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第35课时　动量定理　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　
人教版教材选择性必修第一册P30第3题，描述了一个鸡蛋从不同楼层抛下时对人的伤害问题。判断下列说法正误：
（1）鸡蛋落地时动量越大，惯性也越大。（　　）
（2）鸡蛋动量变化量的方向竖直向下。（　　）
（3）鸡蛋所受合力的冲量方向与其动量变化的方向是一致的。（　　）
（4）鸡蛋被抛时楼层越高，砸在人头上时对人头骨的冲力越大。（　　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　动量和冲量　[素养自修类]
　　
1.【动量及动量变化量】
（多选）如图，水平飞向球棒的垒球被击打后，动量变化量为12.6 kg·m/s，则（　　）
A.球的动能可能不变
B.球的动量大小一定增加12.6 kg·m/s　
C.球对棒的作用力与棒对球的作用力大小一定相等
D.球受到棒的冲量方向可能与球被击打前的速度方向相同
2.【恒力冲量的计算】
（2025·天津高考3题）一种名为“飞椅”的游乐设施如图所示，该设施中钢绳一端系着座椅，另一端系在悬臂边缘。绕竖直轴转动的悬臂带动座椅在水平面内做匀速圆周运动，座椅可视为质点，则某座椅运动一周的过程中（　　）
A.动量保持不变
B.所受合外力做功为零
C.所受重力的冲量为零
D.始终处于受力平衡状态
3.【利用F-t图像求变力的冲量】
一物块静止在粗糙水平地面上，0～4 s内所受水平拉力随时间的变化关系图像如图甲所示，0～2 s内速度随时间的变化关系图像如图乙所示。重力加速度g＝10 m/s2，关于物块的运动，下列说法正确的是（　　）
A.第4 s末物块的速度为0
B.前4 s内物块的位移大小为6 m
C.前4 s内拉力的冲量为0
D.物块与水平地面间的动摩擦因数为0.4
1.动能、动量、动量变化量的比较
动能 动量 动量变化量
定义 物体由于运动而具有的能量 物体的质量和速度的乘积 物体末动量与初动量的矢量差
定义式 Ek＝mv2 p＝mv Δp＝p'－p
续表
动能 动量 动量变化量
标矢性 标量 矢量 矢量
特点 状态量 状态量 过程量
关联 方程 Ek＝，Ek＝pv，p＝，p＝
2.冲量的计算
（1）恒力的冲量：直接用定义式I＝Ft计算。
（2）变力的冲量
①平均力法：若力的大小随时间均匀变化，即力与时间是一次函数关系，则力F在某段时间t内的冲量 I＝t，其中F1、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。
②F-t图像法：在F-t图像中，图线与t轴所围的“面积”即为变力的冲量。如图所示。
③动量定理法：对于已知始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解，即通过求动量变化量间接求出冲量。
考点二　动量定理的理解和应用　[互动共研类]
　　
1.对动量定理Ft＝p'－p的理解
（1）Ft＝p'－p是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同。
（2）Ft＝p'－p除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合力的冲量是动量变化的原因。
（3）动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和。
（4）由Ft＝p'－p，得F＝＝，即物体所受的合力等于物体的动量对时间的变化率。
2.用动量定理解释两种现象
（1）Δp一定时，F的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。
（2）F一定，此时力的作用时间越长，Δp就越大；力的作用时间越短，Δp就越小。
分析问题时，要看好哪个量不变，哪个量变化。
3.动量定理的两个重要应用
（1）应用I＝Δp求变力的冲量。
（2）应用Δp＝FΔt求动量的变化量。
（2025·浙江6月选考9题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到500 N的冲击力，就会有生命危险。设有一质量为50 g的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、下沿距离为5 cm，要产生500 N的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（g取10 m/s2）（　　）
A.5层 B.8层
C.17层 D.27层
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.【用动量定理进行定性分析】
（多选）
运输快递时，我们经常看到，有些易损坏物品外面都会利用充气袋进行包裹，这种做法的好处是（　　）
A.可以大幅度减小某颠簸过程中物品所受合力的冲量
B.可以大幅度减小某颠簸过程中物品动量的变化
C.可以使某颠簸过程中物品动量变化的时间延长
D.可以使某颠簸过程中物品动量对时间的变化率减小
2.【应用动量定理计算平均冲力】
（2025·嘉兴一模）在地面上一小球以初速度3 m/s竖直上抛，落地速度为2.6 m/s。若小球运动过程中受到的空气阻力与速率成正比，则小球在空中运动的时间为（重力加速度g取10 m/s2）（　　）
A.0.60 s　 B.0.56 s
C.0.52 s　 D.0.50 s
3.【应用动量定理分析含变力冲量】
（多选）（2025·杭州模拟）如图所示，质量为60 kg的蹦床运动员，从离水平网面3.2 m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0 m高处。已知运动员与网接触的时间为0.8 s，不计空气阻力，则运动员（重力加速度g取10 m/s2）（　　）
A.自由下落的时间是0.32 s
B.触网时屈腿有助于减小网的冲击力
C.触网前与离网后的机械能相等
D.受到网的平均作用力大小为1 950 N
考点三　应用动量定理处理流体模型　[多维探究类]
　　
考法一　流体类“柱状模型”
流体及 其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ
分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S
2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt
3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体
（2025·杭州一模）某水流造景设施的截面如图所示，水平喷水口P横截面积为S、喷水的流速恒定为v，从P喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为30°的斜面AC上的B处，速度瞬间变为零，之后沿斜面流下。已知水的密度为ρ，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　）
A.水流单位时间撞到B处的体积Q＝2Sv
B.水流在B处的速度vB＝
C.水流对B处的冲击力F＝ρSv2
D.空中水的质量m＝
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法二　微粒类“柱状模型”
微粒及 其特点 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n
分 析 步 骤 1 建立“柱状”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S
2 微元研究，极短作用时间Δt内一段柱形流体的长度为Δl＝v0Δt，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt（n为单位体积内的粒子数）
3 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算
航天器离子发动机原理如图所示，首先电子枪发射出的高速电子将中性推进剂离子化（即电离出正离子），正离子被正、负极栅板间的电场加速后从喷口喷出，从而使飞船获得推进或姿态调整的反冲动力。已知单个正离子的质量为m，电荷量为q，正、负极栅板间加速电压为U，从喷口喷出的正离子所形成的电流为I，忽略离子间的相互作用力，忽略离子喷射对卫星质量的影响，该发动机产生的平均推力F的大小为（　　）
A.F＝I B.F＝I
C.F＝I D.F＝2I
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第七章 动量
第35课时　动量定理　[双基落实课]
　立足“四层”·夯基础
人教版教材选择性必修第一册P30第3题，描述了一个鸡蛋从不同楼层抛下时对人的伤害问题。判断下列说法正误：
（1）鸡蛋落地时动量越大，惯性也越大。（　×　）
（2）鸡蛋动量变化量的方向竖直向下。（　×　）
（3）鸡蛋所受合力的冲量方向与其动量变化的方向是一致的。（　√　）
（4）鸡蛋被抛时楼层越高，砸在人头上时对人头骨的冲力越大。（　√　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　动量和冲量　[素养自修类] 　
1.【动量及动量变化量】
（多选）如图，水平飞向球棒的垒球被击打后，动量变化量为12.6 kg·m/s，则（　　）
A.球的动能可能不变
B.球的动量大小一定增加12.6 kg·m/s　
C.球对棒的作用力与棒对球的作用力大小一定相等
D.球受到棒的冲量方向可能与球被击打前的速度方向相同
解析：AC　垒球被击打后，可能以与被击打前等大的速率反向运动，所以球的动能可能不变，动量大小不变，A正确，B错误；由牛顿第三定律可知，球对棒的作用力与棒对球的作用力是相互作用力，它们大小相等，C正确；球受到棒的冲量方向是棒对球弹力的方向，与球被击打前的速度方向相反，D错误。
2.【恒力冲量的计算】（2025·天津高考3题）一种名为“飞椅”的游乐设施如图所示，该设施中钢绳一端系着座椅，另一端系在悬臂边缘。绕竖直轴转动的悬臂带动座椅在水平面内做匀速圆周运动，座椅可视为质点，则某座椅运动一周的过程中（　　）
A.动量保持不变
B.所受合外力做功为零
C.所受重力的冲量为零
D.始终处于受力平衡状态
解析：B　动量方向与速度方向一致，座椅做圆周运动时，速度方向时时刻刻在改变，则动量也在变化，A错误；座椅做圆周运动时，合外力提供向心力，方向与速度方向时刻垂直，则合外力不做功，B正确；根据重力冲量表达式I＝mgt，mg与t均不为零，则重力的冲量不为零，C错误；座椅做圆周运动时，合外力提供向心力，速度方向时刻在改变，则物体并非处于受力平衡状态，D错误。
3.【利用F-t图像求变力的冲量】一物块静止在粗糙水平地面上，0～4 s内所受水平拉力随时间的变化关系图像如图甲所示，0～2 s内速度随时间的变化关系图像如图乙所示。重力加速度g＝10 m/s2，关于物块的运动，下列说法正确的是（　　）
A.第4 s末物块的速度为0
B.前4 s内物块的位移大小为6 m
C.前4 s内拉力的冲量为0
D.物块与水平地面间的动摩擦因数为0.4
解析：A　由题图乙可知，第2 s内物块匀速运动，则由题图甲可知摩擦力Ff＝F＝2 N。速度—时间图像的斜率表示加速度，则第1 s内物块的加速度 a1＝ m/s2＝4 m/s2，第1 s内F＝6 N，根据牛顿第二定律有F－Ff＝ma1，代入数据解得m＝1 kg，又Ff＝μmg＝2 N，解得μ＝0.2，故D错误；由题图甲可知，第3 s内物块减速运动，F的大小为2 N，方向反向，根据牛顿第二定律有F＋Ff＝ma2，解得a2＝4 m/s2，则减速到零的时间为t0＝＝ s＝1 s，可知第3 s末物块速度为0，第4 s内拉力与摩擦力相等，物块静止，故A正确；速度—时间图像与横轴围成的面积表示位移，则前4 s内的位移为×1×4 m＋4×1 m＋×1×4 m＋0＝8 m，故B错误；前4 s内拉力的冲量为F-t图像与横轴所围面积，则有IF＝6×1 N·s＋2×1 N·s－2×2 N·s＝4 N·s，故C错误。
1.动能、动量、动量变化量的比较
动能 动量 动量变化量
定义 物体由于运动而具有的能量 物体的质量和速度的乘积 物体末动量与初动量的矢量差
定义式 Ek＝mv2 p＝mv Δp＝p'－p
标矢性 标量 矢量 矢量
特点 状态量 状态量 过程量
关联 方程 Ek＝，Ek＝pv，p＝，p＝
2.冲量的计算
（1）恒力的冲量：直接用定义式I＝Ft计算。
（2）变力的冲量
①平均力法：若力的大小随时间均匀变化，即力与时间是一次函数关系，则力F在某段时间t内的冲量 I＝t，其中F1、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。
②F-t图像法：在F-t图像中，图线与t轴所围的“面积”即为变力的冲量。如图所示。
③动量定理法：对于已知始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解，即通过求动量变化量间接求出冲量。
考点二　动量定理的理解和应用　[互动共研类]
1.对动量定理Ft＝p'－p的理解
（1）Ft＝p'－p是矢量式，两边不仅大小相等，而且方向相同。
（2）Ft＝p'－p除表明两边大小、方向的关系外，还说明了两边的因果关系，即合力的冲量是动量变化的原因。
（3）动量定理中的冲量是合力的冲量，而不是某一个力的冲量，它可以是合力的冲量，可以是各力冲量的矢量和，也可以是外力在不同阶段冲量的矢量和。
（4）由Ft＝p'－p，得F＝＝，即物体所受的合力等于物体的动量对时间的变化率。
2.用动量定理解释两种现象
（1）Δp一定时，F的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。
（2）F一定，此时力的作用时间越长，Δp就越大；力的作用时间越短，Δp就越小。
分析问题时，要看好哪个量不变，哪个量变化。
3.动量定理的两个重要应用
（1）应用I＝Δp求变力的冲量。
（2）应用Δp＝FΔt求动量的变化量。
（2025·浙江6月选考9题）高空抛物伤人事件时有发生，成年人头部受到500 N的冲击力，就会有生命危险。设有一质量为50 g的鸡蛋从高楼坠落，以鸡蛋上、下沿接触地面的时间差作为其撞击地面的时间，上、下沿距离为5 cm，要产生500 N的冲击力，估算鸡蛋坠落的楼层为（g取10 m/s2）（　　）
A.5层 B.8层
C.17层 D.27层
答案：C
解析：根据自由落体运动公式v2＝2gh，根据运动学公式s＝Δt＝·Δt，取竖直向下为正方向，不考虑鸡蛋自身重力，根据动量定理－F·Δt＝0－mv，联立解得h＝50 m，相邻楼层的高度差约为3 m，因此鸡蛋坠落的楼层为n＝（层）≈17（层），A、B、D错误，C正确。
1.【用动量定理进行定性分析】
（多选）运输快递时，我们经常看到，有些易损坏物品外面都会利用充气袋进行包裹，这种做法的好处是（　　）
A.可以大幅度减小某颠簸过程中物品所受合力的冲量
B.可以大幅度减小某颠簸过程中物品动量的变化
C.可以使某颠簸过程中物品动量变化的时间延长
D.可以使某颠簸过程中物品动量对时间的变化率减小
解析：CD　充气袋在运输中起到缓冲作用，在某颠簸过程中，物体的动量变化量一定，由动量定理可知，充气袋可以延长相互作用的时间，从而减小物体所受的合力，但不能改变合力的冲量，A、B错误，C正确；动量对时间的变化率即为物体所受的合力，D正确。
2.【应用动量定理计算平均冲力】
（2025·嘉兴一模）在地面上一小球以初速度3 m/s竖直上抛，落地速度为2.6 m/s。若小球运动过程中受到的空气阻力与速率成正比，则小球在空中运动的时间为（重力加速度g取10 m/s2）（　　）
A.0.60 s　 B.0.56 s
C.0.52 s　 D.0.50 s
解析：B　由题意，取竖直向下为正方向，对小球利用动量定理有mgt－∑kv·Δt＝mv2－m（－v1），由于∑kv·Δt＝∑kΔs＝0，可得t＝＝ s＝0.56 s，B正确，A、C、D错误。
3.【应用动量定理分析含变力冲量】
（多选）（2025·杭州模拟）如图所示，质量为60 kg的蹦床运动员，从离水平网面3.2 m高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平网面5.0 m高处。已知运动员与网接触的时间为0.8 s，不计空气阻力，则运动员（重力加速度g取10 m/s2）（　　）
A.自由下落的时间是0.32 s
B.触网时屈腿有助于减小网的冲击力
C.触网前与离网后的机械能相等
D.受到网的平均作用力大小为1 950 N
解析：BD　由自由落体的运动学特点，可知自由下落的时间满足h1＝g，解得t1＝0.8 s，A错误。由机械能守恒，可知运动员触网前的机械能为E1＝mgh1，离网后的机械能为E2＝mgh2，满足E1＜E2，C错误。由自由落体与竖直上抛运动的对称性，可得运动员上升过程的时间满足h2＝g，解得t2＝1 s；由动量定理，以竖直向下为正，从运动员开始下落，到最终上升到最高点，可知mg（t1＋t2＋Δt）－Δt＝0－0，解得运动员受到网的平均作用力大小＝1 950 N，D正确。触网时屈腿，可知运动员与水平网的接触时间Δt变长，结合动量定理，可知作用力变小，B正确。
考点三　应用动量定理处理流体模型　[多维探究类]
考法一　流体类“柱状模型”
流体及 其特点 通常液体流、气体流等被广义地视为“流体”，质量具有连续性，通常已知密度ρ
分 析 步 骤 1 建立“柱状模型”，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S
2 微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl，对应的质量为Δm＝ρSvΔt
3 建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体
（2025·杭州一模）某水流造景设施的截面如图所示，水平喷水口P横截面积为S、喷水的流速恒定为v，从P喷出的水柱恰好能垂直撞到倾角为30°的斜面AC上的B处，速度瞬间变为零，之后沿斜面流下。已知水的密度为ρ，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　）
A.水流单位时间撞到B处的体积Q＝2Sv
B.水流在B处的速度vB＝
C.水流对B处的冲击力F＝ρSv2
D.空中水的质量m＝
答案：D
解析：单位时间喷水的体积为V＝SvΔt，水流单位时间撞到B处的体积为Q＝＝Sv，A错误；因水流恰好能垂直撞到倾角为30°的斜面AC上的B处，根据速度的分解与合成有vBsin 30°＝v，解得水流在B处的速度vB＝2v，B错误；由题知，水柱撞到B处速度瞬间变为零，设碰撞时间为Δt，在Δt时间内与斜面发生相互作用的水柱的质量为m＝ρ·QΔt＝ρSvΔt，规定水柱和斜面发生相互作用前的速度方向为正方向，根据动量定理得－F'Δt＝0－mvB，解得斜面对水流的冲击力为F'＝2ρSv2，根据牛顿第三定律可知，水流对B处的冲击力为F＝2ρSv2，C错误；因水流在B处的速度vB＝2v，则此时竖直方向的速度为vy＝vBcos 30°，则水流从P到B处的时间t＝，空中水的质量m＝ρ·Qt，解得m＝，D正确。
考法二　微粒类“柱状模型”
微粒及 其特点 通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n
分 析 步 骤 1 建立“柱状”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S
2 微元研究，极短作用时间Δt内一段柱形流体的长度为Δl＝v0Δt，对应的体积为ΔV＝Sv0Δt，则微元内的粒子数N＝nv0SΔt（n为单位体积内的粒子数）
3 先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算
航天器离子发动机原理如图所示，首先电子枪发射出的高速电子将中性推进剂离子化（即电离出正离子），正离子被正、负极栅板间的电场加速后从喷口喷出，从而使飞船获得推进或姿态调整的反冲动力。已知单个正离子的质量为m，电荷量为q，正、负极栅板间加速电压为U，从喷口喷出的正离子所形成的电流为I，忽略离子间的相互作用力，忽略离子喷射对卫星质量的影响，该发动机产生的平均推力F的大小为（　　）
A.F＝I B.F＝I
C.F＝I D.F＝2I
答案：A
解析：以正离子为研究对象，由动能定理得qU＝mv2，Δt时间内通过的总电荷量Q＝IΔt，喷出离子的总质量M＝m＝m，由动量定理可知正离子所受平均冲量Δt＝Mv，由以上式子可得＝I，根据牛顿第三定律可知，发动机产生的平均推力F＝I，故A正确。
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