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4.5.2　用二分法求方程的近似解
一、单项选择题
1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)
2．小胡同学用二分法求函数y＝f(x)在(1，2)内零点近似值的过程中，由计算可得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，则小胡同学在下次应计算的函数值为(　　)
A．f(0.5) B．f(1.125)
C．f(1.25) D．f(1.75)
3．用二分法求连续函数f(x)的一个正实数零点时，经计算得f(0.64)<0，f(0.72)＞0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.65 B．0.7
C．0.75 D．0.8
4．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　　)
A. B.
C．ε D．2ε
5．用二分法求方程log2x＋x－4＝0的近似解时，可以取的初始区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(5，6)
6．用二分法求方程ln x－＝0在[1，2]上的解时，取中点c＝1.5，则下一个有解区间为(　　)
A．(1，1.25) B．(1，1.5)
C．(1，2) D．(1.5，2)
7．若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在区间(0，4)，(0，2)，，内，则与f(0)符号相同的是(　　)
A．f(4) B．f(2)
C．f(1) D．f
8．用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0，1)内的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
二、多项选择题
9．如图，函数f(x)的图象与x轴交于M(x1，0)，N(x2，0)，P(x3，0)，Q(x4，0)四点，则能用二分法求近似值的零点是(　　)
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
10．在用二分法求连续函数f(x)零点的近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1，4] B．[－2，－0.5]
C．[－2，2.5] D．[－0.5，1]
11．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260 f(1.4375) ≈0.162 f(1.40625)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解(精确度为0.05)可以是(　　)
A．1.4125 B．1.375
C．1.42 D．1.3925
三、填空题
12．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
13．若用二分法求2x＋x＝4在[1，2]上的近似解，则第二次所取区间的中点x2＝________．
参考数据：
x 1.375 1.5 1.625 1.75
2x 2.59 2.83 3.08 3.36
14．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
15．函数y＝与y＝lg x的图象的交点的横坐标约是(精确度为0.3)(　　)
A．1.5 B．1.6
C．1.7 D．1.8
16．若函数f(x)的零点与函数g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝log3(2－x)
C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝2x－3
17．已知定义在[a，b]上的连续增函数f(x)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，又f＝0，则函数f(x)的零点为________．
18．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
19．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，用二分法求方程f(x)＝0的正解的近似值(精确度为0.01)．
4.5.2　用二分法求方程的近似解
一、单项选择题
1．下列函数中，不能用二分法求零点的是(　　)
答案：D
解析：只有变号零点才能用二分法求解．故选D.
2．小胡同学用二分法求函数y＝f(x)在(1，2)内零点近似值的过程中，由计算可得f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，则小胡同学在下次应计算的函数值为(　　)
A．f(0.5) B．f(1.125)
C．f(1.25) D．f(1.75)
答案：D
解析：因为f(1)<0，f(2)>0，f(1.5)<0，所以零点在区间(1.5，2)内，根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即f(1.75)．故选D.
3．用二分法求连续函数f(x)的一个正实数零点时，经计算得f(0.64)<0，f(0.72)＞0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.65 B．0.7
C．0.75 D．0.8
答案：B
解析：因为f(0.72)＞0，f(0.68)<0，|0.72－0.68|＝0.04<0.05，所以零点在区间(0.68，0.72)内，故只有B符合要求．
4．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过(　　)
A. B.
C．ε D．2ε
答案：B
解析：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝<，因此误差最大不超过.
5．用二分法求方程log2x＋x－4＝0的近似解时，可以取的初始区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(5，6)
答案：C
解析：令f(x)＝log2x＋x－4，易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．f(1)＝log21＋1－4＝－3<0，f(2)＝log22＋2－4＝－1<0，f(3)＝log23＋3－4＝log23－log22>0，所以方程log2x＋x－4＝0在区间(2，3)内有解，所以可取的初始区间为(2，3)．故选C.
6．用二分法求方程ln x－＝0在[1，2]上的解时，取中点c＝1.5，则下一个有解区间为(　　)
A．(1，1.25) B．(1，1.5)
C．(1，2) D．(1.5，2)
答案：D
解析：令f(x)＝ln x－，因为f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln e>ln 2－ln 4＝ln 2－ln 2＝0，f(1.5)＝ln －＝ln －＝<(ln 4－2)<0，所以下一个有解区间为(1.5，2)．故选D.
7．若函数f(x)的图象是连续的，且函数f(x)的唯一零点同在区间(0，4)，(0，2)，，内，则与f(0)符号相同的是(　　)
A．f(4) B．f(2)
C．f(1) D．f
答案：C
解析：由二分法的步骤可知，①零点在(0，4)内，则有f(0)f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；②零点在(0，2)内，则有f(0)f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；③零点在(1，2)内，则有f(1)f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点；④零点在内，则有f(1)·f<0，则f(1)>0，f<0，取中点；⑤零点在内，则有ff<0，则f>0，f<0，所以与f(0)符号相同的是f(1)．故选C.
8．用二分法求函数f(x)＝ln (x＋1)＋x－1在区间(0，1)内的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
答案：C
解析：开区间(0，1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以<0.01，又n∈N*，所以n≥7，且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7.故选C.
二、多项选择题
9．如图，函数f(x)的图象与x轴交于M(x1，0)，N(x2，0)，P(x3，0)，Q(x4，0)四点，则能用二分法求近似值的零点是(　　)
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
答案：ACD
解析：由题图可知，在x＝x2两侧，函数f(x)的值均大于0，故x2的近似值不能用二分法求出．其他零点两侧函数值符号均相反，可以用二分法求解近似值．故选ACD.
10．在用二分法求连续函数f(x)零点的近似值时，第一次取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　)
A．[1，4] B．[－2，－0.5]
C．[－2，2.5] D．[－0.5，1]
答案：BD
解析：因为第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能是[－2，1]，[1，4]，第三次所取的区间可能是[－2，－0.5]，[－0.5，1]，[1，2.5]，[2.5，4]．故选BD.
11．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260 f(1.4375) ≈0.162 f(1.40625)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解(精确度为0.05)可以是(　　)
A．1.4125 B．1.375
C．1.42 D．1.3925
答案：AC
解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.40625，1.4375)内，又|1.40625－1.4375|＝0.03125<0.05，结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的近似解(精确度为0.05)可以是1.4125，1.42.故选AC.
三、填空题
12．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
答案：a2＝4b
解析：因为函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，所以函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，所以Δ＝a2－4b＝0，所以a2＝4b.
13．若用二分法求2x＋x＝4在[1，2]上的近似解，则第二次所取区间的中点x2＝________．
参考数据：
x 1.375 1.5 1.625 1.75
2x 2.59 2.83 3.08 3.36
答案：1.25
解析：令f(x)＝2x＋x－4，则f(1)＝2＋1－4<0，f(2)＝22＋2－4>0，则x1＝＝1.5，f(1.5)＝21.5＋1.5－4≈0.33>0，故x2＝＝1.25.
14．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
答案：1.5，1.75，1.875，1.8125
解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.8125)．
15．函数y＝与y＝lg x的图象的交点的横坐标约是(精确度为0.3)(　　)
A．1.5 B．1.6
C．1.7 D．1.8
答案：D
解析：设f(x)＝lg x－，经计算f(1)＝－<0，f(2)＝lg 2－>0，所以方程lg x－＝0在[1，2]上有解．f＝lg －<0，f＝lg －<0，因为＝<0.3，所以方程lg x－＝0的解在区间内，故D符合要求．
16．若函数f(x)的零点与函数g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　)
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝log3(2－x)
C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝2x－3
答案：A
解析：对于A，f(x)＝4x－1的零点为x＝；对于B，f(x)＝log3(2－x)的零点为x＝1；对于C，f(x)＝3x－1的零点为x＝0；对于D，f(x)＝2x－3的零点为x＝.g(0)＝40－2＝－1<0，g＝4＋2×－2＝1>0，g(0)g<0，故g(x)的零点在内，g＝4＋2×－2＝－<0，g·g<0，故g(x)的零点在内，由f(x)，g(x)的零点之差的绝对值不超过0.25，则只有f(x)＝4x－1的零点符合．故选A.
17．已知定义在[a，b]上的连续增函数f(x)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，又f＝0，则函数f(x)的零点为________．
答案：
解析：由f(x)在[a，b]上单调递增，得f(a)<0，f(b)>0，又a＋>a恒成立，∴解得∴函数f(x)的零点为＝.
18．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
解：(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，
所以f(0)f(2)<0，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解．
(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，
由此可得f(1)f(2)<0，下一个有解区间为(1，2)．
再取x2＝×(1＋2)＝，
得f＝－<0，
所以f(1)f<0，下一个有解区间为.
再取x3＝×＝，
得f＝>0，
所以ff<0，
下一个有解区间为.
综上所述，方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在区间内．
19．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，用二分法求方程f(x)＝0的正解的近似值(精确度为0.01)．
解：因为函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上为增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上也单调递增，
所以f(x)＝0的正解最多有一个．
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，
所以方程f(x)＝0的正解在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间 中点值 中点函数近似值
(0，1) 0.5 0.732
(0，0.5) 0.25 －0.084
(0.25，0.5) 0.375 0.328
(0.25，0.375) 0.3125 0.124
(0.25，0.3125) 0.28125 0.021
(0.25，0.28125) 0.265625 －0.032
(0.265625，0.28125) 0.2734375 －0.00543
(0.2734375，0.28125) — —
因为|0.2734375－0.28125|＝0.0078125<0.01，所以方程的正解的近似值为0.28，即f(x)＝0的正解的近似值为0.28.
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