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5.1.2　弧度制
一、单项选择题
1．关于弧度制，下列说法正确的是(　　)
A．正角或者负角的弧度数都是正数
B．四分之一圆所对的圆心角是
C．角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于2π
D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关
2．600°化为弧度为(　　)
A. B.
C. D.
3．在[0，2π)范围内，与角－终边相同的角是(　　)
A. B.
C. D.
4．已知扇形的弧长为5，弧所对的圆心角为20°，则该扇形的半径为(　　)
A. B.
C. D.
5．集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是(　　)
6．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
7．角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位.1密位等于周角的，即2π弧度＝360°＝6000密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0－03，123密位写成1－23.设圆的半径为1，那么10－00密位的圆心角所对的弧长为(　　)
A. B.
C. D.
8．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．一扇环形砖雕如图所示，若∠AOC＝，OB＝2，且扇形AOC的弧长为，则该扇环的面积为(　　)
A．4π B．4
C. D．2π
二、多项选择题
9．下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D.化成角度是15°
10．下列表示中正确的是(　　)
A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在第二象限的角的集合为
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线y＝x上的角的集合是
11．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A．1 s时，∠BOA的弧度数为＋3
B. s时，扇形AOB的弧长为
C. s时，扇形AOB的面积为
D. s时，A，B在单位圆上第一次相遇
三、填空题
12．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________．
13．已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为________．
14．如图，正三角形ABC截⊙A得扇形ADE，已知的长为π，D为AB的中点，则扇形ADE的面积为________．
15．如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为(　　)
A. B.
C. D．π
16．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝)，书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5(单位：弧度)，则该“环田”的面积为(　　)
A．600平方步 B．640平方步
C．660平方步 D．700平方步
17．如图所示，已知一长为，宽为1的长方形木块在桌面上做无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程为________，走过的弧所对应的扇形的总面积为________．
18．已知α＝1690°，
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
19．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y取得最大值？
5.1.2　弧度制
一、单项选择题
1．关于弧度制，下列说法正确的是(　　)
A．正角或者负角的弧度数都是正数
B．四分之一圆所对的圆心角是
C．角的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于2π
D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关
答案：B
解析：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误；整圆的圆心角是2π，故四分之一圆所对的圆心角是，B正确；角的终边顺时针旋转一周得到的角是－2π，角的终边逆时针旋转一周得到的角是2π，C错误；无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误．故选B.
2．600°化为弧度为(　　)
A. B.
C. D.
答案：A
解析：600°＝600×＝.故选A.
3．在[0，2π)范围内，与角－终边相同的角是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1可得与角－终边相同的角是.故选D.
4．已知扇形的弧长为5，弧所对的圆心角为20°，则该扇形的半径为(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题设可得，弧所对的圆心角为，且弧长为5，则扇形的半径为5÷＝.故选D.
5．集合中角的终边所在的范围(阴影部分)是(　　)
答案：C
解析：当k＝2m，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z；当k＝2m＋1，m∈Z时，2mπ＋≤α≤2mπ＋，m∈Z.故选C.
6．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　)
A．第一象限 B．第四象限
C．x轴上 D．y轴上
答案：D
解析：∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z)．当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上．故选D.
7．角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位.1密位等于周角的，即2π弧度＝360°＝6000密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成0－03，123密位写成1－23.设圆的半径为1，那么10－00密位的圆心角所对的弧长为(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由题意知，10－00密位的圆心角为×2π＝，所以弧长为×1＝.故选C.
8．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．一扇环形砖雕如图所示，若∠AOC＝，OB＝2，且扇形AOC的弧长为，则该扇环的面积为(　　)
A．4π B．4
C. D．2π
答案：A
解析：∵∠AOC＝，弧长为，∴OA＝4，又OB＝2，∴该扇环的面积为××(42－22)＝4π.故选A.
二、多项选择题
9．下列转化结果正确的是(　　)
A．60°化成弧度是
B．－化成角度是－600°
C．－150°化成弧度是－
D.化成角度是15°
答案：ABD
解析：对于A，60°＝60×＝，A正确；对于B，－＝－×°＝－600°，B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，C错误；对于D，＝×°＝15°，D正确．故选ABD.
10．下列表示中正确的是(　　)
A．终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在第二象限的角的集合为
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线y＝x上的角的集合是
答案：ABC
解析：易知A，B正确；终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为，其并集为，故C正确；终边在直线y＝x上的角可表示成α＝＋kπ，k∈Z，D不正确．
11．如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　)
A．1 s时，∠BOA的弧度数为＋3
B. s时，扇形AOB的弧长为
C. s时，扇形AOB的面积为
D. s时，A，B在单位圆上第一次相遇
答案：AB
解析：经过1 s后，A运动的角度为1，B运动的角度为－2，∴∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；当经过 s时，扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；当经过 s时，∠BOA＝×1＋×2＋＝，∴扇形AOB的面积为××12＝，故C错误；设A，B第一次相遇时所用的时间是t，则3t＋＝2π，∴t＝(s)，即第一次相遇的时间为 s，故D错误．故选AB.
三、填空题
12．用弧度表示终边落在y轴右侧的角的集合为________．
答案：
解析：因为y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧的角的集合为.
13．已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为________．
答案：α＜β＜γ＜θ＝φ
解析：解法一(化为弧度)：α＝15°＝15×＝，θ＝105°＝105×＝.显然＜＜1＜，故α＜β＜γ＜θ＝φ.
解法二(化为角度)：β＝＝×°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝×°＝105°.显然15°＜18°＜57.30°＜105°，故α＜β＜γ＜θ＝φ.
14．如图，正三角形ABC截⊙A得扇形ADE，已知的长为π，D为AB的中点，则扇形ADE的面积为________．
答案：
解析：由△ABC为正三角形，得扇形ADE的圆心角为，而的长为π，则扇形的半径AD＝3，所以该扇形的面积S＝×3×π＝.
15．如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为(　　)
A. B.
C. D．π
答案：A
解析：如图，连接CF，DF，由题意得△CDF为等边三角形，所以∠FCD＝，又∠BCD＝＝，所以∠BCF＝∠BCD－∠FCD＝－＝，所以＝×3＝.故选A.
16．《九章算术》是一部中国古代的数学专著．第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注：匝，意为周，环绕一周叫一匝)，书中提到如图所示的一块“环田”：中周九十五步，外周一百二十五步，所在扇形的圆心角大小为5(单位：弧度)，则该“环田”的面积为(　　)
A．600平方步 B．640平方步
C．660平方步 D．700平方步
答案：C
解析：设中周的半径是R1，外周的半径是R2，又圆心角为α＝5，则解得则该“环田”的面积为S＝αR－αR＝×5×(252－192)＝660平方步．故选C.
17．如图所示，已知一长为，宽为1的长方形木块在桌面上做无滑动地翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，则点A走过的路程为________，走过的弧所对应的扇形的总面积为________．
答案：　
解析：所在的圆的半径是2，所对的圆心角为，所在的圆的半径是1，所对的圆心角为，所在的圆的半径是，所对的圆心角是.点A走过的路程是3段弧长之和，即2×＋1×＋×＝.3段弧所对应的扇形的总面积为×2×π＋×1×＋××＝.
18．已知α＝1690°，
(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π)．
解：(1)1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋.
(2)∵θ与α终边相同，
∴θ＝2kπ＋(k∈Z)．
又θ∈(－4π，4π)，
∴－4π<2kπ＋<4π(k∈Z)，
解得－∴k＝－2，－1，0，1.
∴θ是－，－，，.
19．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ(弧度)．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y取得最大值？
解：(1)由题意，得30＝θ(10＋x)＋2(10－x)，
∴θ＝(0(2)花坛的面积为θ(102－x2)＝(5＋x)(10－x)＝－x2＋5x＋50(0装饰总费用为9θ(10＋x)＋8(10－x)＝170＋10x，
∴花坛的面积与装饰总费用的比
y＝，
令t＝17＋x(17则y＝－≤－＝，
当且仅当t＝，即t＝18时，y取得最大值，
此时x＝1，θ＝.
故当x＝1时，y取得最大值.
15

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