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5.1.1　任意角
一、单项选择题
1．下列角中与60°角终边相同的是(　　)
A．240° B．440°
C．1140° D．1260°
2．若θ＝2025°，则角θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．与－457°角终边相同的角的集合是(　　)
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
4．如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
5．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则(　　)
A．α＝β
B．α＝180°＋β
C．α＝k·360°＋β，k∈Z
D．α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z
6．已知集合A＝{x|x是第二象限角}，B＝{x|x是钝角}，C＝{x|x是大于90°的角}，那么A，B，C的关系是(　　)
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A?C D．A＝B＝C
7．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
8．若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)(　　)
A．③⑦ B．④⑧
C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦
二、多项选择题
9．下列四个结论中正确的是(　　)
A．－75°角是第四象限角
B．225°角是第三象限角
C．475°角是第一象限角
D．－315°角是第二象限角
10．下列条件中，能使角α和角β的终边关于y轴对称的是(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
11．下列判断中正确的是(　　)
A．终边经过点(0，a)(a≠0)的角的集合是{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}
B．若将表的分针拨快15 min，则分针转过的角的大小是－90°
C．若α是第三象限角，则2α为第一或第二象限角
D．若M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°＋k·45°，k∈Z}，则M N
三、填空题
12．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－150°，则β＝________．
13．如果角α满足180°<α<360°，角5α与角α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________．
14．设集合A＝{x|k·360°＋60°15．中央电视台每天晚上播出的《焦点访谈》是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点到8点之间的一个时刻，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是(　　)
A．7点36分 B．7点38分
C．7点40分 D．7点42分
16．(多选)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则角3θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
17．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________．
18．(1)已知α＝－1910°，把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°；
(2)已知角γ的终边在图中阴影部分内，试写出角γ的取值范围．
19．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到点A，且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．
5.1.1　任意角
一、单项选择题
1．下列角中与60°角终边相同的是(　　)
A．240° B．440°
C．1140° D．1260°
答案：C
解析：与60°角终边相同的角的集合为{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，取k＝3，得α＝1140°.所以与60°角终边相同的角是1140°.
2．若θ＝2025°，则角θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
解析：因为2025°＝5×360°＋225°，所以225°角与2025°角的终边相同，易知225°角的终边在第三象限．故选C.
3．与－457°角终边相同的角的集合是(　　)
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案：C
解析：由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝－97°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．
4．如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(　　)
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
答案：C
解析：阴影部分表示的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．故选C.
5．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则(　　)
A．α＝β
B．α＝180°＋β
C．α＝k·360°＋β，k∈Z
D．α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z
答案：D
解析：借助图形可知，若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则α＝k·360°＋180°＋β，k∈Z.故选D.
6．已知集合A＝{x|x是第二象限角}，B＝{x|x是钝角}，C＝{x|x是大于90°的角}，那么A，B，C的关系是(　　)
A．B＝A∩C B．B∪C＝C
C．A?C D．A＝B＝C
答案：B
解析：对于A，如480°是第二象限角且大于90°，但不是钝角，故A错误；对于B，D，因为钝角一定大于90°，但大于90°的角不一定是钝角，故B是C的真子集，故B正确，D错误；对于C，如－210°是第二象限角，但小于90°，故C错误．故选B.
7．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
答案：C
解析：若α是第一象限角，则90°－α是第一象限角，90°＋α是第二象限角，360°－α是第四象限角，180°＋α是第三象限角．故选C.
8．若角α是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)(　　)
A．③⑦ B．④⑧
C．②⑤⑧ D．①③⑤⑦
答案：A
解析：如图，将每个象限二等分，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标号Ⅲ所在的区域即为的终边所在的区域，可知的终边所在的区域为③⑦.故选A.
二、多项选择题
9．下列四个结论中正确的是(　　)
A．－75°角是第四象限角
B．225°角是第三象限角
C．475°角是第一象限角
D．－315°角是第二象限角
答案：AB
解析：对于A，如图1所示，－75°角是第四象限角，A正确；对于B，如图2所示，225°角是第三象限角，B正确；对于C，如图3所示，475°角是第二象限角，C错误；对于D，如图4所示，－315°角是第一象限角，D错误．故选AB.
10．下列条件中，能使角α和角β的终边关于y轴对称的是(　　)
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝180°
C．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
答案：BD
解析：假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，A，C都不满足条件．
11．下列判断中正确的是(　　)
A．终边经过点(0，a)(a≠0)的角的集合是{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}
B．若将表的分针拨快15 min，则分针转过的角的大小是－90°
C．若α是第三象限角，则2α为第一或第二象限角
D．若M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°＋k·45°，k∈Z}，则M N
答案：ABD
解析：对于A，终边经过点(0，a)(a≠0)的角与90°角或270°角的终边相同，表示的集合为{α|α＝90°＋k·360°或α＝270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝90°＋2k·180°或α＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，所以A正确；对于B，因为旋转方向是顺时针，所以分针转过的角的大小是－90°，所以B正确；对于C，因为α是第三象限角，所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，则360°＋k·720°<2α<540°＋k·720°，k∈Z，即2α为第一或第二象限角或终边在y轴非负半轴上的角，所以C错误；对于D，M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈＋1)·45°，k∈Z}，N＝{y|y＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{y|y＝(k＋2)·45°，k∈Z}，所以M N，所以D正确．故选ABD.
三、填空题
12．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－150°，则β＝________．
答案：k·360°＋30°(k∈Z)
解析：在0°～360°范围内与α＝－150°的终边互为反向延长线的角是30°角，所以β＝k·360°＋30°(k∈Z)．
13．如果角α满足180°<α<360°，角5α与角α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________．
答案：270°
解析：∵5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又180°<α<360°，∴α＝270°.
14．设集合A＝{x|k·360°＋60°答案：{x|k·360°＋150°解析：A∩B＝{x|k·360°＋60°15．中央电视台每天晚上播出的《焦点访谈》是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点到8点之间的一个时刻，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是(　　)
A．7点36分 B．7点38分
C．7点40分 D．7点42分
答案：B
解析：如图，设7点t分(016．(多选)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝x上，则角3θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：BD
解析：因为角θ的终边在直线y＝x上，所以角θ为k·180°＋45°(k∈Z)，可得角3θ为3k·180°＋135°(k∈Z)，所以角3θ的终边在第二、四象限．
17．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________．
答案：15°　65°
解析：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，因为α，β都是锐角，所以0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°　①.因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，所以－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°　②.由①②，得α＝15°，β＝65°.
18．(1)已知α＝－1910°，把α写成β＋k·360°(k∈Z，0°≤β＜360°)的形式，并求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°；
(2)已知角γ的终边在图中阴影部分内，试写出角γ的取值范围．
解：(1)设α＝β＋k·360°(k∈Z)，
则β＝－1910°－k·360°(k∈Z)，
令－1910°－k·360°≥0°，
解得k≤－＝－5.
又k∈Z，故k的最大整数解为k＝－6，求出相应β＝250°，
于是α＝250°－6×360°.
令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
又250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°，
故θ＝－110°或－470°.
(2)解法一：图中阴影部分内的角γ的取值范围为{γ|－60°＋k·360°<γ≤k·360°，k∈Z}∪{γ|120°＋k·360°<γ≤180°＋k·360°，k∈Z}＝{γ|－60°＋2k·180°<γ≤2k·180°，k∈Z}∪{γ|－60°＋180°＋2k·180°<γ≤180°＋2k·180°，k∈Z}＝{－60°＋2k·180°<γ≤2k·180°，k∈Z}∪{γ|－60°＋(2k＋1)·180°<γ≤(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{γ|－60°＋n·180°<γ≤n·180°，n∈Z}．
解法二：因为终边在120°角的终边所在直线上的角的集合为s1＝{γ|γ＝－60°＋k·180°，k∈Z}，终边在x轴上的角的集合为s2＝{γ|γ＝k·180°，k∈Z}，所以图中阴影部分内的角γ的取值范围为{γ|－60°＋k·180°<γ≤k·180°，k∈Z}．
19．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，两只蚂蚁均从点A(1，0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到点A，且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．
解：根据题意，可知14α，14β均为360°的整数倍，
故可设14α＝m·360°，m∈Z，14β＝n·360°，n∈Z，
则α＝·180°，m∈Z，β＝·180°，n∈Z.
由两只蚂蚁在第2 s时均位于第二象限，知2α，2β均为第二象限角．
因为0°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，
所以90°<2α<2β<180°，
于是45°<α<90°，45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°，45°<·180°<90°，
即又α<β，所以m又m∈Z，n∈Z，所以m＝2，n＝3，
即α＝，β＝.
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