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第42课时　用单摆测量重力加速度　[实验增分课]
立足“四层”·夯基础
装置原理 操作要领 数据处理 误差分析
（1）单摆在偏角很小（小于5°）时的摆动，可看成简谐运动，其固有周期T＝2π，可得g＝，通过实验方法测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。 （2）实验器材：带孔小钢球一个、细线一条（约1 m长）、铁架台、米尺、停表、游标卡尺（或三角板）；实验装置图如图所示 （1）制单摆：让线的一端穿过小球上的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。 （2）做标记：把线的上端固定在铁架台的铁夹上，让铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。 （3）测摆长：用米尺量出悬线长l'（准确到mm），用游标卡尺（或米尺和三角板）测出小球的直径d（准确到mm），然后计算出悬点到球心的距离l＝l'＋即为摆长。 （4）测周期：把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（不超过5°），然后放开小球让它摆动，用停表测出单摆完成30次或50次全振动的时间，计算出平均完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的振动周期。 （5）变条件：改变摆长重做几次。 （6）理器材：将实验器材放回原处 （1）公式法：利用T＝求出周期，然后利用公式g＝求重力加速度；通过改变摆长，测得多个重力加速度g1、g2、g3…g6，求得重力加速度的平均值：g＝ 。 （2）图像法 由单摆的周期公式T＝2π 可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的l-T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝＝ （1）系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。悬点是否固定、小球与细线是否符合要求、是单摆运动还是圆锥摆运动等。 （2）偶然误差 ①振动时间t（ 单摆周期T＝）的测量：是否从摆球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、秒表的读数等。 ②长度的测量：测量摆线长、摆球的直径读数时的误差等
　　着眼“四翼”·探考点
教材原型
实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
（1）测出悬点O到小球球心的距离（摆长）l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝　　　　。（用l、n、t表示）
（2）实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的　　　　（多选）。
A.长约1 m的细线
B.长约1 m的橡皮绳
C.直径约1 cm的均匀铁球
D.直径约10 cm的均匀木球
（3）选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图　　　　中所示的固定方式。
（4）实验小组组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示，这样做的目的是　　　　（多选）。
A.保持摆动过程中摆长不变
B.可使周期测量得更加准确
C.需要改变摆长时便于调节
D.保证摆球在同一竖直平面内摆动
（5）同学们组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量得从悬点到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为　　　 mm。
（6）将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是　　　　（多选）。
A.测出摆线长作为单摆的摆长
B.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C.在摆球经过平衡位置时开始计时
D.用停表测量摆球完成一次全振动所用时间并作为单摆的周期
难点助攻
第（2）问中，摆线应选1 m左右且不可伸长的细线，摆球应选密度较大、直径小于2 cm的金属球。
第（3）问中，固定摆线时要保证摆长不能随小球摆动而发生变化。
第（6）问中，测量摆的周期时为减小误差应使用累积法。
易错排查
（1）摆长l等于摆线长L（悬点到摆球的最顶端的距离）与摆球半径之和。
（2）为减小计时误差，计时开始位置应选在平衡位置，应测量30～50次全振动的总时间。
（3）保证单摆在同一竖直平面内摆动，摆角不宜过大。
答案：（1）　（2）AC　（3）乙　（4）AC
（5）12.0　（6）BC
解析：（1）单摆的周期T＝，由单摆周期公式 T＝2π 得重力加速度g＝＝。
（2）为了便于测量周期和减小空气阻力，摆线选择较细且结实、无弹性的细线，故选A；为了减小空气阻力的影响，摆球选择质量大体积小的铁球，故选C。
（3）为了避免运动过程中摆长发生变化，悬点要固定，不能松动，则选题图乙。
（4）这样做的目的是便于调节摆长，把摆线夹得更紧一些，使摆动过程中摆长不变，因此A、C正确。
（5）摆球的直径为d＝12.0 mm。
（6）摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A错误；将停表测量摆球完成一次全振动所用时间作为单摆的周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误。正确的选项为B、C。
即时演练
　（2025·杭州联考）某同学利用单摆测量本地重力加速度，实验装置如图a所示，轻质细线上端悬挂在铁架台上，下端挂有强磁小球，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：
（1）用毫米刻度尺测出细线长度。
（2）如图b所示，用游标卡尺测量摆球直径，摆球直径d＝　　　　 cm。
（3）使单摆做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期。
（4）某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图c所示，从图中可以算出单摆的周期T＝　　　　　　（用“t0”表示）。
（5）改变摆长，重复实验步骤（3）得到多组数据并画出L-T2图像，如图d所示，由图像可得当地重力加速度g＝　　　　 m/s2（保留3位有效数字）。
（6）（多选）以下哪些原因会导致本实验产生误差（　　）
A.空气阻力的影响
B.磁传感器的影响
C.每次实验单摆振幅不同
D.实验过程中更换不同质量的磁性球进行实验
答案：（2）1.85　（4）　（5）9.86　（6）AB
解析：（2）由图示游标卡尺可知，主尺示数是1.8 cm，游标尺示数是5×0.1 mm＝0.5 mm＝0.05 cm，游标卡尺示数即小球的直径d＝1.8 cm＋0.05 cm＝1.85 cm。
（4）从图中可以算出单摆的振动周期T＝。
（5）根据T＝2π，可得L＝T2，则图线斜率为＝＝0.25，解得g＝9.86 m/s2。
（6）小球振动过程中受空气阻力，空气阻力的影响、磁传感器的影响都会使本实验产生误差，故选A、B。
创新拓展
（2025·浙江6月选考15题）在用单摆测重力加速度的实验中，
（1）如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为　　　　 s（结果保留3位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T＝ 　　　　；
（2）丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝ 　　　　，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝ 　　　　；（结果均用k、b表示）
（3）丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64 m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　。
答案：（1）1.31　　（2）4π2k　bk
（3）由于阻力的存在，实际上小球在做阻尼振动，回复力要小于理想情况下的回复力
解析：（1）对于甲同学：小球每经过最低点拉力最大，相邻两次经过最低点时间间隔为半个周期，因此图2中起始值到终止值共有5个周期，则T＝ s≈1.31 s。对于乙同学：小球每经过最低点遮光一次，相邻两次遮光时间间隔为半个周期，因此从第1次遮光到第n次遮光，共有个周期，则T＝＝。
（2）摆长L＝l＋h，根据单摆周期公式T＝2π，整理可得l＝·T2－h，图中斜率k＝，横截距b＝，联立可得g＝4π2k，h＝bk。
（3）小球做类单摆的简谐运动，理想情况下，重力沿圆弧方向的分力提供回复力，有F＝－kx。由于阻力的存在，实际上小球在做阻尼振动，回复力要小于理想情况下的回复力，因此会导致k值小于理想的k值，根据简谐运动周期公式T＝2π，实际周期大于理想情况下单摆的周期，结合单摆周期公式T＝2π，可得g的测量值小于真实值。
即时演练
1.未来中国宇航员登陆月球表面，其任务之一是通过单摆测量出月球表面的重力加速度，从而计算月球的质量，但没有合适的摆球，就从地上找到了一块大小为3 cm左右、外形不规则的小石块代替。目前实验舱中还有以下设备：
刻度尺（量程30 cm）、轻细线（1 m左右无弹性）、秒表和足够高的固定支架。
宇航员设计了如下实验，以完成本次登月的这项任务。
（1）若已测得月球表面的重力加速度为g、月球的半径为R以及万有引力常量G，请写出月球质量的表达式M＝　　　　。
（2）实验步骤如下：
A.如图，用细线将石块系好，将细线的上端固定于O点；
B.将石块拉至一个大约5°的角度，然后由静止释放；
C.从石块摆到　　　　（填“最低点”或“最高点”）开始计时，测出n次全振动的总时间t1；
D.缩短细线长度，重复B、C步骤，得到总时间t2；
（3）若细线缩短的长度为Δl（Δl小于刻度尺量程），请用t1、t2以及Δl写出重力加速度表达式为g＝　　　　　　。
答案：（1）　（2）最低点　（3）
解析：（1）若已测得月球表面的重力加速度为g、月球的半径为R以及万有引力常量G，根据＝mg，可知月球质量的表达式为M＝。
（2）为了减小误差，应从石块摆到最低点开始计时。
（3）设原来细线长度为L，测出n次全振动的总时间t1，则对应周期为T1＝
根据单摆周期公式可得T1＝2π
若细线缩短的长度为Δl，测出n次全振动的总时间t2，则对应周期为T2＝
根据单摆周期公式可得T2＝2π
联立解得重力加速度表达式为g＝。
2.某同学做“用单摆测重力加速度”的实验，实验装置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数。
（1）下列说法中正确的是　　　　（单选）。
A.测出摆球做一次全振动的时间作为周期的测量值
B.质量相同的铁球和软木球，应选用铁球作为摆球
C.可将摆球从平衡位置拉开一个任意角度然后释放摆球
D.可以选择有弹性的细绳作为摆线
（2）在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则摆球直径d＝　　　　 cm；
（3）将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次（为大于3的奇数）通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝　　　　（用t、n表示），重力加速度的大小为　　　　　（用L、d和T表示）；
（4）实验中该同学测得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是　　　　（多选）。
A.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
B.计算时用L＋d作为单摆的摆长
C.摆球的振幅偏小
D.把n当作单摆全振动的次数
答案：（1）B　（2）1.07　（3）　　（4）BD
解析：（1）为了减小实验误差应测量多次全振动的时间，再求出一次全振动的时间作为周期的测量值，故A错误；为减小实验误差，提高测量精度，相同质量下应选择体积小的铁球作为摆球，故B正确；单摆在摆角小于5°时的振动才是简谐运动，因此单摆的摆角不能过大，故C错误；根据单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的周期跟摆线与摆球半径之和有关，若使用弹性绳，在摆球下降或是上升的过程中，式中的l会不断发生变化，从而导致重力加速度测量不准确，故D错误。
（2）该游标卡尺的游标尺为10分度值，因此最小精度为0.1 mm，则读数为d＝10 mm＋0.1×7 mm＝10.7 mm＝1.07 cm。
（3）由题意可知在时间t内摆球全振动的次数为，则可得小球做简谐运动的周期为T＝＝，由单摆的周期公式T＝2π，其中l＝L＋，可得g＝。
（4）摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则实际所测摆线长度偏小，所测重力加速度将偏小，故A不符合题意；若计算重力加速度时用L＋d作为单摆的摆长，则摆长比实际偏大，因此计算得到的重力加速度值比实际偏大，故B符合题意；摆球的振幅偏小不影响重力加速度的测量，故C不符合题意；若把n当作单摆全振动的次数，则会导致测量周期偏小，从而导致所测重力加速度偏大，故D符合题意。
　　
7 / 7第42课时　用单摆测量重力加速度　[实验增分课]
立足“四层”·夯基础
装置原理 操作要领 数据处理 误差分析
（1）单摆在偏角很小（小于5°）时的摆动，可看成简谐运动，其固有周期T＝2π，可得g＝，通过实验方法测出摆长l和周期T，即可计算得到当地的重力加速度。 （2）实验器材：带孔小钢球一个、细线一条（约1 m长）、铁架台、米尺、停表、游标卡尺（或三角板）；实验装置图如图所示 （1）制单摆：让线的一端穿过小球上的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆。 （2）做标记：把线的上端固定在铁架台的铁夹上，让铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。 （3）测摆长：用米尺量出悬线长l'（准确到mm），用游标卡尺（或米尺和三角板）测出小球的直径d（准确到mm），然后计算出悬点到球心的距离l＝l'＋即为摆长。 （4）测周期：把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（不超过5°），然后放开小球让它摆动，用停表测出单摆完成30次或50次全振动的时间，计算出平均完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的振动周期。 （5）变条件：改变摆长重做几次。 （6）理器材：将实验器材放回原处 （1）公式法：利用T＝求出周期，然后利用公式g＝求重力加速度；通过改变摆长，测得多个重力加速度g1、g2、g3…g6，求得重力加速度的平均值：g＝ 。 （2）图像法 由单摆的周期公式T＝2π 可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴，以T2为横轴作出的l-T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。g＝4π2k，k＝＝ （1）系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求。悬点是否固定、小球与细线是否符合要求、是单摆运动还是圆锥摆运动等。 （2）偶然误差 ①振动时间t（ 单摆周期T＝）的测量：是否从摆球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、秒表的读数等。 ②长度的测量：测量摆线长、摆球的直径读数时的误差等
着眼“四翼”·探考点
　　
教材原型
实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验。
（1）测出悬点O到小球球心的距离（摆长）l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝　　　　。（用l、n、t表示）
（2）实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的　　　　（多选）。
A.长约1 m的细线
B.长约1 m的橡皮绳
C.直径约1 cm的均匀铁球
D.直径约10 cm的均匀木球
（3）选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图　　　　中所示的固定方式。
（4）
实验小组组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示，这样做的目的是　　　　（多选）。
A.保持摆动过程中摆长不变
B.可使周期测量得更加准确
C.需要改变摆长时便于调节
D.保证摆球在同一竖直平面内摆动
（5）同学们组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量得从悬点到摆球的最低端的长度L＝0.999 0 m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为　　　 mm。
（6）将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是　　　　（多选）。
A.测出摆线长作为单摆的摆长
B.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动
C.在摆球经过平衡位置时开始计时
D.用停表测量摆球完成一次全振动所用时间并作为单摆的周期
难点助攻
第（2）问中，摆线应选1 m左右且不可伸长的细线，摆球应选密度较大、直径小于2 cm的金属球。
第（3）问中，固定摆线时要保证摆长不能随小球摆动而发生变化。
第（6）问中，测量摆的周期时为减小误差应使用累积法。
易错排查
（1）摆长l等于摆线长L（悬点到摆球的最顶端的距离）与摆球半径之和。
（2）为减小计时误差，计时开始位置应选在平衡位置，应测量30～50次全振动的总时间。
（3）保证单摆在同一竖直平面内摆动，摆角不宜过大。
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即时演练
　（2025·杭州联考）某同学利用单摆测量本地重力加速度，实验装置如图a所示，轻质细线上端悬挂在铁架台上，下端挂有强磁小球，其正下方放置智能手机，手机中的磁传感器可以采集磁感应强度实时变化的数据并输出图像，实验步骤如下：
（1）用毫米刻度尺测出细线长度。
（2）如图b所示，用游标卡尺测量摆球直径，摆球直径d＝　　　　 cm。
（3）使单摆做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件，此时磁传感器记录的磁感应强度变化周期。
（4）某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图c所示，从图中可以算出单摆的周期T＝　　　　　　（用“t0”表示）。
（5）改变摆长，重复实验步骤（3）得到多组数据并画出L-T2图像，如图d所示，由图像可得当地重力加速度g＝　　　　 m/s2（保留3位有效数字）。
（6）（多选）以下哪些原因会导致本实验产生误差（　　）
A.空气阻力的影响
B.磁传感器的影响
C.每次实验单摆振幅不同
D.实验过程中更换不同质量的磁性球进行实验
创新拓展
（2025·浙江6月选考15题）在用单摆测重力加速度的实验中，
（1）如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为　　　　 s（结果保留3位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T＝ 　　　　；
（2）丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝ 　　　　，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝ 　　　　；（结果均用k、b表示）
（3）丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64 m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　。
听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
即时演练
1.未来中国宇航员登陆月球表面，其任务之一是通过单摆测量出月球表面的重力加速度，从而计算月球的质量，但没有合适的摆球，就从地上找到了一块大小为3 cm左右、外形不规则的小石块代替。目前实验舱中还有以下设备：
刻度尺（量程30 cm）、轻细线（1 m左右无弹性）、秒表和足够高的固定支架。
宇航员设计了如下实验，以完成本次登月的这项任务。
（1）若已测得月球表面的重力加速度为g、月球的半径为R以及万有引力常量G，请写出月球质量的表达式M＝　　　　。
（2）实验步骤如下：
A.如图，用细线将石块系好，将细线的上端固定于O点；
B.将石块拉至一个大约5°的角度，然后由静止释放；
C.从石块摆到　　　　（填“最低点”或“最高点”）开始计时，测出n次全振动的总时间t1；
D.缩短细线长度，重复B、C步骤，得到总时间t2；
（3）若细线缩短的长度为Δl（Δl小于刻度尺量程），请用t1、t2以及Δl写出重力加速度表达式为g＝　　　　　　。
2.某同学做“用单摆测重力加速度”的实验，实验装置如图甲所示，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数。
（1）下列说法中正确的是　　　　（单选）。
A.测出摆球做一次全振动的时间作为周期的测量值
B.质量相同的铁球和软木球，应选用铁球作为摆球
C.可将摆球从平衡位置拉开一个任意角度然后释放摆球
D.可以选择有弹性的细绳作为摆线
（2）在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从悬点至摆球顶端的长度为L，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则摆球直径d＝　　　　 cm；
（3）将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次（为大于3的奇数）通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝　　　　（用t、n表示），重力加速度的大小为　　　　　（用L、d和T表示）；
（4）实验中该同学测得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是　　　　（多选）。
A.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
B.计算时用L＋d作为单摆的摆长
C.摆球的振幅偏小
D.把n当作单摆全振动的次数

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