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4.5.3　函数模型的应用
一、单项选择题
1．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t(单位：h)变化的图象是(　　)
2．某班研究小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性炭污水净化装置．现污水中该种污染物含量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的含量W如下表：
l 0 1 2 3
W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0
研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型，则与表格中数据吻合的函数模型是(　　)
A．W＝W0＋0.5l
B．W＝W0·log0.5(l＋1)
C．W＝0.5W0l
D．W＝W0·0.5l
3．半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t＝0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，f(0)＝1000，若t是以年为单位，则f(t)的解析式为(　　)
A．f(t)＝1000＋t
B．f(t)＝1000×2t
C．f(t)＝1000×2
D．f(t)＝1000＋2t
4．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：T＝－12ln (T为时间，单位为min，w0为特殊环境温度，w1为该物质在特殊环境下的初始温度，w为该物质在特殊环境下冷却后的温度)，假设一开始该物质的初始温度为100 ℃，特殊环境温度是20 ℃，则经过12 min，该物质的温度最接近(参考数据：e≈2.72)(　　)
A．48 ℃ B．50 ℃
C．52 ℃ D．54 ℃
5．经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝(　　)
A. B.
C．ln 2 D．ln 3
6．2020年12月8日，中尼两国联合对外宣布，经过两国团队的扎实工作，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．已知大气压强p(单位：Pa)随高度h(单位：m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝0.000126 m－1，则珠穆朗玛峰峰顶的大气压强约是海平面大气压强的(0.000126×8848.86≈1.1)(　　)
A. B.
C. D.
7．某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数r(r>0)、劳累程度T(0A．2－2.8倍 B．21.4倍
C．22.8倍 D．25.6倍
8．1903年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出了单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v(单位：km/s)满足公式：v＝v0ln ，其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8 km/s，则火箭发动机的喷气速度约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4)(　　)
A．10 km/s B．20 km/s
C. km/s D．40 km/s
二、多项选择题
9．某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间x(单位：分钟)与水温y(单位：℃)的散点图(如图)，则下列可能作为该散点图对应的函数模型的是(　　)
A．y＝logax(a>1)
B．y＝kax＋b(k>0，0C．y＝kx＋b(k>0)
D．y＝＋b(k>0)
10．化学中会用pH值来判断溶液的酸碱度，pH值是溶液中氢离子浓度的负常用对数值，若设某溶液所含氢离子浓度为x(mol/L)，可得pH＝－lg x，则下列说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.7)(　　)
A．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则pH值降低1
B．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则pH值升高1
C．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则pH值大约降低0.6
D．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则pH值大约降低0.7
11．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(单位：万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．下列结论正确的是(　　)
A．甲工厂今年5月份的利润为86万元
B．乙工厂今年3月份的利润为18万元
C．今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润
D．从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润
三、填空题
12．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林________亩．
13．五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第x(1≤x≤5，x∈N)天进店消费的人数为y，且y与([t]表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为________．
14．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足ln y＝－ln t－x2＋a，其中k，a为非零常数．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处________米的位置，信息素浓度为.
15．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于0.15%，经测定，刚下课时，空气中含有0.18%的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.03＋λe (λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位：分钟)的最小整数值为(参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)(　　)
A．1 B．3
C．5 D．10
16．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB＝y)．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是y＝107(e＝2.71828…)，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为(　　)
A．ln 2 B．ln 3
C．ln D．ln
17．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为s，驾驶员反应时间内汽车所行距离为s1，刹车距离为s2，则s＝s1＋s2.而s1(单位：m)与反应时间t(单位：s)有关，s1＝10ln (t＋1)，s2(单位：m)与车速v(单位：km/h)有关，s2＝bv2.某人刹车反应时间为(－1) s，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m，则b＝________；若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为________ m(精确到1)．
18．某化工厂一天中污水污染指数f(x)与时刻x(单位：时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该厂的污水污染指数最低；
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
19．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
4.5.3　函数模型的应用
一、单项选择题
1．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t(单位：h)变化的图象是(　　)
答案：B
解析：在2 h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C.故选B.
2．某班研究小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性炭污水净化装置．现污水中该种污染物含量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的含量W如下表：
l 0 1 2 3
W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0
研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型，则与表格中数据吻合的函数模型是(　　)
A．W＝W0＋0.5l
B．W＝W0·log0.5(l＋1)
C．W＝0.5W0l
D．W＝W0·0.5l
答案：D
解析：由表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0，3]；第二，在定义域内单调递减且递减速度越来越慢；第三，函数图象过点(0，W0)．函数W＝W0＋0.5l单调递增，故A不符合题意；函数W＝0.5W0l和W＝W0·log0.5(l＋1)的图象不过点(0，W0)，不符合条件，故B，C不符合题意；函数W＝W0·0.5l满足上述条件，故D符合题意．故选D.
3．半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用f(t)表示从t＝0开始，晶体管数量随时间t变化的函数，f(0)＝1000，若t是以年为单位，则f(t)的解析式为(　　)
A．f(t)＝1000＋t
B．f(t)＝1000×2t
C．f(t)＝1000×2
D．f(t)＝1000＋2t
答案：C
解析：晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，因为时间t以年为单位，以及f(0)＝1000，所以f(t)＝1000×2.故选C.
4．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：T＝－12ln (T为时间，单位为min，w0为特殊环境温度，w1为该物质在特殊环境下的初始温度，w为该物质在特殊环境下冷却后的温度)，假设一开始该物质的初始温度为100 ℃，特殊环境温度是20 ℃，则经过12 min，该物质的温度最接近(参考数据：e≈2.72)(　　)
A．48 ℃ B．50 ℃
C．52 ℃ D．54 ℃
答案：B
解析：由题设知，w1＝100，w0＝20，T＝12，代入T＝－12ln ，得12＝－12ln ，解得w≈49.4.故选B.
5．经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未溶解糖块的质量为3.5克，则k＝(　　)
A. B.
C．ln 2 D．ln 3
答案：A
解析：由题意，当t＝0时，S＝a＝7，当t＝5时，S＝7e－5k＝3.5，则e－5k＝，则－5k＝ln ＝－ln 2，即k＝.故选A.
6．2020年12月8日，中尼两国联合对外宣布，经过两国团队的扎实工作，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．已知大气压强p(单位：Pa)随高度h(单位：m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝0.000126 m－1，则珠穆朗玛峰峰顶的大气压强约是海平面大气压强的(0.000126×8848.86≈1.1)(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由ln p0－ln p＝kh可得＝e－kh，设珠穆朗玛峰峰顶的大气压强为p1，则＝e－0.000126×8848.86≈.
7．某研究机构通过统计分析发现，教师的工作效率E与工作年数r(r>0)、劳累程度T(0A．2－2.8倍 B．21.4倍
C．22.8倍 D．25.6倍
答案：B
解析：设李老师现在的劳累程度是T1，工作10年时的劳累程度是T2，依题意，10－10T1·2－0.14×20＝10－10T2·2－0.14×10，所以＝21.4.故选B.
8．1903年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基提出了单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度v(单位：km/s)满足公式：v＝v0ln ，其中m1，m2分别为火箭结构质量和推进剂的质量，v0是发动机的喷气速度．已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为8 km/s，则火箭发动机的喷气速度约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 4≈1.4)(　　)
A．10 km/s B．20 km/s
C. km/s D．40 km/s
答案：B
解析：由所给信息，可得8＝v0ln ，m1＝2m2，则8＝v0ln ＝v0(ln 3－ln 2)≈0.4v0，故v0≈20.故选B.
二、多项选择题
9．某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间x(单位：分钟)与水温y(单位：℃)的散点图(如图)，则下列可能作为该散点图对应的函数模型的是(　　)
A．y＝logax(a>1)
B．y＝kax＋b(k>0，0C．y＝kx＋b(k>0)
D．y＝＋b(k>0)
答案：BD
解析：y＝logax(a>1)，y＝kx＋b(k>0)单调递增，故A，C不可能作为散点图对应的函数模型；y＝kax＋b(k>0，00)单调递减，B，D可能作为散点图对应的函数模型．故选BD.
10．化学中会用pH值来判断溶液的酸碱度，pH值是溶液中氢离子浓度的负常用对数值，若设某溶液所含氢离子浓度为x(mol/L)，可得pH＝－lg x，则下列说法正确的是(参考数据：lg 5≈0.7)(　　)
A．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则pH值降低1
B．若氢离子浓度扩大为原来的10倍，则pH值升高1
C．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则pH值大约降低0.6
D．若氢离子浓度扩大为原来的4倍，则pH值大约降低0.7
答案：AC
解析：－lg (10x)＝－1－lg x，氢离子浓度扩大10倍，则pH值降低1，所以A正确，B错误；－lg (4x)＝－lg 4－lg x＝－2lg 2－lg x＝－2(lg 10－lg 5)－lg x≈－2×(1－0.7)－lg x＝－0.6－lg x，所以C正确，D错误．故选AC.
11．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(单位：万元)与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a2·3x＋b2(a1，a2，b1，b2∈R)．下列结论正确的是(　　)
A．甲工厂今年5月份的利润为86万元
B．乙工厂今年3月份的利润为18万元
C．今年4月份，甲工厂的利润大于乙工厂的利润
D．从6月开始，甲工厂的利润小于乙工厂的利润
答案：ACD
解析：依题意，由有解得∴f(x)＝4x2－4x＋6.由有解得∴g(x)＝×3x＋5＝3x－1＋5.∴甲工厂今年5月份的利润为f(5)＝86万元，A正确；乙工厂今年3月份的利润为g(3)＝14万元，B错误；作函数图象如图，从图中可以看出今年甲、乙两个工厂的利润情况：当x＝1或x＝5时，有f(x)＝g(x)；当1g(x)；当5三、填空题
12．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林________亩．
答案：17280
解析：设第x年造林y亩，则y＝10000(1＋20%)x－1，所以当x＝4时，y＝10000×1.23＝17280(亩)．
13．五一期间某服装店每天进店消费的人数每天都在变化，设第x(1≤x≤5，x∈N)天进店消费的人数为y，且y与([t]表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有15人进店消费，则第2天进店消费的人数为________．
答案：18
解析：由题意可设比例系数为k，∴y＝k(k≠0)，∵15＝k，∴k＝3，∴当x＝2时，y＝3×＝3×6＝18.
14．研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足ln y＝－ln t－x2＋a，其中k，a为非零常数．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m，则释放信息素4秒后，距释放处________米的位置，信息素浓度为.
答案：4
解析：由题意可知，当t＝1，x＝2时，y＝m，则ln m＝－4k＋a　①，当y＝，t＝4时，ln ＝－ln 4－x2＋a，即ln m－ln 2＝－ln 2－x2＋a，则ln m＝－x2＋a　②，联立①②，解得x＝4.故释放信息素4秒后，距释放处4米的位置，信息素浓度为.
15．按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于0.15%，经测定，刚下课时，空气中含有0.18%的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.03＋λe (λ∈R)描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t(单位：分钟)的最小整数值为(参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)(　　)
A．1 B．3
C．5 D．10
答案：B
解析：当t＝0时，y＝0.03＋λ＝0.18，解得λ＝0.15，所以y＝0.03＋0.15e.令y＝0.03＋0.15e≤0.15，即e≤，即－≤ln ＝2ln 2－ln 5≈1.386－1.609＝－0.223，所以t≥2.23，故所需时间t的最小整数值为3.故选B.
16．如图，假定两点P，Q以相同的初速度运动．点Q沿直线CD做匀速运动，CQ＝x；点P沿线段AB(长度为107单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离(PB＝y)．令P与Q同时分别从A，C出发，定义x为y的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x与y的对应关系就是y＝107(e＝2.71828…)，当点P从线段AB靠近A的三等分点移动到中点时，经过的时间为(　　)
A．ln 2 B．ln 3
C．ln D．ln
答案：D
解析：由题意，点P的初始速度107即为点Q的速度．当P在靠近A的三等分点时，×107＝107，解得x＝107 ln ，当P在中点时，×107＝107，解得x＝107ln 2，所以经过的时间为÷107＝ln .故选D.
17．汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一过程中，由于人的反应需要时间，汽车在惯性的作用下有一个刹车距离，设停车安全距离为s，驾驶员反应时间内汽车所行距离为s1，刹车距离为s2，则s＝s1＋s2.而s1(单位：m)与反应时间t(单位：s)有关，s1＝10ln (t＋1)，s2(单位：m)与车速v(单位：km/h)有关，s2＝bv2.某人刹车反应时间为(－1) s，当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m，则b＝________；若在限速100 km/h的高速公路上，则该汽车的安全距离为________ m(精确到1)．
答案：　61
解析：∵刹车反应时间为(－1) s，∴s1＝10ln (－1＋1)＝10ln ＝5.当车速为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m，则s2＝b·602＝20，解得b＝，∴s2＝v2.若v＝100，则s2＝×1002≈56，则该汽车的安全距离s＝s1＋s2≈5＋56＝61(m)．
18．某化工厂一天中污水污染指数f(x)与时刻x(单位：时)的函数关系为f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈(0，1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该厂的污水污染指数最低；
(2)规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
解：(1)若a＝，则f(x)＝＋2≥2.
当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，
得x＋1＝25＝5，即x＝4，
所以一天中凌晨4点该厂的污水污染指数最低．
(2)设t＝log25(x＋1)，
则当0≤x≤24时，0≤t≤1.
设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0，1]，
则g(t)＝
显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a，1]上是增函数，
则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}．
因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，
所以解得a≤.
又a∈(0，1)，
故调节参数a应控制在内．
19．某投资公司拟投资开发某种新产品，市场评估能获得10万元～1000万元(包含10万元和1000万元)的投资收益．现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于1万元，同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x)，根据题目要求，写出f(x)满足的条件；
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型：
①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lg x－2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求．
解：(1)由题意，知公司对奖励方案的基本要求是：
当x∈[10，1000]时，①f(x)是增函数；
②f(x)≥1恒成立；③f(x)≤恒成立．
(2)①对于函数模型f(x)＝＋2：
当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，
且f(x)≥f(10)＝≥1，即f(x)≥1恒成立，
而若使函数f(x)＝＋2≤在[10，1000]上恒成立，
则29x≥300在[10，1000]上恒成立．
又当x＝10时，29x＝29×10＝290<300，
所以f(x)≤在[10，1000]上不恒成立．
故该函数模型不符合公司的要求．
②对于函数模型f(x)＝4lg x－2：
当x∈[10，1000]时，f(x)是增函数，
且f(x)≥f(10)＝4lg 10－2＝2>1，
所以f(x)≥1在[10，1000]上恒成立．
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝4lg x－2和y＝的图象，如图所示．
由图象可知，当x∈[10，1000]时，4lg x－2≤恒成立．
故该函数模型符合公司的要求．
18

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