b两点间的高度差为5.4 m
B.小球在c点时对圆弧轨道的压力大小为70 N
C.小球在d点时对圆弧轨道的压力大小为55 N
D.小球从d点离开后还能上升的高度为4.8 m
2.【非质点类物体的机械能守恒】
一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图（a）所示。若将一个质量为m的小球分别拴在链条左端和右端，如图（b）、图（c）所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度va、vb、vc的大小关系，下列判断中正确的是（　　）
A.va＝vb＝vc B.va＜vb＜vc
C.vc＞va＞vb D.vb＞vc＞va
考点三　多物体系统的机械能守恒　[多维探究类]
　　
考法一　轻绳连接的物体系统
常见 图例 　
解题 关键 （1）明确两物体的速度大小相等、还是沿绳方向的分速度大小相等。 （2）用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。 （3）对于单个物体，一般绳上的力会做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒
（多选）如图所示，竖直固定的光滑细杆上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为m的物块A相连，用手将物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为θ，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做往复运动，小球最高能到达M点。已知定滑轮到细杆的距离为d，Q点和定滑轮的高度相同，OM⊥OP，sin θ＝0.6，重力加速度大小为g，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是（　　）
A.当小球经过Q点时，A物块的加速度为零
B.小球的质量为
C.小球经过Q点时的加速度大小为g
D.A和B组成的系统机械能不守恒
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考法二　轻杆连接的物体系统
常见 图例
解题 关键 （1）平动时两物体的线速度相等，转动时两物体的角速度相等。 （2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （3）对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒
一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则（　　）
A.A球的最大速度为2
B.A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小
C.OA杆第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度大小为
D.A、B两球的最大速度之比vA∶vB＝3∶1
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考法三　轻弹簧连接的物体系统
题型 特点 轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
解题 关键 （1）对同一弹簧，其弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。 （2）物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关
（多选）如图，倾角为θ＝30°的光滑斜面固定在水平桌面上，轻质弹簧一端与垂直固定在斜面上的挡板C相连，另一端与物体A相连。A上端连接一轻质细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连，滑轮左侧细线始终与斜面平行。开始时托住B，A静止且细线恰好伸直，然后由静止释放B。已知物体A、B的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，B始终未与地面接触。从释放B到B第一次下落至最低点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.刚释放物体B时，物体A受到细线的拉力大小为
B.物体B下落至最低点时，A和弹簧组成的系统机械能最大
C.物体A的速度最大时弹簧的形变量为
D.物体A的最大速度为
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