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第八章 机械振动与机械波
第40课时　机械振动　[双基落实课]
　　立足“四层”·夯基础
　（人教版选择性必修第一册第37页“做一做”）如图，弹簧上端固定，下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动。判断下列说法正误：
（1）钢球在O点时受到弹簧弹力和重力作用，二者平衡，故O点是钢球的平衡位置。（　√　）
（2）自释放点开始计时，钢球在t时刻的位移是x＝Asin。（　√　）
（3）若将此钢球与细线组成单摆让其做简谐运动，则钢球在最低点时回复力为零，合力也为零。（　×　）
（4）若该系统在周期性驱动力的作用下振动，一定发生共振现象。（　×　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　简谐运动的规律　[互动共研类]
　　
简谐运动的五个特征
受力特征 回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
一个小物块拴在一个轻弹簧上，并将弹簧和小物块竖直悬挂处于静止状态，以此时小物块所处位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立Ox轴，如图所示。先将小物块竖直向上托起使弹簧处于原长，然后将小物块由静止释放并开始计时，经过 s，小物块向下运动20 cm第一次到达最低点，已知小物块在竖直方向做简谐运动，重力加速度g＝10 m/s2，忽略小物块受到的阻力，下列说法正确的是（　　）
A.小物块的振动方程为x＝0.1sinm
B.小物块的最大加速度为2g
C.小物块的最大速度为 m/s
D.小物块在0～ s的时间内所经过的路程为85 cm
答案：D
解析：由对称性可知弹簧振子的振幅为A＝10 cm，弹簧振子的振动周期为T＝ s，则ω＝＝10 rad/s，小物块运动的初始位置为负的最大位移处，所以小物块的振动方程为x＝0.1sinm，选项A错误；根据简谐运动的对称性，小物块在最高点和最低点时的加速度最大，根据牛顿第二定律可得小物块最大加速度为g，选项B错误；小物块在平衡位置时的速度最大，若仅有重力势能和动能的转化，有mgΔx＝mv2，解得速度v＝ m/s，由于弹簧有弹性势能，所以最大速度不是 m/s，选项C错误； s为2个周期，根据x＝0.1sinm可得小物块个周期的位移x＝0.05 m，所以0～ s的时间内小物块走的总路程为8A＋0.05 m＝0.85 m＝85 cm，选项D正确。
1.【简谐运动的物理量】如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为6 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则（　　）
A.振动周期是2 s，振幅是6 cm
B.振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D.小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
解析：C　由题意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝3 cm，A错误；频率T＝，解得f＝0.5 Hz，B错误；小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即s＝4×3 cm＝12 cm，C正确；小球在3 s内通过的路程为s＝×4A＝×4×3 cm＝18 cm，D错误。
2.【简谐运动中各物理量的变化分析】（多选）（2025·湖北高考9题）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　）
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动，则其振幅为
C.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
解析：AD　经分析可知，只要小球a不运动，将小球b下拉l长度后由静止释放，小球b始终做简谐运动，且振幅为l，B错误；系统静止时，对小球b，由平衡条件可得此时弹簧的伸长量x1＝，当小球a恰不运动时，对小球a，由平衡条件可知，此时小球b运动到最高点弹簧的压缩量x2＝，此时小球b的振幅为，所以当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动，C错误，D正确；综上可知，当l＞时，小球a会运动，A正确。
3.【简谐运动的周期性与对称性】
一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当t＝0时刻，振子经过O点，t1＝0.4 s时，第一次到达M点，t2＝0.5 s时振子第二次到达M点，则弹簧振子的周期可能为（　　）
A.0.6 s B.1.2 s
C.2.0 s D.2.6 s
解析：A　若振子按下面图示路线从O点开始向右振动，则振子的振动周期为T1＝4×s＝1.8 s。
若振子按下面图示路线从O点开始向左振动，M1为与M点关于平衡位置O的对称位置，则振子的振动周期为T2＝4×s＝0.6 s。
故B、C、D错误，A正确。
【解题技法】
1.分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要抓住位移这一关键量
（1）位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；位移减小时，各物理量产生相反的变化。
（2）位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
（3）各矢量均在位移为零时改变方向。
2.分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。
考点二　简谐运动的图像　[素养自修类]
　　
1.【简谐运动图像的理解】
如图甲所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，以振子从A点开始运动的时刻作为计时起点，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
　
A.t＝0.4 s时，振子的速度方向向左
B.t＝0.8 s时，振子的加速度方向向右
C.t＝0.8 s到t＝1.2 s的时间内，振子的回复力逐渐增大
D.t＝1.2 s到t＝1.6 s的时间内，振子的动能逐渐减小
解析：D　由振动图像可知t＝0.4 s时，振子由平衡位置向正方向运动，说明振子的速度方向向右，故A错误；由振动图像可知，t＝0.8 s时，振子在正向最大位移处，所以振子的加速度方向向左，故B错误；t＝0.8 s到t＝1.2 s的时间内，振子从最大位移处往平衡位置运动，所以振子的回复力逐渐减小，故C错误；t＝1.2 s到t＝1.6 s的时间内，振子从平衡位置往最大位移处运动，振子的速度逐渐减小，振子的动能逐渐减小，故D正确。
2.【两个简谐运动图像的比较】
劲度系数相同的两根弹簧分别与甲、乙两个小钢球组成弹簧振子，让两弹簧振子各自在水平面内做简谐运动，某时刻开始计时，两者的振动图像如图所示。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中m为振子质量、k为弹簧劲度系数，下列说法正确的是（　　）
A.甲球质量小于乙球质量
B.甲球的加速度始终大于乙球的加速度
C.t＝0.15 s时，弹簧对甲小球的作用力大于弹簧对乙小球的作用力
D.两个小球分别经过平衡位置时的动能相等
解析：C　由图像知，甲、乙周期相同，均为0.4 s，由T＝2π知，两个小球质量相同，A错误；甲、乙都做简谐振动，由图像可知，甲、乙的振动不是同步的，因此甲球的加速度不可能始终大于乙球的加速度，B错误；对甲有x甲＝2cos ω甲t＝2cos 5πt（cm），对乙有x乙＝－sin ω乙t＝－sin 5πt（cm），t＝0.15 s时，则有x甲＝2cos ω甲t＝2cos 5π×0.15（cm）＝－ cm，x乙＝－sin ω乙t＝－sin（5π×0.15）（cm）＝－ cm，弹簧劲度系数相同，由F＝－kx可知，弹簧对甲小球的作用力大于弹簧对乙小球的作用力，C正确；两球质量相等，甲球振幅大，则甲球经过平衡位置时动能大，D错误。
1.对简谐运动图像的理解
（1）简谐运动的图像是一条正弦曲线或余弦曲线，分别如图甲、乙所示。
（2）图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
2.由简谐运动图像可获取的信息
（1）判定振动的振幅A和周期T，如图所示。
（2）判定振动物体在某一时刻的位移。
（3）判定某时刻质点的振动方向
①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；
②下一时刻位移若减小，质点的振动方向是指向平衡位置。
（4）判定某时刻质点的加速度（回复力）的大小和方向。
从图像读
取x大小
及方向F的大小
及方向a的大小
及方向
（5）比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。
考点三　单摆及其周期公式　[互动共研类]
　　
1.单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcos θ。
（3）两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。
2.周期公式T＝2π的理解
（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g为当地重力加速度。
3.类单摆模型
（1）有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即为类单摆，则T＝2π中，l为等效摆长，g为等效重力加速度。如图所示，为竖直面内的光滑圆弧，且 R，当小球在间运动时，其运动为类单摆运动，等效摆长为R。
（2）等效重力加速度
①对于不同星球表面，有g＝。
②单摆处于超重或失重状态时：g效＝g±a。
③重力场与匀强电场中时：g效＝。
（3）类单摆问题的解题方法：确定等效摆长l及等效重力加速度g效后，利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解问题。
如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。现将摆球A在两摆线所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两摆球分开各自做简谐运动。以mA、mB分别表示摆球的质量，则（　　）
A.当mA＞mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B.当mA＜mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C.只有当mA＝mB时，下一次碰撞才发生在平衡位置
D.无论两球的质量关系如何，下一次碰撞一定还发生在平衡位置
答案：D
解析：根据单摆的周期公式T＝2π，可知两单摆的周期相同，所以相撞后两球分别经过T后回到各自的平衡位置，下一次碰撞一定还发生在平衡位置，D正确。
1.【单摆振动图像】
（多选）如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度地摆动，可以用来拆除混凝土建筑。它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）
A.单摆振动的周期是6 s
B.t＝2 s时，摆球的速度最大
C.球摆开的角度增大，周期增大
D.该单摆的摆长约为16 m
解析：BD　由图乙可知，单摆振动的周期为8 s；t＝2 s时，摆球位于平衡位置，速度最大；根据单摆周期公式T＝2π可知，周期与球摆开的角度无关；把T＝8 s代入周期公式可得，摆长为l≈16 m。故B、D正确，A、C错误。
2.【单摆周期公式的应用】（2024·浙江6月选考9题）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，则（　　）
A.摆角变小，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力为N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
解析：B　单摆的周期公式为T＝2π，则周期与摆角无关，故A错误；由题意可知，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图，根据数学关系可知，FA＝FB＝＝ N，故C、D错误；根据几何关系可知，等效摆长为1 m，则T＝2π≈2 s，B正确。
考点四　受迫振动和共振　[素养自修类]
　　
1.【受迫振动】（2025·四川高考5题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（　　）
A.小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
解析：C　根据题意可得2T甲＝＝T丙＝，则T甲∶T乙＝3∶4，C正确；T丙∶T丁＝1∶2，根据T＝2π，可得小球丙、丁的摆长之比L丙∶L丁＝1∶4，D错误；T甲∶T丙＝1∶2，小球甲第一次回到释放位置时，小球丙到达另一侧最高点，此时加速度最大，故A错误；根据T乙＝T丁，小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙第二次经过平衡位置，此时速度最大，动能最大，故B错误。
2.【受迫振动与共振曲线的理解】（多选）两单摆分别在受迫振动中的共振曲线如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B.若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C.若图线Ⅱ表示在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D.若摆长均为1 m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的
解析：ABC　题图中振幅最大处对应的频率与做受迫振动的单摆的固有频率相等，由题图可知，两摆的固有频率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz。当两摆在月球和地球上分别做受迫振动且摆长相等时，根据关系式f＝ 可知，g越大，f越大，所以gⅡ＞gⅠ，因为g地＞g月，因此可推知图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，A正确；若两摆在地球上同一地点做受迫振动，g相同，则＝，且有＝，所以＝，B正确；fⅡ＝0.5 Hz，若图线Ⅱ表示在地球上完成的， 根据g＝9.8 m/s2，可计算出LⅡ约为1 m，C正确，D错误。
3.【共振现象的应用】（多选）（2021·浙江1月选考15题）为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则（　　）
A.针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
解析：AD　不同树木的固有频率不同，因此针对不同的树木，要使之发生共振需要的振动频率不同，选项A正确；根据共振曲线，小于固有频率时，逐渐增加驱动力频率，振幅会加大，而在大于固有频率时增加频率，振动幅度会减小，选项B错误；稳定后，不同粗细的树干的振动为受迫振动，因此与振动器的振动频率相同，选项D正确；打击杆打击树干后，树干做阻尼振动，阻尼振动频率取决于固有频率，粗细不同的树干固有振动频率不同，选项C错误。
1.自由振动、受迫振动和共振的比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期 或频率 由系统本身的性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0 或f驱＝f0
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆（θ≤5°） 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
（1）共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
（2）受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
　
8 / 9第40课时　机械振动　[双基落实课]
立足“四层”·夯基础
　　
　（人教版选择性必修第一册第37页“做一做”）如图，弹簧上端固定，
下端悬挂钢球。把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动。判断下列说法正误：
（1）钢球在O点时受到弹簧弹力和重力作用，二者平衡，故O点是钢球的平衡位置。（　　）
（2）自释放点开始计时，钢球在t时刻的位移是x＝Asin。（　　）
（3）若将此钢球与细线组成单摆让其做简谐运动，则钢球在最低点时回复力为零，合力也为零。（　　）
（4）若该系统在周期性驱动力的作用下振动，一定发生共振现象。（　　）
着眼“四翼”·探考点
考点一　简谐运动的规律　[互动共研类]
　　
简谐运动的五个特征
受力特征 回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
续表
对称性 特征 关于平衡位置O对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
一个小物块拴在一个轻弹簧上，并将弹簧和小物块竖直悬挂处于静止状态，以此时小物块所处位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立Ox轴，如图所示。先将小物块竖直向上托起使弹簧处于原长，然后将小物块由静止释放并开始计时，经过 s，小物块向下运动20 cm第一次到达最低点，已知小物块在竖直方向做简谐运动，重力加速度g＝10 m/s2，忽略小物块受到的阻力，下列说法正确的是（　　）
A.小物块的振动方程为x＝0.1sinm
B.小物块的最大加速度为2g
C.小物块的最大速度为 m/s
D.小物块在0～ s的时间内所经过的路程为85 cm
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1.【简谐运动的物理量】
如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为6 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则（　　）
A.振动周期是2 s，振幅是6 cm
B.振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D.小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
2.【简谐运动中各物理量的变化分析】
（多选）（2025·湖北高考9题）
质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　）
A.小球a可能会运动
B.若小球b做简谐运动，则其振幅为
C.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
D.当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
3.【简谐运动的周期性与对称性】
一弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当t＝0时刻，振子经过O点，t1＝0.4 s时，第一次到达M点，t2＝0.5 s时振子第二次到达M点，则弹簧振子的周期可能为（　　）
A.0.6 s　B.1.2 s　C.2.0 s　D.2.6 s
【解题技法】
1.分析简谐运动中各物理量的变化情况时，要抓住位移这一关键量
（1）位移增大时，振动质点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；位移减小时，各物理量产生相反的变化。
（2）位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
（3）各矢量均在位移为零时改变方向。
2.分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。
考点二　简谐运动的图像　[素养自修类]
　　
1.【简谐运动图像的理解】
如图甲所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在A、B两点之间做简谐运动，取向右为正方向，以振子从A点开始运动的时刻作为计时起点，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
　
A.t＝0.4 s时，振子的速度方向向左
B.t＝0.8 s时，振子的加速度方向向右
C.t＝0.8 s到t＝1.2 s的时间内，振子的回复力逐渐增大
D.t＝1.2 s到t＝1.6 s的时间内，振子的动能逐渐减小
2.【两个简谐运动图像的比较】
劲度系数相同的两根弹簧分别与甲、乙两个小钢球组成弹簧振子，让两弹簧振子各自在水平面内做简谐运动，某时刻开始计时，两者的振动图像如图所示。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中m为振子质量、k为弹簧劲度系数，下列说法正确的是（　　）
A.甲球质量小于乙球质量
B.甲球的加速度始终大于乙球的加速度
C.t＝0.15 s时，弹簧对甲小球的作用力大于弹簧对乙小球的作用力
D.两个小球分别经过平衡位置时的动能相等
1.对简谐运动图像的理解
（1）简谐运动的图像是一条正弦曲线或余弦曲线，分别如图甲、乙所示。
（2）图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。
2.由简谐运动图像可获取的信息
（1）判定振动的振幅A和周期T，如图所示。
（2）判定振动物体在某一时刻的位移。
（3）判定某时刻质点的振动方向
①下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；
②下一时刻位移若减小，质点的振动方向是指向平衡位置。
（4）判定某时刻质点的加速度（回复力）的大小和方向。
从图像读
取x大小
及方向F的大小
及方向a的大小
及方向
（5）比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。
考点三　单摆及其周期公式　[互动共研类]
　　
1.单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcos θ。
（3）两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。
2.周期公式T＝2π的理解
（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g为当地重力加速度。
3.类单摆模型
（1）
有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即为类单摆，则T＝2π中，l为等效摆长，g为等效重力加速度。如图所示，为竖直面内的光滑圆弧，且 R，当小球在间运动时，其运动为类单摆运动，等效摆长为R。
（2）等效重力加速度
①对于不同星球表面，有g＝。
②单摆处于超重或失重状态时：g效＝g±a。
③重力场与匀强电场中时：g效＝。
（3）类单摆问题的解题方法：确定等效摆长l及等效重力加速度g效后，利用公式T＝2π或简谐运动规律分析求解问题。
如图所示，两单摆的摆长相同，平衡时两摆球刚好接触。现将摆球A在两摆线所在的平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后两摆球分开各自做简谐运动。以mA、mB分别表示摆球的质量，则（　　）
A.当mA＞mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B.当mA＜mB时，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C.只有当mA＝mB时，下一次碰撞才发生在平衡位置
D.无论两球的质量关系如何，下一次碰撞一定还发生在平衡位置
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1.【单摆振动图像】
（多选）如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度地摆动，可以用来拆除混凝土建筑。它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）
A.单摆振动的周期是6 s
B.t＝2 s时，摆球的速度最大
C.球摆开的角度增大，周期增大
D.该单摆的摆长约为16 m
2.【单摆周期公式的应用】
（2024·浙江6月选考9题）
如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，则（　　）
A.摆角变小，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力为N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
考点四　受迫振动和共振　[素养自修类]
　　
1.【受迫振动】
（2025·四川高考5题）
如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（　　）
A.小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B.小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C.小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D.小球丙、丁的摆长之比为1∶2
2.【受迫振动与共振曲线的理解】
（多选）两单摆分别在受迫振动中的共振曲线如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A.若两摆的受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B.若两摆的受迫振动是在地球上同一地点进行，则两摆摆长之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C.若图线Ⅱ表示在地球上完成的，则该单摆摆长约为1 m
D.若摆长均为1 m，则图线Ⅰ表示在地球上完成的
3.【共振现象的应用】
（多选）（2021·浙江1月选考15题）为了提高松树上松果的采摘率和工作效率，
工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置，如图甲、乙所示。则（　　）
A.针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同
B.随着振动器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
C.打击杆对不同粗细树干打击结束后，树干的振动频率相同
D.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
1.自由振动、受迫振动和共振的比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期 或频率 由系统本身的性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0 或f驱＝f0
续表
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆（θ≤5°） 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
2.对共振的理解
（1）共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响。由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
（2）受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

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